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2015年北京市西城区高三二模数学(文)试题Word版带解析

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北京市西城区 2015 年高三二模文科数学试卷 2015.5 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} ,集合 B ? {x | x≤3} ,则 A ? B ? ( (A) (?1,3) (B) (1,3] 【考点】集合的运

算 【难度】1 【答案】B 【解析】 因为 A ? {x | x ? 1} ,所以 A ? B ? {x |1 ? x ? 3} 。故选 B。 2. 已知平面向量 a, b, c 满足 a ? (?1,1) , 若 (a ? b ? (2,3) , c ? (?2, k ) , b// )c (A) 4 (C) 8 (B) ?4 (D) ?8 , 则实数 k = ( ) (C) [1,3) (D) [?1,3] )

【考点】平面向量的线性运算,平面向量的坐标运算 【难度】1 【答案】D 【解析】 由已知条件有 a ? b ? (1, 4) ,因 c ? (?2, k ) 为 (a ? b)// c 所以有

? ?

? ? ?

?2 k ? ,故选 D 1 4

3. 设命题 p :函数 f ( x) ? e x?1 在 R 上为增函数;命题 q :函数 f ( x) ? cos 2 x 为奇函数. 则 下列命题中真命题是( (A) p ? q (C) (?p) ? (?q) 【考点】简单的逻辑联结词 ) (B) (?p) ? q (D) p ? (?q )

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【难度】1 【答案】D 【解析】 因 f ( x) ? e
x ?1

在 R 上是增函数,故 p 命题为真;

而 f (? x) ? cos(?2 x) ? cos 2 x ? f ( x) ,所以 f ( x ) 为偶函数,故 q 命题为假, 则

? q 为真,从而 p ? (?q) 为真命题,选 D.


4.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ?{1, 2,3} ,则输出的 s 属于( (A) {1, 2} (C) {2, 3} (B) {1, 3} (D)

{1, 3, 9}

【考点】算法和程序框图 【难度】1 【答案】A 【解析】 当 n=1 时,经过判断后重新赋值得到 n=3,所以输出的 s=1;
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当 n=2 时经过判断后重新赋值得 n=9,此时输出 s=2; 当 n=3 时,判断为是,直接输出 s=1, 所以 s 的集合为{1,2}.选 A 5. 一个几何体的三视图中, 正 (主) 视图和 侧(左)视图如图所示, 则俯视图不可能为 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

【考点】空间几何体的三视图 【难度】1 【答案】C 【解析】 结合正视图和侧视图,且注意到正视图中间为虚线,可知应选 C 6. 某生产厂商更新设备,已知在未来 x 年内,此设备所花费的各种费用总和 y(万元)与

x 满足函数关系 y ? 4 x2 ? 64 ,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限 x
为( (A) 3 (C) 5 【考点】均值定理的应用 【难度】1 【答案】B 【解析】 设年平均花费为 t,则 t ? ) (B) 4 (D) 6

y 4 x 2 ? 64 16 ? ? 4( x ? ) ? 32 x x x
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(当且仅当 x ?

16 时,即 x=4 时,取等号) 。故选 B x


7. “ m ? 3 ”是“曲线 mx2 ? (m ? 2) y 2 ? 1为双曲线”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【考点】充分条件与必要条件;双曲线 【难度】1 【答案】A 【解析】 先考察充分性:

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ?1 当 m ? 3 时, mx2 ? (m ? 2) y 2 ? 1可化为 1 , 1 m m?2
其中

1 1 ? 0 ,所以,该曲线代表双曲线,即充分性成立; ? 0, m?2 m

再考察必要性:

y2 ? x2 ? 1 而当 m ? ?1 时,该曲线为 1 也代表双曲线,即必要性不成立; 3
综上,“ m ? 3 ”是“曲线 mx2 ? (m ? 2) y 2 ? 1为双曲线”的充分不必要条件,选 A 8. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AB = 点 P 为对角线 AC1 上的动点, 2, BC = AA1 = 1 , )

点 Q 为底面 ABCD 上的动点(点 P , Q 可以重合) ,则 B1P + PQ 的最小值为(

(A) 2 (C)

(B) 3 (D) 2

3 2

【考点】立体几何综合 【难度】3 【答案】C 【解析】
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对角线 AC1 上动点 P 到底面 ABCD 上的 Q 点的最小值为 P 在底面 ABCD 上的投影, 即在直线 AC 上,故只须把 ? AB1C1 绕 AC 旋转, 使 ? AB1C1 和 ? ACC1 平铺在一个平面内,如右图。 由垂线段最短知,由 B1 向 AC 引垂线与 AC1 的交点即为满足条件的点 P。 求得

?B1 AC1 ? ?CAC1 ?

