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江西省南昌市八一中学2014-2015学年高二数学5月月考试题 理

时间:2016-09-16


2015 年 5 月南昌市八一中学高二理科数学月考试卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.某工程队有 5 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完 成后立即进行.那么安排这 5 项工程的不同排法种数是( ) A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 2.设 m, n 是两条不同直线, ? ,

? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 ( ) (A) m / /? , n / / ? 且? / / ? , 则m / / n (B) m ? ? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n (C) m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? (D) m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ? 3.从 3 名语文老师、4 名数学老师和 5 名英语老师中选派 5 人组成一个支教小组,则语文、数学和英语老 师都至少有 1 人的选派方法种数是( ) A.590 B.570 C.360 D.210 4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

40 A. 3

80 B. 3

4

C.40

D.80

4
1 x

1

4

5 5. 已知 (2 x ? ) 的展开式中各项系数之和为 1, 则该展开式中含

a x

项 的

系数为 A、 ?40 B、40 C、 ?20 D、20 6 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( 1 1 A. B. 2 3 1 1 C. D. 4 6 7.若

)

?x

2

? 1? ? x ? 3? ? a0 ? a1 ? x ? 2 ? ? a2 ? x ? 2 ? ? a3 ? x ? 2 ? ? ??? ? a11 ? x ? 2 ? ,
9 2 3 11

则 a1 ? a2 ? ??? ? a11 的值为 (

)

(A)0 (B) ?5 (C)5 (D)255 8.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人) ,其中甲和乙不同去,甲和丙只 能同去或同不去,则不同的选派方案共有( ) A.150 种 B.300 种 C.600 种 D.900 种 9.从数字 1,2,3,4,5 中随机的抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于 9 的 概率为( ) A

13 125

B

16 125

C

8 125

D

19 125

10 用 4 种不同颜色给一个正方体的六个面涂色,要求相邻的两个面涂不同的颜色,共有( )种不同的 涂法. A.48 B.96 C.120 D.240 11.在三棱锥 C ? ABD 中(如图) , ?ABD 与 ?CBD 是全等的等腰直角三角形, O 为斜边 BD 的中点, AB ? 4 ,二面角 A ? BD ? C 的大小为 600,并给出下面结论:①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC 为正三角形; ④ cos ?ADC ?

⑤四面体 ABCD 的外接球面积为 32? .其中真命题是 A.②③④ B.①③④ C.①④⑤ D.①③⑤ 12 已 知 四 面 体

3 ; 4

P ? ABC 的内切球半径与外接球半径的比(

P ? ABC 中 , PA ? 4 , AC ? 2 7 , PB ? BC ? 2 3 , PA ? 平 面 PBC, 则 四 面 体

1

A.

2 16
1 x

B.

3 2 8

C.

3 2 16

D.

2 8

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
4 13. ( x ? 2 ? ) 展开式中的常数项为

14. 有 10 个运动员名额,分给 6 个班,每班至少一个,有 种分配方案. 15. 若甲乙两人从 6 门课程中各选修 3 门,则甲乙所选的课程中恰有 2 门相同的选法 有 ..
m 16.从装有 n ? 1 个球(其中 n 个白球,1 个黑球)的口袋中取出 m 个球 ? 0 ? m ? n, m, n ? N ? ,共有 Cn ?1 种 m 0 m 取法。在这 Cn ?1 种取法中,可以分成两类:一类是取出的 m 个球全部为白球,有 C1 ? Cn 种取法,另一

种(用数字作答)

1 m?1 m 1 m?1 m 类是取出一个黑球, m ? 1 个白球,有 C1 种取法,所以有 C10 ? Cn ? Cn ? C1 ? Cn ? Cn ?1 ,即有等式: m m?1 m Cn ? Cn ? Cn ?1 成立.试根据上述思想化简下列式子: m 1 m?1 m? 2 m? k Ck0 ? Cn ? Ck ? Cn ? Ck2 ? Cn ? ?? Ckk ? Cn ?

