nbhkdz.com冰点文库

陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理


西安市第一中学 2015-2016 学年度第一学期期中 高三数学(理科)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. 设 i 为虚数单位,复数 A.-1 B.1

z ? (a 3 ? a) ?
C. ?1

a i,(a ? R) (1 ? a)
D.

0

为纯虚数,则 a 的值为(



2.已知全集为 R,集合 M= A. (3,5)

?x

x?3 ? 2

? ,集合 N= ?x ln( x ? 2) ? 0? ,则 M ? (C
D.(1,3 ]

R

N) ? (



B. [3,5)

C.(1,3)

2 2 2 3.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 ( x ? 2) ? y ? 9 相切,则 p 的值为 (



A.2

B.3

C.4

D.5 ).

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是( A.150 B.300 C.400 D.200 )

5. 下列有关命题的叙述,错误的个数为( ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题。

②“x>5”是“x -4x-5>0”的充分不必要条件。 ③命题 P:? x∈R,使得 x +x-1<0, 则 ? p: ? x∈R,使得 x + x-1
2 2

2

≥0。 ④命题 “若 x -3x+2=0, 则 x=1 或 x=2” 的逆否命题为 “若 x ? 1 或 x ? 2,
2

则 x -3x+2 ? 0
2

A.1

B.2

C . 3

D. 4

6. 函数 y=lncosx ? ??

? ?

?
2

? x ?

??

? 的图象是( 2? ?



1

7. 由直线 x ?

1 1 ,x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是( 2 x
B. 2 ln 2 ? 1 C.



A. 2 ln 2

1 ln 2 2

D.

5 4

2 正视图

2 1 4 侧视图

8.某几何体的三视图如图示,则此几何体的体积是 ( 20 16 10 π π π A. 3 B. 6π C. 3 D. 3 9.函数 f

?x ? ? A sin ??x

? ? ?(其中 A ? 0,? ? 0, ? ?

?
2

)的
第 8 题图

图象如图所示,为了得到 g(x)=sin3x 的图象,只需将 f(x)的图象(


俯视图

? A.向右平移 4 个单位

? B.向左平移 4 个单位

?
C.向右平移 12 个单位

?
D.向左平移 12 个单位

10.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个,每次从中取出一 个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的 概率为 ( )

14 A. 81

20 B. 81

22 C. 81

25 D. 81

11. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b ,c , S 表 示 ?ABC 的 面 积 , 若
a c o sB? b c o s A ? c s, iC n
?

1 S ? (b2 ? c2 ? a 2 ) 4 ,则 B = (
? C. 60



A. 30

?

B. 45

D. 90

?

x 3 x 12. 设函数 f ( x) ? e ( x ? 3x ? 3) ? ae ? x,( x ? ?2) ,若不等式 f ( x ) ≤0 有解.则实数 a

的最小值为(



2 ?1 A. e

2?
B.

2 e

C. 1 ? 2e

2

1?
D.

1 e

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? e ? e ke ? e e , e 1 2 1 2 垂直,则实数 k = 1 2 13. 若 是两个不共线的单位向量,若 与
?x ?1 ? 0 y ? 14.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?



.

2

15. 三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在同一球面上,其中△ ABC 为等边三角形, PA ? 平面
ABC , PA ? 2 AB ? 2a ,则该球的体积



16. 已 知 函 数 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 2) 为 偶 函 数 . 若 f(1) ? 1 , 则

f(8) ? f(9) ? ______.
三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17. ( 本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2 ,

b4 ? 54 , a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)数列 {cn } 满足 cn ? an bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 18.(本小题满分 12 分) 在一次抽奖活动中,有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则如 下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获奖 1000 元,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获奖 600 元,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获奖 400 元。 (1)求甲和乙都不获奖的概率; (2)设 X 是甲获奖的金额,求 X 的分布列和数学期望.

? 19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 三 棱 柱 A B C
BC ? AC , BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.

1

A 1B 1C 中 , AA1 ⊥ 面 ABC ,

(1)求证: AB1 // 面 BDC1 ; (2)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值.

?1),焦点在 x 轴上. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的一个顶点为 A(0,
若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m(k ? 0) 相交于不同的两点 M 、N .当 | AM |?| AN | 时,求 m 的取 值范围. 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax( x ? 1) ? ln( x ? 1) ,其中 a ? R . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值;

3

(2)若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一 题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(选修 4—1 几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图,过圆外一点 P 的直线交圆 O 于 A、B 两点,PE 是圆 O 的切线,CP 平分∠ APE ,分别与 AE、BE 交于点 C , D .

CA PE ? . 求证:(1) CE ? DE ; (2) CE PB
23.(选修 4─4 坐标系与参数方程选讲) (本小题满分 10 分) 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ?y ? 3t

, ( t 为参数) ,以坐

标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 ? 4? cos ? ? 3 ? 0 .
(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. 24.(选修 4—5 不等式选讲)(本小题满分 10 分) 设函数

f ( x) ? 2x ? 1, x ? R f ( x) ? 2 ? 5
的解集;

(1)求不等式

g(x) ?
(2)若

1 f (x) ? f (x-1) ? m

的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

4

西安市第一中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试高三理科数学答案 一、选择题 1-6.ADABBA 二、填空题 13. 1 三、解答题
3 17 解: (1)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,由 b4 ? b1q 3 ,得 q ?