?
6



故在 RT ? AMQ 中, AB1 ?

3, ?B1 AQ ?

?
3

,所以 B1Q ?

3 。选 C 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数

10i ? ____. 3?i

【考点】复数综合运算 【难度】1 【答案】1+3i 【解析】

10i 10i (3 ? i ) 10 ? 30i ? ? ? 1 ? 3i 3 ? i (3 ? i )(3 ? i ) 10
10. 抛物线 C:y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程是____;以 C 的焦点为圆心,
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且与直线 l 相切的圆的 方程是____. 【考点】抛物线;直线与圆的位置关系 【难度】1 【答案】

x ? ?1 ; ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4
【解析】 由抛物线的知识可知 C 的准线方程为 x ? ?1 ,焦点为(1,0) , 故所求圆的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4

?1 x ? 1, ? , f ( x ) ? 11.设函数 则 f [ f (2)] ? ____;函数 f ( x) 的值域是____. ?x ? ?? x ? 2, x≤1.
【考点】函数的定义域与值域 【难度】1 【答案】
? 5 2

, [?3, ??)

【解析】

1 1 5 f [ f (2)] ? f [ ] ? ? ? 2 ? ? 2 2 2 ;
当 x ? 1 时 f ( x) ? (0,1) , 当 x ? 1 时 f ( x) ? [?3, ??) , 所以 f ( x) 的值域是 [?3, ??) 12.在 ?ABC 中, 角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c , 若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 2 , 则 A ? ____; ?ABC 的面积为____. 【考点】余弦定理 【难度】1

π 【答案】 3

3 3 2

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【解析】 由余弦定理知 cos A ?

π b 2 ?c 2 ? a 2 1 ,所以 A= ? 3 2bc 2

?ABC 的面积 S ?

1 3 3 bc sin A ? 2 2

? y≥x, 5 ? 13. 若 x, y 满足 ? y≤2 x, 若 z ? x ? my 的最大值为 ,则实数 m ? ____. 3 ? x ? y≤1, ?
【考点】线性规划 【难度】2 【答案】2 【解析】画出符合题意的线性区域如下图, 进而求出 A 点坐标为 ( , ) ,B 点为 ( , ) , 若 z 在 A 处取最大值,解得 m=2,经验证符合题意; 若 z 在 B 处取最大值,解得 m=

1 2 3 3

1 1 2 2

7 , 3

经验证,此时不在 B 处取最大值。不符合题意. 故 m=2.

14. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺时 针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x( x ?[0, π]) , OP 所经过的在正方形
ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x) 有以下三个结论:
第 7页 共 16 页

① f (π) ? 3 ; 3 2
π ② 函数 f ( x) 在区间 ( , π ) 上为减函数; 2 π ③ 任意 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? f ( π ? x) ? 4 . 2

其中所有正确结论的序号是____.

【考点】函数综合 【难度】2 【答案】 ① ③ 【解析】

3 π ?AOP = 3 时,求得 S 为 2 ,故○ 1 正确, 当
当 ?AOP 增大时,S 增大,故○ 2 错误, 结合图形知当 ?AOP ? ? ? x 时, ? AOB 的面积等于 ? BOP 的面积,所以
f ( x) ? f ( π ? x) ? 4 ,故①③正确。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

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共 16 页

已知函数 f ( x) ?

cos 2x(sin x ? cos x) cos x ? sin x

.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调增区间. 【考点】三角函数综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:由题意,得 cos x ? sin x ? 0 , 即 tan x ? 1 , 解得 x ? kπ ?

