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海南省琼海市嘉积中学2013届高三第二学期高中教学质量监测(一)(文科数学)

时间:2013-10-10


海南省琼海市嘉积中学 2013 届高三第二学期高中教学质量监测 (一) 文科数学 (时间:120 分钟 满分:150 分)

欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩!

第 I 卷(选择题
中,只有一项是符合题目要求的。

共 60 分)

一、选择题:本大题共有 12 道小题,每小题 5 分,

在每道小题给出的四个选项 1、设集合 A ? ??2, ?1, 0, 2? , B ? ?0,1, 2,3, 4? ,U=R 则 A ? (CR B) ? ( )

A、 ? B、 ?0,1? C、 ??2, ?1? D、 ??2, ?1, 0? 2、下列关于命题的说法中错误的是( ) 2 A、 对于命题 P: x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 , ?P : x R , x2 ? x ? 1 ? 0 则 则 ? ?? 2 B、 x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “ C 、 命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题是: “若 x ? 1 ,则 2 x ? 3 x ? 2 ? 0” D、若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 3、若 a ? 0, b ? 0 ,函数 f ( x) ? 4 x3 ? ax 2 ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的 最大值是( ) A、9 B、6 C、3 D、2 1 4、等差数列 ?an ?中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 a9 ? a11 ? ( ) 3 A、17 B、16 C、15 D、14 2 2 x y 5、设 F1、F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点,若 F1、F2、P a b (0,2 b )是正三角形的三个顶点,则双曲线离心率是( ) 3 5 A、 B、2 C、 D、3 2 2 开始 6、在一个袋子中装有分别标注 1、2、3、4、5 的 5 个 形状大小完全相同的小球,现从中随机取出 2 个小球,则 取出小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的概率是( )
输入 x

x ? 2?
y ? x2





1 1 3 2 A、 B、 C、 D、 4 10 10 5 7、执行如图所示的程序框图,若输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

x ? 5?


y ? 2x ? 3

y?

1 x

输出

y

结束

8、 将函数 f ( x) ?

2 6 ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移 个单位后得到函数 2 2 4

x g ( x) 的图象,则 g ( ) ? ( 4



A、

6 2

B、-1

C、 2

D、2

9、如图为一几何体的三视图, 则该几何体体积为( ) 10 A、 3 B、6 C、

2
1

2
主视图

2
侧视图

14 3 7 D、 俯视图 3 2 2 10、圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,圆 M 方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,P 为圆 M

上任一点,过 P 作圆 O 的切线 PA,若 PA 与圆 M 的另一个交点为 Q,当弦 PQ 的长度最大时,切线 PA 的斜率是( ) A、7 或 1 B、 ?7 或 1 C、 ?7 或-1 D、7 或-1 2 11、已知直线 l1 : x ? ?1, l2 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,抛物线 y ? 4 x 上有一动点 P 到直 线 l1 , l 2 的距离之和的最小值是( ) A、
27 16

B、

11 5

C、3

D、2
a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10

12、已知等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 ,且 a1 , a , a 成等比数列,则 3 9
( )

A、

11 20

B、

13 16

C、

9 16

D、

17 20

第 II 卷
二、填空题(本大题共有 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13、将容量为 n 的样本中数据分成 6 个组,制成一个频率分布表,若第一组至 第六组的数据频率之比为 2: 3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和为 27, 则n= 。 14、已知 i 是虚数单位, z ?
3?i 则 z 的共轭复数是 1 ? 3i



?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 15 、 动 点 P( x, y ) 满 足 ? x ? y ? 2 ? 0 , 点 Q ( 5 , 4 ) 则 PQ 的 最 小 值 ? y ?1 ? 0 ?