. (1 ? k ? m ? n, k , m, n ? N )

三、解答题:(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,18—22 每小题 12 分,共 70 分) 3、 4、 5、 6 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数, 17. 从 2、 (1)可以组成多少个无重复数字的 3 位偶数 (2)可以组成多少个无重复数字且被 3 整除的三位数

18.学校为测评班级学生对任课教师的满意度,采用“100 分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机 抽取 10 名,以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎,个位数字为叶) : 规定若满意度不低于 98 分,测评价该教师为“优秀”. (I)求从这 10 人中随机选取 3 人,至多有 1 人评价该教师是“优秀”的概率; (II)以这 10 人的样本数据来估计整个班级的总体数据,若从该班任选 3 人,记 ? 表示抽到评价该教师 为“优秀”的人数,求 ? 的分布列.

19.如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的的菱形,?BAD ? 60? ,四边形 BDEF 是矩形, 直线 BF⊥平面 ABCD , BF ? 3 , G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点. (Ⅰ)求证:平面 BDGH / / 平面 AEF ; (Ⅱ)求直线 CF 与平面 AEF 所成角的余弦值.

E

F D
A
B

G
H
2

C

2

20.已知 ( x 3 ? 3x 2 ) n 的展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.

. 21..在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡 片的标号分别为 x、y,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y), 记 ?= x-2 ? y-x . (I)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (II)求随机变量 ? 的分布列

3

22.如图 1,在 Rt ???C 中, ???C ? 90? , ???C ? 60? , ?? ? 2 , D 、 ? 分别为 ? C 、 ? D 的中点, 连接 ?? 并延长交 ? C 于 F ,将 ??? D 沿 ? D 折起,使平面 ?? D ? 平面 ? CD ,如图 2 所示.

? ? ? 求证: ?? ? 平面 ? CD ; ? ?? ? 求平面 ??F 与平面 ?DC 所成的锐二面角的余弦值; ? ??? ? 在线段 ?F 上是否存在点 ? 使得 ?? // 平面 ?DC ?若存在,请指出点 ? 的位置;若不存在,说明
理由.

4

南昌市八一中学高二数学(理科)月考参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项是正确的) 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 A 5 A 6 B 7 C 8 C 9 D 10 B 11 D 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填写在横线上) 13. 70
1 3

14. 126

15. 180

m 16. Cn ?k

17. (1)

A ?A

2 4

? 36
(2,4,6) (3,4,5) (4,5,6) 共 4 组 4 ?

(2) 满足题意的有: (2,3,4) 18. (1) 设

A

3 3

? 24

表示所取 3 人中有 个人评价该教师为“优秀”,至多有 1 人评价该教师为“优秀”记为事



,则

(2)由题意可知 的可能取值为 0、1、2、3,求出







分布列为

1

z E
19.(Ⅰ)证明:在 ?CEF 中,因为 G , H 分别是 CE, CF 的中点, 所以 GH / / EF , 又因为 GH ? 平面 AEF , EF ? 平面 AEF , 所以 GH / / 平面 AEF . 设 AC ? BD ? O ,连接 OH , 因为 ABCD 为菱形,所以 O 为 AC 中点 在 ?ACF 中,因为 OA ? OC , CH ? HF , 所以 OH / / AF , 又因为 OH ? 平面 AEF , AF ? 平面 AEF ,
5

F

G
D
O

?????? 2 分

H

C

y

A B

x

所以 OH / / 平面 AEF .

?????? 4 分

又因为 OH ? GH ? H , OH , GH ? 平面 BDGH , 所以平面 BDGH / / 平面 AEF . (Ⅱ)解:取 EF 的中点 N ,连接 ON , 因为四边形 BDEF 是矩形, O, N 分别为 BD, EF 的中点, 所以 ON / / ED ,因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,所以 ED ? 平面 ABCD , 所以 ON ? 平面 ABCD , 因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD ,得 OB, OC , ON 两两垂直. 所以以 O 为原点, OB, OC , ON 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴, 如图建立空间直角坐标系. 因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , BF ? 3 , 所以 A(0, , D(?1, 0, 0) , E (?1, 0,3) , F (1, 0,3) , C (0, 3,0) , ? 3,0) ???????????7 分 所以 ??????5 分

EA ? (1 , ? 3, ? 3)

,

EF ? (2, 0, 0)

. 设平面

AEF

的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

r

? ? x ? 3 y ? 3z ? 0 ?EA ? n ? 0 ?? ? ? ?2 x ? 0 ?EF ? n ? 0 ? 令 z ? 1 ,得 n ? (0, ? 3,1) .


