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2014届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第一章集合与常用逻辑用语


2014 届高考数学(理)一轮复习单元能力测试 第一章集合与常用逻辑用语单元能力测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

2? 3? 则 U 1、 (2013 重庆) 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? , 集合 A= ?1, ,B = ?2, , ? ? A ? B ? =( 3, A、 ?1, 4?

>A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 3、 (2013 辽宁理)已知集合 A ? ? x | 0 ? log 4 x ? 1? , B ? ? x | x ? 2?,则A ? B ?



4? B、 ?3,

C、

?3?

D、

?4?
( )

2、 (2013 北京理)1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B=

1? A. ? 0,

2 B. ? 0,?

C. ?1, 2 ?

2 D. ?1,?

4、(山东诸城市 2013 届高三 12 月月考理)“ 2a ? 2b ”是 log 2 a ? log 2 b ”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5、 (2013 湖北理)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在 指定范围” q 是“乙降落在指定范围” , ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可 表示为( ) A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C.

? ?p ? ? ? ?q ?

D. p ? q

6、 (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)理)下列命题中,真命 题是 A. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

B. ?? , ? ? R, sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? C. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

D. ?? , ? ? R, sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? 7、 (2013 福建理)满足 a, b ? ??1, 0,1, 2? ,且关于 x 的方程 ax 2 ? 2 x ? b ? 0 有实数解的有 序数对 (a, b) 的个数为( A.14 ) C.12 D.10

B.13

8、 (2013 四川理) x ? Z , 设 集合 A 是奇数集, 集合 B 是偶数集. 若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B , 则( ) (B) ?p : ?x ? A, 2 x ? B (D) ?p : ?x ? A, 2 x ? B

(A) ?p : ?x ? A, 2 x ? B (C) ?p : ?x ? A, 2 x ? B 9、 (2013 年高考(全国(广西)卷) )设集合

A ? ?1, 2,3? , B ? ?4,5? , M ? ? x | x ? a ? b, a ? A, b ? B? , 则 M中元素的 个数为
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

10、设集合 A= x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B= x x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A ? B 中恰含 有一个整数,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ?

?

?

?

?

? ?

3? 4?

B. ? , ?

?3 4 ? ?4 3 ?

C. ? , ?? ?

?3 ?4

? ?

D. ?1, ?? ?

11、.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】给出下列四个命题: ,则 tan? ? 1 ”的逆否命题为假命题; 4 ②命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 .则 ?p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ; ①命题“若 ? ? ③“ ? ?

?

?
2

? k? (k ? Z ) ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件;

④命题 p : “ ?x 0 ? R , si x0 ? cos x0 ? 使 n 那么 (?p) ? q 为真命题. 其中正确的个数是( ) A .1 B.2

3 ”; 命题 q : “若 sin ? ? sin ? , ? ? ? ”, 则 2

C .3

D.4

12、 【河北省衡水中学 2013 届高三第一次调研考试理】已知“命题 p: ?x ∈R,使得

ax 2 ? 2x ? 1 ? 0 成立”为真命题,则实数 a 满足( )
A.[0,1) B. (??,1) C.[1,+∞) D. (??,1]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13、 【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】命题“若 x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆 否命题为________________ 14、 (2013 江苏卷)集合 ?? 1,0,1? 共有
x x


x

个子集.

15、 (2013 湖南理)设函数 f ( x) ? a ? b ? c , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.

若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是

(写出所有正确 .

结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa x , b x , c x不能构成一个三角形的三条边长; ③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0.
16、【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】已知命题 P: ?x ?[0,l], a ? e ,命题 q:
x

“ ?x ? R,x +4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围
2





三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】 (本题共 13 分)函数

f ( x) ? lg( x 2 ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2 x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B.
(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. .

18、(本小题满分 12 分) 【河北省衡水中学 2013 届高三第一次调研考试理】(本题 10 分)已 知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集为 M . x2 ? a

(1)当 a ? 1 时,求集合 M ; (2)当 3 ? M且5 ? M 时,求实数 a 的范围.

19.(本小题满分 10 分)若集合 A 具有以下性质: ① 0 ? A ,1? A ; ②若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ,且 x ? 0 时, 则称集合 A 是“好集”. (Ⅰ)分别判断集合 B = {- 1,0,1} ,有理数集 Q 是否是“好集” ,并说明理由; (Ⅱ)设集合 A 是“好集” ,求证:若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ; (Ⅲ)对任意的一个“好集” A ,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题 p :若 x, y ? A ,则必有 xy ? A ; 命题 q :若 x, y ? A ,且 x ? 0 ,则必有

1 ? A. x

y ? A; x

20、(本小题满分 12 分) 【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】(本小题满 分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ,若对任意 x1 , x2 ? R ,恒有
2

2f(

x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A 2
(Ⅰ)求集合 A ; (Ⅱ)设集合 B ? x x ? 4 ? a , ,若集合 B 是集合 A 的子集,求 a 的取值范围

?

