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黑龙江省哈尔滨市2013届高三数学二轮复习 专题能力提升训练十 数列 2

时间:2013-05-14


哈尔滨 2013 届高三数学二轮复习专题能力提升训练:数列
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设 {an }(n ? N*) 是等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S5 ? S6 , S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论错误的是( A. d ? 0 C. S9 ? S8 【答案】C 2.1202 年,意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系: Fn ? Fn?1 ? Fn?2 , 其中 Fn 表示第 n 个月的兔子的总对数, F1 ? F2 ? 1 ,则 F8 的值为( A.13 【答案】B B.21 C.34 D.55 ) B. )

a7 ? 0

D. S6与S7均为Sn的最大值

3.如果数列 {an}(an ? R) 对任意 m, n ? N* 满足 am+ n = am an ,且 a3 = 8 ,那么 a10 等于( A.1024 C. 510 【答案】A B. 512 D. 256

)

4. an=

,则

等于(

)

A.2 【答案】A

B.

C.2-

D.1-

5.等差数列 {an } , a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 an }前9 项的和 S9 等于( 中 { A. 66 【答案】B B. 99 C. 144 D. 297

)

6.在各项为负数的数列 ?a n ?中,已知 2 an ? 3an?1 ,且 a 2 ? a 5 ? A.第 3 项 【答案】C B.第 4 项 C.第 5 项

8 8 ,则 ? 是数列 ?a n ? 的( 27 27
D.第 6 项

)

7.在数列 {an } 中,若 an ? an?2 ? 2an?1 ,且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a2009 ? ta1005 ,则 t ? ( A.2007 B.2008 C.2009 D.2010

)

1

【答案】C 8.等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a2 ? a4 ? 12 , a2 ? a4 ? 8 ,则此数列的通项公式是( A. an ? 2n ? 2 ( n ? N * ) C. an ? ?2n ? 12( n ? N * ) 【答案】D 9.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 Sn ? 2n2 ?17n ,则当 Sn 取得最小值时 n 的值为( A.4 或 5 【答案】C B.5 或 6 C. 4 D.5 ) B. an ? 2n ? 4 ( n ? N * ) D. an ? ?2n ? 10( n ? N * ) )

10.已知等差数列

的前 n 项和为 An,等差数列

的前 n 项和为 Bn,且

,则

使 为整数的所有 n 的值的个数为( A.1 B.2 【答案】D

) C.3

D.4

11.等差数列 ?an ? 的前 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4 ? (

)

A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】C 12.在等差 数列{an}中,a1=1,a7=4,数列{bn}是等比数列,且 b1=6,b2=a3,则满足 bna26<1 的最小整数 n 是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列: a1 , a2 , a3 ,?, an ,例如:

a1 ? 22 ?12 ? 3,a2 ? 32 ? 22 ? 5,a3 ? 42 ? 32 ? 7, 4 ? 32 ?12 ? 8, .那么 a2007 ? a ?
【答案】2679

.

14.设等差数列 ?an ? 的首项及公差均是正整数,前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , a4 ? 6 , S3 ? 12 ,则

a2012 =
【答案】4024



15.等比数列 {an } 中 an>0,且 a2a4 ? 2a3a8 ? a7 a9 ? 36 ,则 a3 ? a8 =____________ 【答案】6 a5 16.在等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则 =____________ a7 【答案】

3 2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

2

2 ? 17.已知数列 ?an ? 的 前 n 项和 S n ? n ? 4n n ? N ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1, bn?1 ? 2bn ? 1

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

? an ? 3? ? ? bn ? 1? ,求数列
2

?cn ? 的前 n 项和 Tn

2 【答案】 (Ⅰ)由 Sn ? n ? 4n ,

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 5 ;
2 2 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 4n ? (n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 2n ? 3 .