?????9 分

CF ? (1 , ? 3, 3)
设直线 CF 与平面 AEF 所成角为 ? 则

sin ? ? cos n, CF ?

3 13

.?????11 分

所以

COS? ?

2 13 13

??????12 分

n 2n 20. 解 : 令 x ? 1 得 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 为 (1 ? 3) ? 2 , 而 展 开 式 的 二 项 式 系 数 的 和 为
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ,

∴有 2 ? 2 ? 992. ∴n ? 5. (1)∵ n ? 5 ,故展开式共有 6 ,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.
2n n

6

∴ T3 ? C ( x ) ? (3x ) ? 90x ,
2 5 2 2 6

2 3 3

T4 ? C ( x ) ? (3x ) ? 270x .
3 5 2 2 3

2 3

22 3

(2)设展开式中第 r ? 1 项的系数最大.
r r Tr ?1 ? C5 ? ( x 3 )5?r ? (3x 2 ) r ? C5 ? 3r ? x 2 10? 4 r 3



故有 ?

? ?C ? 3 ? C
r 5 r 5 r r

r ?1 5 r ?1 5

?3

r ?1 r ?1

? ?C ? 3 ? C

?3

1 ?3 ? , ? ?r 6 ? r 即? ? 1 ? 3 . ? ?5 ? r r ?1
26 3

解得

7 9 ? r ? .∵ r ? N , 2 2

∴ r ? 4 ,即展开式中第 5 项的系数最大.

T5 ? C ? ( x ) ? (3x ) ? 405x
4 5 2 4

2 3 1

21.(1)



可能的取值为 、 、 , 或 种, . 这一种情况, 或 或 或 两种情况. 时,



, 有放回抽

,且当 两张卡片的所有情况有 (2) 的所有取值为 时,只有 时,有 时,有

.因此,随机变量 的最大值为 . .



四种情况,

, 则随机变量 的分布列为:





0 0 22.(1)在 Rt ?ABC 中, ?ABC ? 90 ,D 为 AC 的中点,? AD ? BD ? DC ,又 ?BAC ? 60 ,所以三

角形 ABD 为等边三角形;? E 为 BD 的中点,? AE ? BD 于 E,因为平面 ABD ? 平面 BCD ,交线 为 BD, AE ? 平面 ABD ,所以 ?? ? 平面 ? CD ; (2)由(1)结论知: AE ? 平面 BCD ,? AE ? EF ,由题意知 EF ? BD ,AE ? BD ,以 E 为坐标原
7

点,分别以 EF、ED、EA 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 E ? xyz ,由(1)得,

AE ? BD ? DC ? AD ? 2,BE ? ED ? 1,
计算: AE ?

3,BC ? 2 3,BF ?

3 , 3
3 ,0) 3



E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,?1,0),A(0,0, 3),F(
3



C( 3,2,0)





DC ? (

??? ?

AD , ? (1
?

???

0 ? ,

??? AEF ,易知平面 , 0 1) , , 的一个法向量为 3 ) ED ? (0,1,0),

设平面 ADC 的法向量为 n ? (x ,y ,z ),则

? ??? ? ? ? ?n ? DC ? 0 ? 3x ? y ? 0 ,即 ? , ? ? ??? ?n ? AD ? 0 ? y ? 3z ? 0 ? ?
令y ?

? ??? ? 3,x ? 1,? n ? (1, 3,?1). cos ? n,ED ??
15 5

3 1? 5

?

15 . 5

所以平面 AEF 与平面 ADC 所成的锐二面角的余弦值为

(3)设 AM ?

??? ?

? AF ,其中 ? ? [0,1],
, 其 中

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 3 3 ? AF ? ( ,0,? 3),? AM ? ? AF ? ?( ,0,? 3) 3 3

? ?[

0

, ,

1

]

EM ? EA ? AM ? (

??? ?

?? ?

??? ?

??? ? ? 3 3? ? (0,1). ,0,(1 ? ? ) 3),由 EM ? n ? 0,解得 ? ? 4 3

所以在线段 AF 上存在点 M ,使 EM // 平面 ADC ,且 AM : AF ? 3 : 4 .

8


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