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高中数学必修1第二章基本初等函数单元测试题(含参考答案)


高一数学训练题(二)
一.选择题. (每小题 5 分,共 50 分) 1.若 m ? 0 , n ? 0 , a ? 0 且 a ? 1 ,则下列等式中正确的是 A. (a m ) n ? a m ? n B. am ?
1

(
3

)
4

1 am

C

. loga m ? loga n ? loga (m ? n)

D. m4 n4 ? (mn) 3 ( )

2.函数 y ? loga (3x ? 2) ? 2 的图象必过定点 A. (1, 2) B. (2, 2) C. (2,3) D. ( , 2)

2 3

3. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, A. 1 B. 2

2 4 ) 的值为 则 f( ), 2
C.

( D. 8 (



1 2

4.若 x ? (0,1) ,则下列结论正确的是 A. 2 ? lg x ? x
x 1 2


x

B. 2 ? x ? lg x
x

1 2

C. x ? 2 ? lg x
x

1 2

D. lg x ? x ? 2 (

1 2

5.函数 y ? log( x?2) (5 ? x) 的定义域是 A. (3, 4) B. (2,5) C. (2,3)



(3,5)

D. (??, 2)

(5, ??)

6.某商品价格前两年每年提高 10% ,后两年每年降低 10% ,则四年后的价格与原来价格比较, 变化的情况是 ( ) A.减少 1.99% B.增加 1.99% C.减少 4% D.不增不减 7.若 100a ? 5, 10b ? 2 ,则 2a ? b ? A. 0 B. 1
x

( C. 2 D. 3 (



8. 函数 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? A.奇函数
2

x 是 2
C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数



B.偶函数

9.函数 y ? loga ( x ? 2 x) (0 ? a ? 1) 的单调递增区间是 A. (1, ??) B. (2, ??) C. (??,1) D. (??, 0)





10.已知 y ? log 2 (2 ? ax) ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (0, 2) C. (1, 2) D. [2, ??)



二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11.计算: log4 27 ? log5 8 ? log9 625 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? .

( x > 0) ?log3 x, 1 ,则 f [ f ( )] ? x 3 ? 2 , ( x ? 0)



13.若 f ( x) ? a ln( x 2 ? 1 ? x) ? bx3 ? 2 ,且 f (2) ? 5 ,则 f (?2) ?

. .

14. 若函数 f ( x) ? log ax(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍, 则a= 15.已知 0 ? a ? 1 ,给出下列四个关于自变量 x 的函数: ① y ? log x a ,② y ? loga x2 , ③ y ? (log 1 x)3 ④ y ? (log 1 x) 2 .
a
a 1

其中在定义域内是增函数的有 . 三.解答题(6 小题,共 75 分) 16.(12 分)计算下列各式的值: (Ⅰ)设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 1 ? x ? 3} ,求 A ? B ,

(?R A) ? B , (痧 R A) ? ( R B) .


17. (本小题满分 15 分)

(1)画出函数的图像; (2)求函数的单调区间; (3)求函数在区间 ?? 2, 3?上的最大值与最小 值.

?? 2 x 2 ? 4 x , x ? 0, 已知函数 y ? ? , x2 , x ? 0 ?

18. (本小题满分 15 分) (1)如果定义在区间 ( ?1, 0) 的函数 f ( x) ? log3a ( x ? 1) 满足 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2)解方程: log3 (3 ? 2 ? 3 x ) ? 2 x

? 2? x x ? 1 19. ( 12 分) 设函数 f ( x) ? ? . ?log 4 x x ? 1
(Ⅰ)求方程 f ( x) ?

1 的解. 4

(Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集.

20. ( 13 分)设函数 f ( x) ? log2 (4 x) ? log 2 (2 x) 的定义域为 [ , 4] , (Ⅰ)若 t ? log2 x ,求 t 的取值范围; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值与最小值,并求出最值时对应的 x 的值.

1 4

21. 某公司生产一种仪器的固定成本为 10000 元,每生产一台仪器需增加投入 200 元,已知总收 益满足函数 g ( x ) ? ?

1 ? ?400 x ? x 2 , 0 ? x ? 400 , . 2 ? ? 100000 , x ? 400

其中 x 是仪器的月产量(单位:台). (1)将利润表示为月产量 x 的函数 f ( x ) ; (2)当月产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元? (总收益=总成本﹢利润)

参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题. 11. 9 . 12. 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 A 9 D 10 C

1 . 2

13. ?1 .

14.