7-12. ACCABD

14.3

15.

32 3 3 ?a 27

16. 1

54 ? 27 , 2

从而 q ? 3 ,因此 bn ? 2 ? 3

n ?1

, ···················· 3 分

又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,
n ?1 ? a2 ? 8 , d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 an ? 6n ? 4 , bn ? 2 ? 3

·········· 6 分

(2) cn ? an bn ? 4 ? (3n ? 2) ? 3
0 1 1 2

n ?1 n?2 n ?1

令 Tn ? 1? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? … ? (3n ? 5) ? 3
2 3

? (3n ? 2) ? 3n ?1 ? (3n ? 2) ? 3n ······· 9 分
7 (6n ? 7)3n ? 2 2

则 3Tn ? 1? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? … ? (3n ? 5) ? 3

两式相减得 ?2Tn ? 1 ? 3 ? 31 ? 3 ? 32 ? … ? 3 ? 3n ?1 ? (3n ? 2) ? 3n ? ?

7 3n (6n ? 7) n ? ,故 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7)3 ··········· 12 分 4 4 18. 解: (1)设“甲和乙都不获奖”为事件 A , 1分 ? Tn ?

则 P(A)=



答:甲和乙都不获奖的概率为

.

5分 6分

(2)X 的所有可能的取值为 0,400,600,1000,

P(X=0)=

, P(X=400)=

, P(X=600)=

,

P(X=1000)= ∴X 的分布列为 X P 0 400

, 600 1000

10 分

? E ( X ) ? 500

11 分 12 分
5

19.解: (1)证明:依题可建立如图的空间直角坐标系 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) ,B1(0,0,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0) , 设 是面 BDC1 的一个法向量,则

,???1 分

即 取 又 ∵AB1 (2)易知 .



,所以 面 BDC1,∴AB1//面 BDC1. 是面 ABC 的一个法向量.

,即 6分

. ∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 .

11 分 12 分

20.解: (1) b ? 1 ,右焦点坐标 (c, 0) ,则 3 ? 得c ?

|c?0?2 2 | , 2

2 或 ?5 2 (舍去)
x2 ? y2 ? 1 3
5分

则 a ? 1 ? 2 ? 3 ,椭圆方程:

? y ? kx ? m ? (2) ? x 2 ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 2 ? ? y ?1 ?3
?6k 2 m 2m y ? y ? ? 2m ? 2 2 2 ?6km 3m ? 3 1 3k ? 1 3k ? 1 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 3k ? 1 3k ? 1
2
2 2 由 ? ? 0 ,得 3k ? m ? 1

7分

由 | AM |?| AN | ,则 M , N 中点 E 有 AE ? MN ,

k AE

m ?1 2 m ? 3k 2 ? 1 3 k ? 1 , ? ? ?3km ?3km 3k 2 ? 1
m ? 3k 2 ? 1 1 k ? ?1 ? 2m ? 3k 2 ? 1 >1,得 m ? , 2 ?3km
6

k AE kMN ?

则 2m ? 1 ? m ? 1 ,得: 0 ? m ? 2
2

10 分 12 分

综上可得

1 ? m ? 2 ,即为所求 2

21.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x( x ? 1) ? ln( x ? 1) ,

f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x2 ? x ? x ?1 x ?1

1分

1 f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? ? 或x ? 0 2 1 f ?( x) ? 0 ? ? ? x ? 0 2 1 1 ? f ( x) 在 (?1, ? ) 和 (0, ??) 上单调增,在 (? ,0) 上单调减 2 2
3 ? f ( x )极大 =f (- 1 )= -ln 2 2 4 f ( x )极小 =f (0)=0
4分

3分

(2)设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x2 ? x) , ?x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 成立. 即 ln( x ? 1) ? a( x ? x) ? 0
2

当 x ? 1 时, ln 2 ? 0 恒成立;

ln( x ? 1) ? a ? 0; x2 ? x ln( x ? 1) 2 ? a ? 0 ;由 ?x ? 0 均有 ln( x ? 1) ? x 成立。 当 0 ? x ? 1 时, x ? x ? 0 , 2 x ?x ln( x ? 1) 1 ? ? (0, ??) ,则只需 a ? 0 ; 故当 x ? 1 时, , 2 x ?x x ?1 ln( x ? 1) 1 ? ? (??, ?1) ,则需 ?1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, 2 x ?x x ?1
当 x ? 1 时, x ? x ? 0 ,
2

综上可知对于 ?x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 成立,只需 0 ? a ? 1 即可, 故所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .12 分
2 另解:设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x) , f (0) ? 0 ,要使 ?x ? 0 ,

都有 f ( x) ? 0 成立,只需函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增即可, 于是只需 ?x ? 0 , f ?( x) ? 当x?