π , 4

π 所以函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? kπ ? , k ? Z} . 4 cos 2x(sin x ? cos x) (Ⅱ)解: f ( x) ? cos x ? sin x
? (cos 2 x ? sin 2 x)(sin x ? cos x) cos x ? sin x

? (cos x ? sin x)(sin x ? cos x)

? sin 2 x ? 1 ,

π π ? 2kπ≤2x≤ ? 2kπ , 2 2 π π 得 ? ? kπ≤x≤ ? kπ , 4 4 π 又因为 x ? kπ ? , 4
由 ? 所以函数 f ( x) 的单增区间是 (?

π π ? kπ, ? kπ) , k ? Z . 4 4

(或写成 [?

π π ? kπ, ? kπ) ) 4 4

16. (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , an?1 ? 1 ? Sn (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

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( Ⅱ ) 若 数 列 {bn } 为 等 差 数 列 , 且 b1 ? a1 , 公 差 为
1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn 的大小.

a2 . 当 n≥3 时 , 比 较 bn ?1 与 a1

【考点】数列综合运用 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)证明:因为 an ?1 ? 1 ? Sn , 所以当 n≥2 时, an ? 1 ? Sn ?1 , 由①②两式相减,得 an?1 ? an ? an , 即 an ?1 ? 2an (n≥2) , 因为当 n ? 1 时, a2 ? 1 ? a1 ? 2 , 所以 所以
a2 ?2, a1

① ②

an ?1 ? 2 ( n ? N* ) . an

所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? 2n?1 . (Ⅱ)解:因为 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , 所以 bn ?1 ? 2n ? 1, 1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? 因为 (n2 ? 1) ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) , 由 n≥3 ,得 n(n ? 2) ? 0 , 所以当 n≥3 时, bn ?1 ? 1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AE ? DE , CD ? 平面 ADE ,

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 ? 1, 2

AB ? 平面 ADE , CD ? DA ? 6 , AB ? 2 , DE ? 3 .
(Ⅰ)求 棱 锥 C ? A D E 的体积;
第 10 页 共 16 页

(Ⅱ)求 证 : 平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 AF // 平面 BCE ? 若存在,求出

EF ED

的值;若不存在,说明理由.

【考点】立体几何综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:在 RtΔADE 中, AE ? 因 为 CD ? 平 面 ADE, 所以棱锥 C ? ADE 的 体 积 为 VC ? ADE ?

AD2 ? DE 2 ? 3 3 .

1 3

SΔADE ? CD ?

1 AE ? DE ? ? CD ? 9 3 . 3 2

(Ⅱ)证明:因为 CD ? 平 面 ADE, AE ? 平 面 ADE, 所以 CD ? AE . 又因为 AE ? DE , CD ? DE ? D , 所 以 AE ? 平 面 C D E. 又因为 AE ? 平面 ACE , 所以平面 ACE ? 平面 CDE .

(Ⅲ)结论:在线段 DE 上存在一点 F ,且

EF ED

?

1 3

,使 AF // 平面 BCE

第 11 页

共 16 页

, 3 1 过点 F 作 FM //CD 交 CE 于 M ,则 FM = CD . 3

解:设 F 为线段 DE 上一点, 且

EF

ED

?

1

因为 CD ? 平 面 ADE, AB ? 平 面 ADE, 所以 CD //AB . 又 因 为 C D? 3 A B 所以 MF ? AB , FM //AB , 所以四边形 ABMF 是平行四边形, 则 AF //BM . 又因为 AF ? 平面 BCE , BM ? 平面 BCE , 所 以 AF // 平面 BCE . 18. (本小题满分 13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据这 10 个 卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场, 在同型号电视机的销售中, 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该 型号电视机的“星级卖场”. (Ⅰ)求在这 10 个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数; (Ⅱ)若在这 10 个卖场中,乙型号电视机销售量的平均数为 26.7,求 a>b 的概率; (Ⅲ)若 a=1,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时, s 2 达到 最小值. (只需写出结论) (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平 n

均数) 【考点】概率综合 【难度】3 【答案】见解析
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【解析】 (Ⅰ)解:根据茎叶图, 得甲组数据的平均数为

10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 , 10

由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为 5 . (Ⅱ)解:记事件 A 为“a>b”, 因为乙组数据的平均数为 26.7, 所以

10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? (30 ? a) ? (30 ? b) ? 43 ? 26.7 , 10

解得 a ? b ? 8 . 所以 a 和 b 取值共有 9 种情况,它们是: (0,8) , (1,7) , (2, 6) , (3,5) , (4, 4) , (5,3) ,
(6, 2) , (7,1) , (8,0) ,

其中 a>b 有 4 种情况,它们是: (5,3) , (6, 2) , (7,1) , (8,0) , 所以 a>b 的概率 P( A) ?