?

21.(本小题满分 12 分) 【山 东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】 设 命 题 p : 实 数 x 满 足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 , 其 中 a ? 0 ; 命 题 q : 实 数 x 满 足

x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 且 ?p是?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. ,

22.(本小题满分 12 分)设集合 A 为函数 y=ln(-x -2x+8)的定义域,集合 B 为函数 y=x 1 1 + 的值域,集合 C 为不等式(ax- )(x+4)≤0 的解集. (1)求 A∩B; (2)若 C??RA, x+1 a 求 a 的取值范围.

2

参考答案
一、选择题 1、D 2、B 3、D 4、【答案】B 【解析】若 2a ? 2b ,则有 a ? b 。若 log 2 a ? log 2 b ,则有 a ? b ? 0 。所以“ 2a ? 2b ”是

log 2 a ? log 2 b ”的必要不充分条件,选 B.
5、A 6、 【答案】D 【 解 析 】 因 为 x2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ?

1 2

5 , 所 以 A 错 误 。 当 ? ?? ?0 时 有 4

s i n ( ? ?) ??

s i?n ?

,所以 B 错误。 x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ?s i n

1 2

3 3 ? ,所以 C 错误。当 4 4

? ?? ?

?
2

时,有 sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ,所以 D 正确,选 D.

7、 【答案】B 【解析】方程 ax 2 ? 2 x ? b ? 0 有实数解,分析讨论 ①当 a ? 0 时,很显然为垂直于 x 轴的直线方程,有解.此时 b 可以取 4 个值.故有 4 种有 序数对 ②当 a ? 0 时, 需要 ? ? 4 ? 4ab ? 0 , ab ? 1 . 即 显然有 3 个实数对不满足题意, 分别为 (1,2) , (2,1)(2,2) , .

? (a, b) 共有 4*4=16 中实数对,故答案应为 16-3=13.
8、D 9、B 10、 【答案】B
2 【解析】 A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 ? {x x ? 1或x ? ?3} ,因为函数 y ? f ( x) ? x ? 2ax ? 1 的

?

?

2

对称轴为 x ? a ? 0 , f (0) ? ?1 ? 0 ,根据对称性可知要使 A ? B 中恰含有一个整数,

? ?a ? 4 ? 4a ? 1 ? 0 ? ? 则这个整数解为 2,所以有 f (2) ? 0 且 f (3) ? 0 ,即 ? ,所以 ? ?9 ? 6 a ? 1 ? 0 ?a ? ? ?


3 4 。 4 3

3 4 ? a ? ,选 B. 4 3

11、 【答案】B

【解析】①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误.②根据全称命题的否定式 特称命题知, ②为真.③当函数为偶函数时, ? ? 有 ④因为 sin x ? cos x ?

?
2

所以③正确. ? k? ,所以为充要条件,

? 3 所以命题 p 为假命题,?p 为真, 2 sin( x ? ) 的最大值为 2 ? , 4 2

三角函数在定义域上不单调,所以 q 为假命题,所以 (?p) ? q 为假命题,所以④错误.所以 正确的个数为 2 个,选 B. 12、 【答案】B 【解析】若 a ? 0 时,不等式 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 等价为 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?
2

1 ,结论成 2

立.当 a ? 0 时,令 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1 ,因为 f (0) ? 1 ? 0 ,要使 ax 2 ? 2x ? 1 ? 0 成立,

? ?a ? 0 ? ?a ? 0 则满足 ? ? ? 0 或? ,解得 0 ? a ? 1或 a ? 0 ,综上 a ? 1 ,选 B. ? f (0) ? 0 ? 2 ?? ?0 ? 2a
二、填空题
2 13、若 x ? 1或 x ? ?1 ,则 x ? 1 。

14、解析: 23 ? 8 (个) 15、 16、【答案】 [e, 4] 【解析】因为 ?x ?[0,l], a ? e x ,,所以 a ? e 。由“ ?x ? R,x +4x+a=0,可得判别式
2

? ? 16 ? 4a ? 0 ,即 a ? 4 。若命题“p∧q”是真命题,所以 p, q 同为真,所以 e ? a ? 4 ,即 [e, 4] 。

三、解答题 17、解: (Ⅰ)A= {x | x ? 2 x ? 3 ? 0}
2

= {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} , B= { y | y ? 2 ? a, x ? 2} ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} .
x

(Ⅱ)∵

A ? B ? B ,∴ B ? A ,

∴ 4 ? a ? ?1 或 ?a ? 3 , ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) 18、 【答案】 (1)当 a ? 1 时,

x?5 x?5 ?0? ? 0 ? M ? (??,?1) ? (1,5) 2 ( x ? 1)( x ? 1) x ?1

5 a? 3a ? 5 3 ? 0 ? a ? 5 或a ? 9 (2) 3 ? M ? ?0? 9?a a ?9 3 5a ? 5 5a ? 5 a ?1 5? M ? ? 0 不成立.又 ?0? ? 0 ? a ? 1或a ? 25 25 ? a 25 ? a a ? 25

5 ? M ? a ? 1或a ? 25 不成立 ? 1 ? a ? 25
综上可得, 1 ? a ?

