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高中文科数学公式大全(精华版)


天骄数理化

高中数学公式及知识点速记
1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ?[a, b], 且x1 ? x2 那么 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. (2)设函数 y ? f (x) 在某个区

间内可导, 若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数; 若 f ?( x)=0 ,则 f (x) 有极值。 2、函数的奇偶性 若 f (? x) ? f ( x) ,则 f (x) 是偶函数;偶函数的图象关于 y 轴对称。 若 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f (x) 是奇函数;奇函数的图象关于原点对称。 3、函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率,相应 的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 4、几种常见函数的导数 ① C ' ? 0 ; ② ( x n ) ' ? nxn?1 ; ⑤ (a x ) ' ? a x ln a ; ⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u' ? v' . (2) (uv)' ? u'v ? uv' .
u u 'v ? uv ' (3) ( )' ? . v v2

③ (sin x) ' ? cos x ; ④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x) ' ?
1 1 ; ⑧ (ln x ) ' ? x ln a x

6、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是: 解方程 f ? ? x ? ? 0 得 x0 ① 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 , 右侧 f ? ? x ? ? 0 , (即: 左增右减) 那么 f ? x0 ? 是极大值; , ② 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 , 右侧 f ? ? x ? ? 0 , (即: 左减右增) 那么 f ? x0 ? 是极小值. , 7、分数指数幂 (1) a (2) a
m n

? n am
? 1 a
m n

.

m ? n

?

1
n

am

.

8、根式的性质 (1) (
n

a )n ? a .
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n n (2)当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时, a ?| a |? ?

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

9、有理指数幂的运算性质 (1) a
r

? as ? ar ?s ;
r s rs

(2) (a ) ? a ; (3) (ab) ? a b . 10、对数公式 (1)指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N 。 log m N (2)对数的换底公式 : log a N ? . log m a
r r r

( 3)对数恒等式:① loga bn ? n loga b ; ③a a ? N ; 11、常见的函数图象
log N
y

n ② log a m b ?

n log a b ; m

④ loga 1 ? 0 ;
y

⑤ loga a ? 1
y
y

k<0
o

k>0
x

a<0
o x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1

a>0

o

1 a>1

x

y=kx+b

y=ax2+bx+c

12、同角三角函数的基本关系式 sin ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? = . cos ? 13、正弦、余弦的诱导公式 诱导公式一: sin(2k ? + ? )=sin ? ; cos(2k ? + ? )=cos ? tan(2k ? + ? )=tan ? 诱导公式二: sin( ? ?? )=-sin ? ; cos( ? ?? )=-cos ? ; tan( ? ?? )=tan ? . 诱导公式三: sin( -? )=-sin ? ; cos( -? )=cos ? ; tan( -? )=-tan ? . 诱导公式四: sin( ? ?? )=sin ? ; cos( ? ?? )=-cos ? ; tan( ? ?? )=-tan ? . ? 诱导公式五: sin( ? ? )=cos ? ; 2 ? cos( ? ? )=sin ? ; 2 ? ? 诱导公式六: sin( ? ? )=cos ? ;cos( ? ? )=-sin ? 2 2
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[上面六组诱导公式,最好用口诀:奇变偶不变,符号看象限记忆,但要理解其含义] 14、和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? b a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ;(辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ? ). a 15、二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2 16、三角函数的周期 2? 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T ? ,最大值为|A|; |? | ? ? 函数 y ? A tan(? x ? ? ) ( x ? k? ? )的周期 T ? . 2 |? | a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). 17.正弦定理 : sin A sin B sin C ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C 18.余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . 19.面积定理 1 1 1 S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 20、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)dx C ? A? B ? ? ? 2 2 2 ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) .

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21、三角函数的性质

22、a 与 b 的数量积:a·b=|a| ? |b|cosθ . 23、平面向量的坐标运算 uur uur uur u u (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= x1 x2 ? y1 y2 .
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(6)设 a= ( x, y ) ,则 a ? x 2 ? y 2

r r a ?b 24、两向量的夹角公式: cos ? ? r r ? a?b

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

;(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

uur u 25、平面两点间的距离公式: d A, B = | AB | ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
26、向量的平行与垂直: 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a∥b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 27、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , an ? ? ;( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ?? an ). ?sn ? sn?1 , n ? 2
28、等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d ;
29、等差数列其前 n 项和公式为 n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. sn ? 2 2 30、等差数列的性质: ①等差中项: 2an = an ?1 + an ?1 ; ②若 m+n=p+q,则 am + an = a p + aq ; ③ Sm , S 2m , S3m 分别为前 m,前 2m,前 3m 项的和,则 Sm , S 2m - Sm , S3m - S 2m 成等差数列。 31、等比数列的通项公式 an ? a1qn?1 ; 32、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q sn ? ? 1 ? q 或 . ?na ?na ,q ?1 ,q ?1 ? 1 ? 1
33、等比数列的性质: ①等比中项: b n = bn?1 ? bn?1 ;
2

②若 m+n=p+q,则 bm ? bn = bp ? bq ; ③ Sm , S 2m , S3m 分别为前 m,前 2m,前 3m 项的和,则 Sm , S 2m - Sm , S3m - S 2m 成等比数列。 34、常用不等式: (1) a, b ? R ? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2) a, b ? R ? ? 2