4 . 9

(Ⅲ)解:当 b=0 时, s 2 达到最小值. 19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 E:

x2 y 2 + ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 A 为椭圆 E 的左顶点, a 2 b2

点 B 为椭圆 E 的上顶点,且 | AB |? 2 . (Ⅰ)若椭圆 E 的离心率为
6 3

,求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q . 若以 PQ 为 直径的圆经过点 F1 ,证明:点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上. 【考点】线性规划 【难度】4 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:设 c ? a2 ? b2 , 由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,且
c 6 ? , a 3

解得 a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 .
第 13 页 共 16 页

所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3
x2 y2 ? ?1, a2 4 ? a2

(Ⅱ)解:由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为

则 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) , c ? a2 ? b2 ? 2a2 ? 4 . 设 P( x0 , y0 ) , 由题意,知 x0 ? c ,则直线 F1 P 的斜率 k F P ? 1

y0 , x0 ? c

直线 F2 P 的斜率 k F2 P ?

y0 , x0 ? c
y0 ( x ? c) , x0 ? c

所以直线 F2 P 的方程为 y ?

当 x ? 0 时, y ?

? y0c ,即点 Q(0, ? y0c ) , x0 ? c x0 ? c y0 , c ? x0

所以直线 F1Q 的斜率为 k F Q ? 1

因为以 PQ 为直径的圆经过点 F1 , 所以 PF1 ? FQ 1 . 所以 kF1P ? kF1Q ?

y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? c c ? x0


2 2 化简,得 y0 ? x0 ? (2a2 ? 4) ,

又因为 P 为椭 圆 E 上一点,且在第一象限内, 所以
2 2 x0 y0 ? ? 1 , x0 ? 0 , y0 ? 0 , a2 4 ? a2



1 2 a2 由①②,解得 x0 ? , y0 ? 2 ? a , 2 2
所以 x0 ? y0 ? 2 , 即点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上. 20. (本小题满分 13 分) 1? x 已知函数 f ( x ) ? ,其中 a ? R . 1 ? ax 2
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(Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
4

1

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对任意的 x ,都有 ?m ≤ f ( x) ≤ m 成立; (Ⅲ)当 a ? 2 时,是否存在实数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? a) 仅有负实数解?当
1 a ? ? 时的情形又如何?(只需写出结论) 2

【考点】导数的综合运用 【难度】4 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:当 a ? ?

1 4

时,函数 f ( x) ?

1? x , 1 1 ? x2 4

求导,得 f ?( x) ?

? x 2 ? 2 x ? 4 ?( x ? 1) 2 ? 3 ? , 1 2 2 1 2 2 4(1 ? x ) 4(1 ? x ) 4 4

因为 f (1) ? 0 , f ?(1) ? ?

4 , 3

所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x ) ? 求导,得 f ?( x) ?

1? x 的定义域为 R . 1 ? ax 2

ax 2 ? 2ax ? 1 (1 ? ax 2 ) 2



令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x1 ? 1 ? 1 ?

1 a

? 0 , x2 ? 1 ? 1 ?

1 a

?1,

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ??)
+ ↗

?


所以函数 f ( x) 在 (??, x1 ) , ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减.

第 15 页

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又因为 f (1) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ?

1? x 1 ? ax
2

? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ?

1? x 1 ? ax 2

?0,

所以当 x≤1 时, 0≤f ( x)≤f ( x1 ) ;当 x ? 1 时, f ( x2 )≤f ( x) ? 0 . 记 M ? max{ | f ( x1 ) |, | f ( x2 ) | } ,其中 max{ | f ( x1 ) |, | f ( x2 ) | } 为两数 | f ( x1 ) | ,

| f ( x2 ) | 中最大的数,
综上,当 a ? 0 时,存在实数 m ? [ M , ??) ,使得对任意的实数 x ,不等式 ?m≤f ( x)≤m 恒成立. (Ⅲ)解:当 a ? ? 有负实数解.

1 2

与 a ? 2 时,不存在实数 k ,使得关于实数 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? a) 仅

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