5 或9 ? a ? 25 3

19、 【解析】 (Ⅰ)集合 B 不是“好集”. 理由是:假设集合 B 是“好集”. 因为 - 1

B , 1 ? B ,所以 - 1- 1 = - 2 B . 这与 - 2

B 矛盾.

有理数集 Q 是“好集”. 因为 0 ? Q , 1? Q , 对任意的 x, y ? Q ,有 x - y 所以有理数集 Q 是“好集”. (Ⅱ)因为集合 A 是“好集” , 所以 0 ? A .若 x, y ? A ,则 0 ? y ? A ,即 ? y ? A . 所以 x ? (? y) ? A ,即 x ? y ? A . (Ⅲ)命题 p, q 均为真命题。 理由如下: 对任意一个“好集” A ,任取 x, y ? A , 若 x, y 中有 0 或 1 时,显然 xy ? A . 下设 x, y 均不为 0,1. 由定义可知: x ? 1, 所以

1 Q ,且 x ? 0 时, ? Q . x

1 1 , ? A. x ?1 x
A.

1 1 x- 1 x

A ,即

1 ? A .所以 x( x - 1) x( x - 1)

由(Ⅱ)可得: x( x - 1) + x

A ,即 x2 ? A . 同理可得 y 2 ? A .

若 x + y = 0 或 x + y = 1 ,则显然 ( x + y ) 若 x+ y

2

A.

0且 x+ y
2

1 ,则 ( x + y)2
2 2

A.

所以 2 xy ? ( x ? y) ? x ? y ? A .所以

1 ? A. 2 xy

由(Ⅱ)可得:

1 1 1 ? ? ? A .所以 xy ? A . xy 2 xy 2 xy

综上可知, xy ? A ,即命题 p 为真命题. 若 x, y ? A ,且 x ? 0 ,则

y 1 1 ? A .所以 = y 孜 x x x

A ,即命题 q 为真命题.

20、 【答案】(Ⅰ)对任意 x1 , x2 ? R , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 1 ) ? a( x1 ? x2 )2 ? 0 2 2

要使上式恒成立,所以 a ? 0 由 f ( x) ? ax ? x 是二次函数知 a ? 0 故 a ? 0
2

由 f ( x) ? ax 2 ? x ? ax( x ? ) ? 0 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A ? (? (Ⅱ)解得 B ? (?a ? 4, a ? 4) ,

1 a

1 , 0) a

?B ? A
?a ? 4 ? 0 ? ?? 1 解得 0 ? a ? ?2 ? 5 ??a ? 4 ? ? a ?
21、解:设 A ? x x ? 4ax ? 3a ? 0(a ? 0) ? x 3a ? x ? a (a ? 0)
2 2

?

? ?

?

B ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?x x ? ?4或x ? 2?.

?

?

? ?p 是 ?q 的必要不充分条件,? q是p 必要不充分条件,
? A? B ,
?

所以 3a ? 2或a ? ?4 ,又 a ? 0 , 所以实数 a 的取值范围是 a ? ?4 .

22、 解析:该题通过 集合 A 为函数 y=ln(-x -2x+8)的定义域考查对数函数定义域的求法, 1 1 集合 B 为函数 y=x+ 的值域考查钩形函数的值域的求法,集合 C 为不等式(ax- )(x+ x+1 a 4)≤0 的解集考查解二次不等式以及分类讨论,求解部分考查集合的交、补和子集的运算求 解,考查的知识方法比较多,但要求不是太高,属于中档题. 1 1 2 解:(1)由-x -2x+8>0,解得 A=(-4,2),又 y=x+ =(x+1)+ -1, x+1 x+1 所以 B=(-∞,-3]∪ [1,+∞).所以 A∩B=(-4,-3]∪[1,2). (2)因为?RA=(-∞,-4]∪[2,+∞). 1? ? 由?ax- ?(x+4)≤0,知 a≠0.

2

?

a?

1? ? 1? ? ①当 a>0 时,由?x- 2?(x+4)≤0,得 C=?-4, 2?,不满足 C??RA;

?

a?

?

a?

? 1? ?1 ? ②当 a<0 时,由?x- 2?(x+4)≥0,得 C=(-∞,-4)∪? 2,+∞?, a a ? ? ? ?
1 欲使 C??RA,则 2≥2,

a

解得-

2 2 2 ≤a<0 或 0<a≤ .又 a<0,所以- ≤a<0. 2 2 2

综上所述,所求 a 的取值范围是?-

? ?

2 ? ,0?. 2 ?


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