? 当 n ? N*时, an ? 2n ? 3 .
bn ?1 ? 1 ?2 bn ? 1

又 bn ?1 ? 2bn ? 1,b1 ? 1 ,即 bn ?1 ? 1 ? 2(bn ? 1) ,可得



? 数列{bn+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, ? bn ? 1 ? 2 ? 2
n ?1

? 2n, bn ? 2n ?1 . 即

n (Ⅱ)由(1)得 cn ? n ? 2 .

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n , 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ,

2 3 n n ?1 由 Tn ? 2Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2 ,



? Tn ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 1? 2 ,

n ?1 ∴ Tn ? (n ?1) ? 2 ? 2 .

18.定义数列如下: a1

? 2 , an?1 ? an2 ? an ? 1 , n ? N * 。
*

证明: (1)对于 n ? N 恒有 an?1 (2)当 n (3)1 ?

? an 成立;

? 2 且 n ? N * 时,有 an?1 ? an an?1 …… a2 a1 ? 1 成立;
1 ? 1 1 1 ? ? …… ? ?1 a1 a2 a2006

a2006

【答案】 (1)? an?1

2 2 ? an ? an ? 1 ?an?1 ? an ? an ? 2an ? 1 ? (an ?1) 2 ? 0

3

故 an?1

? an
?2

(2)下面先用数学归纳法证明 an

1? 当 n ? 1,
则 ak ?1

a1 ? 2 ? 2成立

2?假设当n ? k (k ? N * )时, ak ? 2
故当 n ? k ? 1时, an

? ak2 ? ak ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2
? 2 成立。
an?1 ? 1 ? an an ? 1

? 2 成立

综上所述, an 又 an?1

? 1 ? an (an ? 1), 即

? a2 ? 1 ? a1 (a1 ? 1), a3 ? 1 ? a2 (a2 ? 1),?an?1 ? 1 ? an (an ? 1)
又由(1)得 an

?2

? an ? 1 ? 0

故上述 n 个等式相乘即得 an?1 (3) an?1

? an an?1
? 1 an?1 ? 1 ? 1 1 1 ? ? an (an ? 1) an ? 1 an

? 1 ? an (an ? 1)

? ?
?

1 1 1 ? ? an an ? 1 an?1 ? 1

又 a2007

? 1 ? a1a2 …… a2006

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ? …( ? ? …+ ? ) a 2006 a1 ? 1 a 2 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 a1 a2 a2006 ? 1 a2007 ? 1
1 1 1 ? ?1? ?1 a1 ? 1 a 2007 ? 1 a1 a 2 a3 ? a 2006

由(1)知 2 ? a1

? a2 ? a3 <……< a2006

? a1a2 a3 …… a2006 ? 22006

?1 ?

1 a2006

?

1 1 1 ? ? …… ? ?1 a1 a2 a2006

19.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2…Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大于后面某数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 (Ⅰ)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; ,排列 321 的逆序数 . 的

4

(Ⅱ)令

,证明 ,

,n=1,2,….

【答案】 (Ⅰ)由已知得

.

(Ⅱ)因为 所以 .



又因为 所以 = 综上, .



.

20.已知数列 {an } 是以 d 为公差的等差数列,数列 {bn } 是以 q 为公比的等比数列. ⑴若数列 {bn } 的前 n 项的和为 S n ,且 a1 ? b1 ? d ? 2 , S 3 ? a1003 ? 5b2 ? 2010,求整数 q 的值; ⑵在⑴的条件下,试问数列 {bn } 中是否存在一项 bk ,使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续

p( p ? N , p ? 2) 项的和?请说明理由;
⑶若 b1 ? ar , b2 ? as ? ar , b3 ? at , (其中 t ? s ? r ,且 ( s ? r ) 是 (t ? r ) 的约数) ,求证:数列 {bn } 中每 一项都是数列 {an } 中 的项. 【答案】⑴由题意知, an ? 2n, bn ? 2 ? q n?1 ,所以由 S 3 ? a1003 ? 5b2 ? 2010, 得 b1 ? b2 ? b3 ? a1003 ? 5b2 ? 2010? b1 ? 4b2 ? b3 ? 2006? 2010? q 2 ? 4q ? 3 ? 0 , 解得 1 ? q ? 3 ,又 q 为整数,所以 q =2. ⑵假设数列 {bn } 中存在一项 bk ,满足 bk ? bm ? bm?1 ? ? ? bm? p?1 ,因为 bn ? 2 n ,
k m ? p ?1 ∴ bk ? bm? p ?1 ? 2 ? 2 ? k ? m ? p ?1? k ? m ? p

(*)

又 bk ? 2 k ? bm ? bm?1 ? ? ? bm? p?1 ? 2 ? 2
m

m ?1

? ? ? 2 m? p ?1 ?