。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 16、 a 、 、 为非零向量, a + b + c = O , 设 b c 且 向量 a 、 夹角为 60? ,a ? b ? 1 , b ? ? 则向量 a 与 c 的夹角为 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A 为锐角,记角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 设向 ?? ? ?? ? ? 量 m ? (cos A,sin A), n ? (cos A, ? sin A), m 与 n 的夹角为 。 ?? ? 3 (I)求 m ? n 及角 A 的大小。 (II)若 a ? 7, c ? 3 ,求△ABC 的面积。 18、 (本题满分 12 分) 某糖厂为了了解一条自动生产线上袋装白糖的重量,随机抽取了 100 袋,并 称出每袋白糖的重量(单位:g) ,得到如下频率分布表。 分组 频数 频率 y1 [485.5,490.5) 10 x1 y2 [490.5,495.5) x2 y3 [495.5,500.5) [500.5,505.5] 10 合计 100 表中数据 y1 , y2 , y3 成等差数列。 (I)将有关数据分别填入所给的频率。 分布表的所有空格内,并画出频率分布直方图。 (II)在这 100 包白糖的重量中,估计其中位数。 19、 (本题满分 12 分) 如图四棱锥 E—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边 形。∠ABC=45°,BE=BC= 2 3 EA=EC=6,M 为 EC 中 点,平面 BCE⊥平面 ACE,AE⊥EB (I)求证:AE⊥BC 20、 (本题满分 12 分) (II)求四棱锥 E—ABCD 体积
E D M C B

A

已知平面上动点 P( x, y )及两个定点 A(-2,0) ,B(2,0) ,直线 PA、 1 PB 的斜率分别为 k1 、 k 2 且 k1 ? k2 ? ? 4 (I)求动点 P 所在曲线 C 的方程。 (II) 设直线 l : y ? kx ? m 与曲线 C 交于不同的两点 M、 当 OM⊥ON 时, N,

求点 O 到直线 l 的距离。 为坐标原点) (O

21、 (本题满分 12 分) 1? x 已知函数 f ( x) ? ? ln x (a ? 0) ax 1 (I)当 a ? 时,求 f ( x) 在[1, e ]上的取值范围。 2 1 (II)若 g ( x) ? f ( x) ? x 在[1, e ]上为增函数,求 a 的取值范围。 4 四、选作题,请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所 做的 第一题记分,每道题满分 10 分) 你所选做的是第( )题 22、选修 4—1:几何证明选讲 E 如图 AB 为圆 O 直径,P 为圆 O 外一点,过 P 点作 PC⊥AB,
垂是为 C,PC 交圆 O 于 D 点,PA 交圆 O 于 E 点,BE 交 PC 于 F 点。 (I)求证:∠PFE=∠PAB (II)求证:CD2=CF·CP 23、选修 4—4:坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角 坐标 ? ? 为(1,-5) ,点 M 的极坐标为(4, ) ,若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 2 3 C 以 M 为圆心,4 为半径。 (I)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程。 (II)试判定直线 l 与圆 C 的位置关系。 24、选修 4—5,不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? ? x ? 3 ? a (I) 解关于 x 的不等式 g ( x) ? 6 (II) 若函数 y ? 2 f ( x) 的图象恒在函数 y ? g ( x) 的上方, 求实数 a 的取值范 围。
a?R

数学(文科)参考答案

b2 ? 3 ? 2 b ? 3

3 ? 7 2

b?4
1 3? ? 2 3

1 1 S?ABC ? bcsinA ? ? 4 ? 2 2

18、 (1)
分组 频数

频率 10
30 50 0.1 0.3 0.5

[485.5,490.5) [490.5,495.5) [495.5,500.5) [500.5,505.5]
合计 100

10

0.1 1

(2) 由频率分布直方图知中位数应在第三组设中 位数为 x
0.1 ? 0.3 ? 0.1( x ? 495.5) ? 0.5

x?496.5

这 100 包白糖重量的中位数为 496.5g 19、 (1)证明:BE=BC, M 为 EC 中点 ∴BM⊥EC 又平面 BCE⊥平面 ACE 且交于 EC ∴BM⊥平面 ACE, AE⊥BM 又 AE⊥EB EB ? BM=B BM、EB ? 平面 BCE

∴AE⊥平面 BCE,

AE⊥BC
BM ? BC 2 ? CM 2 ? 12 ? 9 ? 3

(2)设 E 点到平面 ABCD 距离为 h
VA? BCE ? VE ? ABC

1 1 S?BCE ? AE ? S?ABC ? h 3 3
1 1 1 3 ? 6 ? 3 ? 6 ? AB ? BC ? Sin45? ? h ? AE 2 ? EB 2 ? 2 3 ? h 2 2 2 2

?
h? 3 6 2

1 ?4 3 ? 6 h? 2

VE ?

A B C D

?

