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2013年上海高一数学自招专题第7讲 :函数的性质与函数方程(教师)


2013 年上海高一数学自招专题第 7 讲 :函数的性质与函数方程
一、 补充
几个具体函数的图象与性质 1.二次函数

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)
y? cx ? d (bc ? ad) ax ? b

2.一次有理分函数

a (a ? 0) x a 4. y ?

x ? ( a ? 0) x
3. y ? x ?

(对钩函数)

5. y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (三次函数)

二、 函数图象
1.作法

1 ? 描点法 2 ? 叠加法

3? 利用函数的性质

如: y ?

1 , y ? sin x ? cos x x ?1
2

? lg x ? 1 ? 4 利用图象变换 如: y ? ? ?0 ?
?

x ?1 x ?1

2. 1 f ( x) ? g ( x) 的几何意义;
?

f ( x) ? g ( x) 的几何意义.
x 的实根的个数; 100 1 又如:已知 x 2 ? loga x 的解集为 (0, ) ,求 a . 2
如:求方程 sin x ?

2 ? 若连续函数 f ( x) 满足 f (a) f (b) ? 0(a ? b) ,则 f ( x) 在 ( a, b) 内至少有一根.

三.函数性质
函数性质主要有:定义域、值域(最值) 、单调性、奇偶性、周期性、对称性、凸性等. 这里只介绍后三个性质的一些一般性结论. 1.周期性

1 ? 若 f ( x ? t ) ? ? f ( x)(t ? 0, t为常数)则 T ? 2t 为周期;
1

2? 若 f ( x ? t ) ?

1 1 (或 f ( x ? t ) ? ? )则 T ? 2t 为周期; f ( x) f ( x)

3? f ( x ? t ) ? f ( x ? t ) ? f ( x) ,则 T ? 6t 为周期;
4? f ( x ? t ) ?

1 ? f ( x) ,则 T ? 2t 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则 T ? 4t 1 ? f ( x)

5? f ( x ? t ) ?

2.对称性: (分自对称和双对称两类)
1? 自对称
轴:若 f ( x ? a) ? f (b ? x) ,则 f ( x) 的图象关于 x ?

a?b 对称. 2

中心:若 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ,则 f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称.

2 ? 双对称:

y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于 x ?

b?a 对称 2

y ? f ( x) 与 y ? 2b ? f (2a ? x) 的图象关于点 (a, b) 对称
3.凸性:

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,称 f ( x) 为下凸函数. 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 如果 f ( x) 满足 f ( 1 ,称 f ( x) 为上凸函数. 2 2
对任意 x1 , x2 ? D ,如果 f ( x) 满足 f ( 琴生(Tensen)不等式
? 设P ,2,? ? ?, n) , f ( x) 是区间 D 上的严格下凸函数,则对于任意的 i ? R (i ? 1

x1, x2 ,? ? ?, xn ? D ,有:

f(

p1 x1 ? p2 x2 ? ? ? ? pn xn p f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? ? ? ? ? pn f ( xn ) )? 1 p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn

若 f ( x) 为上凸,则不等式反向.

2

典型例题
1. 设函数 y=f(x)对一切实数 x 都满足:f(3+x)=f(3-x),且方程 f(x)=0 恰有六个不同的实 数根,则这六个实根的和是 2. 已知 f(x)是定义域为 ?x | x ? R且x ? n, n ? Z? 的一个周期函数,最小正周期为 2, 已知 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x 2 x ? (1,2) 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 4 , 则 f(x)为 ( A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶 )

3. 设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数。已知当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? x ,则当 x ? [?2,0] 时,f(x)的解析式是

4. 设 x,y 是实数,且满足 ?

3 ? ( (x - 1) ? -1 ? x - 1) ? 2013 ,则 x+y= 3 ? ( y 1 ) ? 2013 ( y 1 ) ? 1 ?

