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2.2.3《直线与平面平行的性质》20161212

时间:2017-03-16


2.2.3

线面平行的性质

探研新知 探究1:如果一条直线与一个平面平行,那 么这条直线与这个平面内的直线有哪些位 置关系?
a
b α α a b

平行

异面

探研新知 探究2:如果一条直线a与平面α平行,在什 么条件下直线a与平面α内的直线平

行呢? 由于a与平面α内的任何直线无公共点, 所以过直线a的某一平面,若与平面α相交, 则直线a就平行于这条交线。

下面我们来证明 这一结论.

β

a
b

α

探研新知

已知:如图,a∥α, a ?β,α∩β=b. α 求证:a∥b.

β

a b

证明:∵α∩β=b,∴b?α ∵ a∥α,∴a与b无公共点, ∵a?β,b?β,∴a∥b
我们可以把这个结论 作定理来使用.

直线与平面平行的性质定理:
一条直线和一个平面平行,则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号表示:

a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b

a // b
β α a b

作用: 可证明两直线平行

欲证“线线平行”,可先证明“线面平行”

直线与平面平行的性质定理:

一条直线和一个平面平行,则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行

直线和平面平行的判定定理:

直线与直线平行

直线与平面平行

直线和平面平行的性质定理: 注意: 平面外的一条直线只要和平面内的任一条 直线平行,则就可以得到这条直线和这个平面 平行;但是若一条直线与一个平面平行,则这 条直线并不是和平面内的任一条直线平行,它 只与该平面内与它共面的直线平行.

探研新知

探究4.室内的日光灯管所在的直线与地面 平行,如何在地面上作一条直线与灯管所 在的直线平行?
答:只需由灯管两 端向地面引两条 平行线,过两条平 行线与地面的交 点的连线就是与 灯管平行的直线

例题示范 例1:已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.
第一步:将原题改写成数学符号语言

如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α,a,b都在平面α 外.求证:b//α.
第二步:分析:怎样进行平行的 转化?→如何作辅助平面? α 第三步:书写证明过程

a c

b

例题示范 如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α,a,b都在平面α 外.求证:b//α. 证明:过a作平面β,使它与平 α 面α相交,交线为c. 因为a//α,a ?β,α∩β=c,所 以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c ?α, b? α, 所以 b// α

β
a c b

课堂练习

课堂练习

课堂练习

课堂练习

例题示范
例2:有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′。 (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木 料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面AC有什么关系?

解:(1)过点P作 EF∥B’C’,分别交棱 A’B’,C’D’于点E,F 连接BE,CF,则 EF,BE,CF就是应画的线

E
F

例题示范
(2)因为棱BC平行于平面A'C', 平面BC'与平面A'C'交于B'C', 所以BC∥B'C',由(1)知, EF∥B'C',所以,EF∥BC,因 此,EF//BC, EF?平面AC,BC?平面AC.所 以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。

小结
线面平行的判定定理 线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和 交线平行。

作业布置