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浅谈函数奇偶性的判别方法


浅谈函数奇偶性的判别方法

摘 要:判定函数 f(x)的奇偶性一般采用定义判定,但使用该法判定一些较复杂函数奇偶性 则易出错,为此应向学生介绍定理。 关键词:解题教学;函数;中学数学教学 一般的,判定函数 f(x)的奇偶性都采用定义判定。这种方法,对判定一些简单函数的奇 偶性是非常有效的,但对一些较复杂的函数奇偶性判定就易出错。如在解下例时,就有学生 这样做:

判定函数 f ( x) ? x(

1 1 ? )(a ? 0) 的奇偶性。 a ?1 2
x

解: ? f ( x)的定义域是A ? ? x | x ? R且x ? 0?,又f ? -x ? ? ? x ?

1? ? 1 ? ?? ?x ? a ?1 2 ?

1? ? 1 x? ? ?, ? f ? ? x ? ? ? f ? x ?,故f ? x ? 是非奇非偶函数。 ?x 2? ? 1? a
错了!其实 f(x)是偶函数,因为:

? ax 1? 1? ? 1 f ??x? ? x ? ? ? x ? ? ? x ? ?x 2? ? 1? a ? a ?1 2 ? ? ax ?1?1 1 ? ? x? x ? ? 2? ? a ?1 1? ? 1 ? x? x ? ? ? a ?1 2 ? ? f ( x) (2) (3)

(1)

学生出错的原因就是由于没有掌握⑴(2) (3)这三步的技巧变形,致使变形不恰当而 造成判断失误。类似这样的错误,在学生中常常出现,学生为此也感到困惑,不知道怎样变 形才恰到好处,尤其是在变形中要涉及到技巧问题,往往就更难把握好。 判断函数的奇偶性是在未知其结果的情况下进行的, 因而用定义判定时, 变形的目的性 不强,没有固定的变形方法,学生对自己所得结果也就半信半疑,不敢定论,怕在变形中出 了问题或变形不恰当,尤其是遇到一个非奇非偶函数的判定更是如此。 定理 : 设 f(x)的定义域为 A,方程 f(-x)=f(x)(或 f(-x)= -f(x))的解集为 N,则 f(x)为偶函数 (或 奇函数)的充要条件是 A=N。 证明:充分性: ? A ? N

? 任意x0 ? A, 则x0 ? N , 即f ? ? x0 ? ? f ? x0 ? (或f ? ? x0 ? ? ? f ? x0 ?), ? f ? x ? 是偶函数(或奇函数)

必要性:f ? x ? 为偶函数(或奇函数) ? 对任意x0 ? A, 有f ? ? x0 ? ? f ? x0 ? (或f ? ? x0 ? ? ? f ? x0 ?), ? x0 ? N , 故A ? N , 又显然N ? A ? A ? N.
1

由定理可知,判断函数的奇偶性,只需要判定方程 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))的解集与函 数 f(x)的定义域是是否相等即可,这样,用本定理判定函数的奇偶性,就不会涉及到技巧变 形。如前例用定理判定就可以这样进行: 解: ? f ? x ?的定义域是A ? {x | x ? R且x ? 0},?由方程f ( ? x) ? f ( x)得方程

1? 1? ? 1 ? 1 ?x ? ?x ? ? ? x? x ? ?. ? a ?1 2 ? ? a ?1 2 ? ? x ? 0,? 上述方程可化为: ?1 1 1 1 1? ax ? ? ? ,即 ? ?1恒成立, a? x ?1 2 a x ?1 2 a x ?1 ? 方程f (? x) ? f ( x)的解集是N ? {x | x ? R且x ? 0} 由A ? N 知f ( x)是偶函数。
从上看出: 用定理判定函数的奇偶性, 不但不涉及技巧变形, 而且思路清晰, 目的十分明确, 可行性强,有章可循,学生易掌握。因此,有必要向学生介绍定理。为了进一步说明本定理 的优越性,特举两例供同行们比较。 判断下列函数的奇偶性:
2 (1) f(x)= log a ( x ? 1 ? x)( a ? 0,a ? 1)

(2) f(x)=

解:(1)?f(x)的定义域是一切实数,即 A=R,?由方程 f(-x)=f(x)得

1 ? sin x ? cos x 2 ? sin x ? cos x

log a ( ( ? x) 2 ? 1 ? x) ? log a ( x 2 ? 1 ? x), 即-x=x
故方程 f(-x)=f(x)的解集 N={0}. 由 A ? N 知 f(x)不是偶函数,又由方程 f(-x)=-f(x),得

log a ( (? x) 2 ? 1 ? x) ? ? log a ( x 2 ? 1 ? x),即 x 2 ? 1 ? x ?

1 x ?1 ? x
2

,化简得x2 ? 1 ? x 2 ? 1.

?方程 f(-x)= -f(x)的解集 N=R。
由 A=N 知 f(x)为奇函数。 (2)?f(x)的定义域是一切实数,即 A=R,由方程 f(-x)=f(x)得

1 ? sin( ? x) ? cos( ? x) 1 ? sin x ? cos x 1 ? ,即 sin x ? 0或 cos x ? , 2 ? sin(? x) ? cos( ? x) 2 ? sin x ? cos x 2 1 ? 方程f (? x) ? f ( x)的解集是N ? {x | sin x ? 0或 cos x ? } 2 由N ? R得知f ( x)不是偶函数, 同样由方程f(-x)=-f(x)得其解集是N={x|cosx=-1}. 由N ? R知f(x)不是奇函数,
综合知 f(x)是非奇非偶函数。

ax ? b (ad ? bc,c ? 0)的奇偶性. cx ? d 解:?f(x)的定义域 A={x|cx ? -d,x ? R}
例2 讨论函数 f(x)=
2

?当d ? 0时,f(x)的定义域不是关于原点o对称的区间, 所以f(x)是非奇非偶函数; -ax+b ax ? b ? , -cx cx 即ax ? b ? ax ? b,(x ? 0), ? b=0, 当d=0时,由方程f(-x)=f(x)得 这与bc ? ad矛盾。故f(-x)=f(x)无解。 由方程f(-x)=-f(x)得 ax=0(x ? 0). (1)当a ? 0时,ax=0无解,即f(-x)=-f(x)无解; (2)当a=0时ax=0的解集N={x|x ? R且x ? 0}, 又 ? N ? {x | x ? R且x ? 0}, ?由A ? N 知f ( x )为奇函数。 综合上述可知:当d=a=0时,f(x)为奇函数,其他情况为非奇非偶函数。 由上两例可知,用本定理判定函数的奇偶性不失为一种好方法。 -ax+b ax ? b =,即-ax+b=ax+b(x ? 0), -cx cx

3


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