5. 设三个函数,第一个是 y ? ? ( x) ,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像 与第二个函数图像关于直线 x+y=0 对称,那么第三个函数是

6. 设函数 f(x)对任意 x ? R ,满足 f ( x ? T ) ? 函数?

f ( x) ? 1 ,其中 T ? 0 ,问 f(x)是不是周期 f ( x) ? 1

3

7. 设 x 是正实数,则函数 y ? x ? x ?
2

3 的最小值为 x

8. 若 x ? 0 ,则 f ( x) ?

x4 ? x2 ?1 ? x4 ?1 的最大值为 x

9. 函数 f ( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 4 ? x 2 ? 2 x 的最小值为

10. 求函数 f ( x) ? 8x ? x 2 ? 14x ? x 2 ? 48 的最小值和最大值。

11. 当 x ? [?1,1] 时,求 f ( x) ?

x 4 ? 4 x 3 ? 17x 2 ? 26x ? 106 的值域。 x 2 ? 2x ? 7

4

12. 已知函数 f(x)定义在非负整数集上,且对于任意正整数 x,都有 f(x)=f(x-1)+f(x+1), 若 f(0)=2016,求 f(2016).

13. 设函数 f(x)对一切实数 x 满足: f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且 f(0)=0,求证: f(x)=0 的根在区间[-30,30]上至少有 13 个,且 f(x)是以 10 为周期的周期函数。

14. 求函数 f ( x) ?

x 4 ? 3x 2 - 6x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。

15 . 设 二次函数 f ?x? ? ax ? bx ? c?a ? 0? , 方程 f ? x ? ? x ? 0 的两 个根 x1 , x 2 满 足
2

5

0 ? x1 ? x2 ?

1 . 当 x? a

?0, x1 ? 时, (1)证明 x ? f ?x ? ? x .
1

(2)若函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? x 0 对称,证明: x 0 ?

x1 . 2

. 证明: (1)由题意可知

f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) .
1 ,∴ a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0 , a

? 0 ? x ? x1 ? x 2 ?


当 x ? 0, x1 时, f ( x) ? x .

?

?

又 f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? x ? x1 ? ( x ? x1 )(ax ? ax2 ? 1) ,

x ? x1 ? 0, 且ax ? ax2 ? 1 ? 1 ? ax2 ? 0, ∴
综上可知,所给问题获证. (2)由题意 f ?x? ? x ? ax2 ? (b ? 1) x ? c . 它的对称轴方程为 x

f ( x) ? x1 ,

? b ?1 ? 2a
1 , 可得 a

由方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满足 0 ? x1 ? x 2 ?

b ?1 1 b ?1 b ?1 ? x2 ? , 且 ? x1 ? x 2 ? , ? 2a a ? 2a ? 2a b ?1 b ?1 1 b ?1 ? x1 ? x 2 ? ? ? ∴ , ? 2a ? 2a a ? 2a 0 ? x1 ?


?

b ? x1 , a

而x ? ? b 0

2a



x0 ?

x1 . 2

16.二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足 (1)pf(

p q r ? ? =0,其中 m>0,求证: m ? 2 m ?1 m

m )<0; m ?1 m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1

(2)方程 f(x)=0 在(0,1)内恒有解. 证明:(1) pf (

6

? pm[

pm q r pm p ? ? ] ? pm[ ? ] 2 2 m ?1 m m?2 ( m ? 1) ( m ? 1) m( m ? 2) ? ( m ? 1) 2 ] ( m ? 1) 2 ( m ? 2)

? p 2 m[

? pm 2

?1 m ,由于 f(x)是二次函数,故 p≠0,又 m>0,所以,pf( )<0. 2 ( m ? 1) ( m ? 2) m ?1

(2)由题意,得 f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当 p<0 时,由(1)知 f( 若 r>0,则 f(0)>0,又 f(

m )<0 m ?1

m m )<0,所以 f(x)=0 在(0, )内有解; m ?1 m ?1 p r p r 若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(- ? )+r= ? >0, m?2 m m?2 m m m 又 f( )<0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解. m ?1 m ?1
②当 p<0 时同理可证.

7


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