2 m (2 p ? 1) 2 ?1

5

? 2 m? p ? 2 m ? 2 m? p ,所以 k ? m ? p ,此与 (*)式矛盾.
所以,这样的项 bk 不存在. ⑶由 b1 ? a r ,得 b2 ? b1q ? ar q ? as ? ar ? (s ? r )d ,则 d ?

a r (q ? 1) . s?r

又 b3 ? b1q 2 ? ar q 2 ? at ? ar ? (t ? r )d ? a r q ? a r ? (t ? r ) ?
2

a r (q ? 1) , s?r

从而 a r (q ? 1)( q ? 1) ? a r (q ? 1) ?

t?r . s?r t?r ?1. s?r

因为 a s ? a r ? b1 ? b2 ,所以 q ? 1 ,又 a r ? 0 ,故 q ?

又 t ? s ? r ,且 ( s ? r ) 是 (t ? r ) 的约数,所以 q 是正整数,且 q ? 2 . 对于数列 {bn } 中任一项 bi (这里只要讨论 i ? 3 的情形) ,有

bi ? ar q i ?1 ? ar ? ar q i ?1 ? ar ? ar ? ar (q i ?1 ? 1) ? ar ? ar (q ? 1)(1 ? q ? q 2 ? ? ? q i ?2 )
? ar ? d (s ? r )(1 ? q ? q 2 ? ? ? q i ?2 )

? ar ? [((s ? r )(1 ? q ? q 2 ? ? ? q i ?2 ) ? 1) ? 1] ? d ,
由于 (s ? r )(1 ? q ? q 2 ? ? ? q i ?2 ) ? 1 是正整数,所以 bi 一 定是数列 {an } 中的项. 21.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 5an ?1 ? 2anan ?1 ? 3an ? 8(m ? N * ) 。 (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)猜想 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想。 【答案】 (Ⅰ)由题意知

5a2 ? 2a1a2 ? 3a1 ? 8
将 a1 ? 1 代入解得

a2 ?

5 3 9 5

同理可得 a3 ?

a4 ?

13 7

(Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想

an ?

4n ? 3 * (n? N ) 2n ? 1
6

证明: (1)当 n ? 1 时, 左边 ? a1 右边 ?

4 ?1 ? 3 ?1 2 ?1 ? 1

猜想成立。 (2)假设当 n ? k ( k ? N * ) 时 猜想成立, 即 ak ?

4k ? 3 2k ? 1

那么,由 5ak ?1 ? 2ak ak ?1 ? 3ak ? 8

4k ? 3 8 ? 3? 8 ? 3ak 2k ? 1 ? 4k ? 1 ? 4(k ? 1) ? 3 可得 ak ?1 ? ? 5 ? 2ak 5 ? 2 ? 4k ? 3 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 2k ? 1 即当 n ? k ? 1 时猜想也成立。
根据(1)和(2) ,可知猜 想对任意 n ? N 都成立
*

22.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 4, S3 ? 9 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 10 项和.K K an ? an ?1

【答案】 (1)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知,得

?a3 ? a1 ? 2d ? 4 ? ?S3 ? 3a1 ? 3d ? 9

解得 ?

?a1 ? 2 ?d ? 1

?an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 1
(2)由(1)得:

5 ?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 ? b1 ? b2 ? ?b10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 3? ?3 4? ? 11 12 ? 2 12 12

bn ?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? 1 n ? 2

7


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