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35、直线的三种方程 : (1)点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ; (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式: y ? kx ? b ;(b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)一般式: Ax ? By ? C ? 0 ;(其中 A、B 不同时为 0). 另外,还有两点式和截距式方程,请你自己补上! 36、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , 且b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 37、点到直线的距离 | Ax0 ? By0 ? C | ; (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). d? A2 ? B 2 38、 圆的两种方程: (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . ? x ? a ? r cos? (2)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ? 39、点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则
d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 40、直线与圆的位置关系

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:其中 d ?
d ? r ? 相离 ? 方程组无解:?=

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

b

2

? 4ac ? 0 ;

d ? r ? 相切 ? 方程组有唯一解:?= d ? r ? 相交 ? 方程组有两个解:?=

b b

2

? 4ac? ? 0 ; ? 4ac? ? 0 .

2

41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 焦距 2a c x2 y 2 = ? , ①椭圆: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦点(±c,0) a 2 ? c 2 ? b 2 ,离心率 e ? , 长轴 2c a a b ? x ? a cos? 参数方程是 ? . y ? b sin ? ? ②双曲线:
焦距 2a c x2 y2 = ? , ? 2 ? 1 (a>0,b>0),焦点(±c,0) c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? , 2 长轴 2c a a b
b a

渐近线方程是 y ? ? x .
p p ③抛物线: y 2 ? 2 px ,焦点 ( ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线 2 2 的距离.
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42、双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2 y2 x2 y 2 b 若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a a b a b 2 43、抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p p 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径 | PF |? x 0 ? .(抛物线上的点( x0 , y0 )到焦点( ,0)距离。 ) 2 2 44、平均数、方差、标准差的计算 x ? x2 ? ? xn 平均数: x ? 1 ; n 1 方差: s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ] ; n 1 标准差: s ? [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ] ; n 45、回归直线方程 n n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n ? ? a ? bx ,其中 ? 2 y ? ? xi ? x ? ? xi 2 ? nx 2 . ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx 46、独立性检验

K2 ?

n(ac ? bd) 2 ;n=a+b+c+d. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

y

1

y
b d

2

①K﹥6.635,有 99%的把握认为 X 和 Y 有关系; ②K﹥3.841,有 95%的把握认为 X 和 Y 有关系; ③K﹥2.706,有 90%的把握认为 X 和 Y 有关系; ④K≤2.706,X 和 Y 没关系。 47、复数 ① z ? a ? bi 共轭复数为 z ? a ? bi ; ②复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ;

x x

1 2

a c

③复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a2 ? b2 ; ④复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; ac ? bd ? ? bc ? ad ? i ac ? bd bc ? ad ? 2 i? (4) (a ? bi) ? (c ? di) ? 2 2 2 c ?d c ?d c2 ? d 2 ⑤ 复数的乘法的运算律 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 .
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48、命题、充要条件: 记 p 表示条件, q 表示结论;即命题“若 p,则 q” ①充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. ②必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. ③充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. ④命题“若 p,则 q”的否命题:若 ? p ,则 ? q ; 命题“若 p,则 q”的否 定:若 p , 则 ? q . 49、真值表 p 真 真 假 假 q 非p( ? p ) p或q(p∨q) p且q(p∧q) 真 假 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假
原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q 互 逆 互 为 为 互 否 逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

50、量词的否定 ①含有一个量词的全称命题的否定: 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ,它的否定 ②含有一个量词的特称命题的否定: 特称命题 p: ?x0 ? M , p( x0 ) ,它的否定 ? p : ?x ? M , ? p( x) 51、空间点、直线、平面之间的位置关系 ①公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理 1 的作用:判断直线是否在平面内 ②公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α · C · 公理 2 的作用:确定一个平面的依据。 · 推论 1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面。 推论 2:两条相交直线确定一个平面。 公理 2 推论 3:两条平行直线确定一个平面。 ③公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理 3 的作用:判定两个平面是否相交的依据 52、空间中直线与直线之间的位置关系 ①空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内;有且只有一个公共点; β 共面直线 平行直线:同一平面内;没有公共点; P α 异面直线:不在同一个平面内;没有公共点。 · L ②公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b ?a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 ③等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
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?

p : ?x0 ? M , ? p( x0 )

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? 注意点: 1.两条异面直线所成的角θ ∈(0, ]; 2 2.当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; 3.两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; 53、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线在平面外 直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 直线在平面平行 —— 没有公共点 注:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α a∩α =A a∥α 54、直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平 面平行。简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:a α b β ? a∥α a∥b 55、平面与平面平行的判定 ①两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 符号表示:a β b β a∩b = P β ∥α a∥α b∥α ②判断两平面平行的方法有三种: (1)判定定理; (2)平行于同一平面的两个平面平行; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 56、直线与平面、平面与平面平行的性质 ①定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

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②定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 ③两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。 57、直线与平面垂直的判定 ①定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面α 互相垂直, 记作 l ⊥α 。 如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 α p
l

②判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意:1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; 2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 58、平面与平面垂直的判定 ①两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 59、直线与平面、平面与平面垂直的性质 ①定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 ②性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

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