1 3 6 1 ? ? ? A B ?B C ? S4i ?n 2 5 3 2 2

12 3 ?

x1 ? x 2 ? ?
OM⊥ON

8km 4k 2 ? 1

x1 ? x2 ?

4m 2 ? 4 4k 2 ? 1

∴ x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

x1 ? x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1 ? k 2 ) x1 ? x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0

(1 ? k 2 ) ?

4m 2 ? 4 8km 4 ? km ? (? 2 ) ? m2 ? 0 ? m2 ? (k 2 ? 1) 2 4k ? 1 4k ? 1 5

满足 4k ? 1 ? m ? 0
2 2

O 点到 l 的距离为

d?

m 1? k 2

d2 ?

m2 4 ? 2 1? k 5

d?

2 5 5

21、解: (1) a ?

1 2 ? 2x 时 f ( x) ? ? ln x 2 x 1 f ?( x) ? 2 ( x ? 2) x ? [1, e] x
f ?( x) ? 0 f ( x) 在[1,2)上

当1 ? x ? 2 时

2? x?e时
∴ x ? 2时

f ?( x )? 0 f ( x) 在[2, e )上 f ( x) 有极小值也就是最小值 f (2) ? ln 2 ? 1

又 f (1) ? 0, f (e) ? ?1 ?

2 ?0 e

∴ f ( x) 在[1, e ]上最大值为 f (1) ? 0
f ( x) 取值范围为[ ln 2 ? 1,0]
(2) g ( x) ? f ( x) ?

1 1? x 1 x? ? ln x ? x 4 ax 4

g ?( x) ?

?ax 2 ? 4ax ? 4 a ? 0 x ? [1, e] 4ax 2
2

设 h( x) ? ?ax ? 4ax ? 4 要使 g ( x) 在[1, e ]上 即 h( x ) ? 0 在[1, e ]上恒成立

只须 g ?( x) ? 0

h( x) 的对称轴为 x ? 2 且开口向下
4 ? ? h(1) ? 0 a ? 3 ? 故只须 ? ? h (e) ? 0 a ? 4 ? 4e ? e 2 ?

4 3 22、证明: (1)AB 为直径,C 在圆 O 上,BC⊥AC ∠PAC=90°-∠P,∠PFC=90°-∠P

由此得出 a 取值范围为

a?

PC⊥AB

∴∠PAB=∠PFE (2)连结 AD、BD 则 AD⊥BD Rt△ABD 中 直角三角形 BCF∽直角三角形 PCA BC CF ? PC ? CF ? AC ? BC PC AC ∴CD2=PC·CF

CD2=AC·CB

1 ? ? ? x ? 1 ? cos ? t ?x ? 1? 2 t ? ? ? 3 ?? 23、解: (1)直线 l 的参数方程 ? (上为参数) ? 3 ? y ? ?5 ? sin ? t ? y ? ?5 ? t ? ? 3 ? ? 2

M 点的直角坐标为(0,4) 图 C 方程
x 2 ? ( y ? 4)2 ? 16

图 C 半径
? x ? p cos ? 得? 代入 ? y ? p cos ?

得圆 C 极坐标方程

p ? 8 s i ? ????????????5 分 n

(2)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0

圆心 M 到 l 的距离为 d ? ∴直线 l 与圆 C 相离。 24、解(1) ? x ? 3 ? a ? 6 当 a ? 6 时无解 当a ?6

?4 ? 5 ? 3 2

?

9? 3 ?4 2

???????????????10 分
x?3 ? a?6

?(a ? 6 ) ?x ? 3 ? ?6 a

3? a ? x ? a ?9

∴不等式解集为( 3 ? a, a ? 9 ) (2) y ? 2 f ( x)
2 f (x ) g (x? ? )

( a ? 6 )????????5 分

图象恒在 g ( x) 图象上方,故
? 0 a? 2 x? 1 x ? 3 ?

设 h( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 3

??3x ? 1 ? h( x )? ? 5 x ? ?3x ? 1 ?

x?? 3 ? ?x? 3 x? 1 1

做出 h( x) 图象得出当 x ? 1 时

h( x) 取得最小值 4,故 a ? 4 时 y ? 2 f ( x)

图象在 g ( x) 图象上方。 ??????????????10 分


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