1 ? a(2 x ? 1) ? 0 成立, x ?1

1 2 1 ? (??, 0) , 时a ? ? ,令 2 x ? 1 ? t ? 0 , g (t ) ? ? ( x ? 1)(2 x ? 1) t (t ? 3) 2
7

则 a ? 0 ;当 x ?

1 2 1 1 1 时 f ?( ) ? ? 0 ;当 0 ? x ? , a ? ? , 2 2 3 ( x ? 1)(2 x ? 1) 2

g (t ) ? ? 令 2 x ? 1 ? t ? (?1,0) ,
则 a ? 1 ,于是 0 ? a ? 1 .

2 2 关于 t ? (?1,0) 单调递增, 则 g (t ) ? g (?1) ? ? ? 1, t (t ? 3) ?1(?1 ? 3)

又当 a ? 1 时, g (0) ? 0, x2 ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, x2 ) 单调递减,而 f (0) ? 0 , 则当 x ? (0, x2 ) 时, f ( x) ? 0 ,不符合题意; 当 a ? 0 时,设 h( x) ? x ? ln( x ? 1) ,当 x ? (0, ??) 时 h?( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0, x ?1 1? x

h( x) 在 (0, ??) 单调递增,因此当 x ? (0, ??) 时 h( x) ? h(0) ? 0,ln( x ? 1) ? 0 ,
于是 f ( x) ? x ? a( x2 ? x) ? ax2 ? (1 ? a) x ,当 x ? 1 ? 此时 f ( x) ? 0 ,不符合题意. 综上所述, a 的取值范围是 0 ? a ? 1 22.证明: (1) PE 是切线,? ?A ? ?BEP 12 分

1 2 时 ax ? (1 ? a) x ? 0 , a

? PC 平分 ?APE,? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE

? ?ECD ? ?A ? ?CPA, ?EDC ? ?BEP ? ?DPE
? ?ECD ? ?EDC, EC ? ED
(2)? ?PDB ? ?EDC, ?EDC ? ?ECD, ?PDB ? ?PCE,

? ?BPD ? ?EPC,? ?PBD 相似于
同理, ?PDE 相似于

?PEC ,?

PE PC ? PB PD

?PCA ,?

PC CA ? PD DE ? CA ? PE CE PB
2 2

23. 解: (1)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 ; ·········· 2 分 曲线 C 的直角坐标方程为: ( x ? 2) ? y ? 1 ············ 5 分 (2)设点 P(2 ? cos? , sin ? ) (? ? R) ,则

| 2 cos(? ? ) ? 5 3 | | 3 (2 ? cos? ) ? sin ? ? 3 3 | 6 d? ? 2 2 5 3 5 3 ? 1, ? 1] ················ 10 分 所以 d 的取值范围是 [ 2 2
24.解:(1)由 ? 5 ? f ( x) ? 2 ? 5 , ? 3 ? f ( x) ? 7 , ?7 ? 2 x ? 1 ? 7 ,

?

8

解集为:

?x ?4 ? x ? 3?
1 1 ? f(x)? f(x - 1) ? m 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? m

5分

g(x) ?
(2)由 对任意实数 x,有 因为

的定义域为 R 知;

2x ? 1 ? 2x ? 1 ? m ? 0

恒成立 ,所以 m ? ?2 10 分

2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 2

9


陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期11月月考试题 理

陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期11月月考试题 _数学_高中教育_教育专区。陕西省西安市第一中学 1016 届高三数学上学期 11 月月考试题 考生注意:...

陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理

陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 _数学_高中教育_教育专区。西安市第一中学 2015-2016 学年度第一学期期中 高三数学(理科)试题一、选择题: ...

陕西省西安市第一中学2016届高三上学期12月月考数学(理)试题

陕西省西安市第一中学2016届高三上学期12月月考数学()试题_数学_高中教育_教育专区。教学资源网 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 高三数学试卷(理科) 考生...

2016届陕西省西安市第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题

2016届陕西省西安市第一中学高三上学期期中考试数学()试题_高中教育_教育专区。2016 届陕西省西安市第一中学高三上学期期中考试数学()试题一、选择题: (本大...

陕西省西安市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题

陕西省西安市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题_数学_高中教育_教育专区。西安市第一中学 2015-2016 学年度第一学期期中 高三数学(文科)试题一、选择...

2016届陕西省西安市第一中学高三上学期11月月考数学(理)试题 扫描版

2016届陕西省西安市第一中学高三上学期11月月考数学()试题 扫描版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016届陕西省西安市第一中学高三上学期11月月考数学()...

陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 文

陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区。西安市第一中学 2015-2016 学年度第一学期期中 高三数学(文科)试题一、选择题: ...

陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期11月月考试题 文

陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期11月月考试题 文_数学_高中教育_教育专区。高三数学试卷(文科)考生注意: 1. 本试卷分第 I 卷( 选择题) 和第Ⅱ ...

陕西省西安市第一中学2016届高三上学期12月月考数学(理)试题.doc

陕西省西安市第一中学2016届高三上学期12月月考数学()试题.doc_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学试卷(理科) 考生注意: 1. 本试卷第Ⅰ卷(选择题)...