2 . 4

15. ③,④.

三.解答题: 16. (Ⅰ) . 解:原式 ? 4 ? 27 ? 2 ? 7 ? 2 ? 101 . (Ⅱ)解:原式 ?

log3 (4 ? 25) 3 3 15 ? 2 ? 2?3 ? ? ? 2 ? 2?3 ? 2 ? . 1 1 2 2 log3 ( ? ) 2 2 5

17. (1)解:ln(x-1)<lne

? x ?1 ? e ? x ? e ?1 ? x ? {x | x ? e ? 1}
1 ( 2)解: ( )1? x ? 2 3 1 1 log 1 2 ? ( )1? x ? ( ) 3 3 3 ?1 ? x ? log1 2
3

? x ? 1 ? log1 2
3

? x ? {x | x ? 1 ? log1 2}
3

(3)解:a

2 x ?1

?1? ?? ? ?a?

x?2

? a 2 x ?1 ? a 2 ? x ?当a ? 1时,2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1 当0 ? a ? 1时,2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1
. 18.解: (Ⅰ)原不等式可化为: a
2 x ?1

? a 2? x .

当 a ? 1 时, 2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1.原不等式解集为 (1, ??) . 当 a ? 1 时, 2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1 .原不等式解集为 (??,1) . (Ⅱ)由题设得: S ? {x | 0 ? x ? 2 ? 4} ? (?2, 2] , T ? { y | ?1 ? y ? ( ) ∴S

1 2

?2

? 1} ? (?1,3] .

T ? (?1, 2] , S T ? (?2,3] .

?x ? 1 ?x ? 1 1 ? ? 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ? ? x 1 (无解)或 ? 1 ? x? 2. 4 2 ? log 4 x ? ? ? 4 ? ? 4
∴方程 f ( x) ?

1 的解为 x ? 2 . 4

?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 (Ⅱ) f ( x) ? 2 ? ? ? x 或? 或? . ?? x ? 16 x ? ? 1 ? ?2 ? 2 ?log x4 ? 2 ?

? ?1 ? x ? 1 或 1 ? x ? 16 即 ?1 ? x ? 16 .
∴不等式 f ( x) ? 2 的解集为: [ ?1,16] . 20.解: (Ⅰ) t 的取值范围为区间 [log 2

1 , log 2 4] ? [?2, 2] . 4 (Ⅱ)记 y ? f ( x) ? (log2 x ? 2)(log2 x ? 1) ? (t ? 2)(t ? 1) ? g (t ) (?2 ? t ? 2) .
∵ y ? g (t ) ? (t ? ) ?
2

3 2

1 3 3 在区间 [ ?2, ? ] 是减函数,在区间 [? , 2] 是增函数 4 2 2

3 ? 3 2 3 1 2 即x?2 2 ? 时, y ? f ( x) 有最小值 f ( ) ? g (? ) ? ? ; 2 4 2 4 4 2 当 t ? log2 x ? 2 即 x ? 2 ? 4 时, y ? f ( x) 有最大值 f (4) ? g (2) ? 12 .

∴当 t ? log 2 x ? ?

21.解: (Ⅰ)∵ f ? x ? 是奇函数,所以 f (0) ?

1? b ? 0 ? b ? 1 (经检验符合题设) . 4

(Ⅱ)由(1)知

2x ? 1 f ( x) ? ? .对 ?x1 , x2 ? R ,当 x1 ? x2 时,总有 2(2x ? 1)

2x2 ? 2x1 ? 0, (2x1 ? 1)(2x2 ? 1) ? 0 .
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 2x1 ? 1 2 x2 ? 1 1 2 x2 ? 2 x1 ? ( x1 ? x2 ) ? ? x1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 2 2 ? 1 2 ? 1 2 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)

∴函数 f ? x ? 在 R 上是减函数. (Ⅲ)∵函数 ∴

f ( x) 是奇函数且在 R 上是减函数,

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 ? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) .

1 1 ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ? k ? 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ? . (*) 3 3 1 对于 ?t ? R (*)成立 ? k ? ? . 3 1 ∴ k 的取值范围是 (??, ? ) . 3
22解 : (1)a x ? 1 ? 0 ? ax ? 1 ? 当a ? 1时,函数的定义域为 {x | x ? 0} 当0 ? a ? 1时,函数的定义域为 {x | x ? 0}
(2)当a ? 1 时, f ( x)在(0,??)上递增 ; 当0 ? a ? 1 时, f ( x)在(??,0)上递增 .


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