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2006年北京市中学生数学竞赛(高一)


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2 0 0 7 年第 1 O 期 

3 1  

2 0 0 6 年北京 市中学 生数 学竞赛 ( 高一 )  




选择题 ( 每小题 5 分, 共2 5 分)  

方程①的整数解 的

组数为(  

) .  

1 . 点 P从 0 出发 , 按 逆 时针 方 向沿周 长  为 z 的图形 运 动一 周 , 点 0、 P的距 离 ( , , ) 与 

( A ) 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 2   0 0 6  

二、 填空题 ( 每小题 7 分, 共3 5 分)  
1 . 若I   a   I =1 , I 西I =2 , c=a+西, 且 c j -   a, 则 向量 a与 西的夹角 为 
1  

点 P走 过 的路 程 (  )  
的 函 数 关 系 如 图 1所  示. 那 么, 点 P 所 走 过 
的 图 形 是 图 2 中 的  (   ) .   图l  

度.  

2 . 设 厂 (  ) 是 定 义 在 R上 的奇 函 数 , 且 

Y =   ) 的图像关于直线  = 告对称. 则 
1 ) +  2 ) +… +  2   0 0 6 ) =


.  


。 



囫P  
( B )  
图 2  

3 . 在△ A B C中, 已知 
( C )   ( D )  
0+b   s i n   B  口   一s i n   B —s i n   A’  

( A )  



C O S ( A—B) +C O S   C=1 一c o 6   2 C.  

2 . 已 知函 数   ) =  s i n 丢. 如果 存在 实  
数 。 、  , 使得对任意的实数  , 都有 
/ _ (  ) ≤/ _ (  ) ≤厂 (  ) ,  

4 . 设递增 数列 { 口   } 满足 口 。 = 6 , n ∈N + ,  
且当 n   >2 i   D - , t ,   +   +8 . 则 

则I   一   I 的最 小值 是 (  
( A) 8 丁 c   ( B ) 4 丁 c  

) .  
0 ; 7 0=
— —

( C ) 2 丁 c   ( D ) 丁 c  

?  

3 . 已知 数列 
l   l   2  

5 . 已知 △ A BC的 三 条 边 佃 =√3 4, B C  

口 1  
;n 0  

, 口 2   了 +了 , …,  
l  
+ 

= 5  
凡  
,… ‘  

, C A= 2  

. 则△ A B C的面积等于 

2  
+ … + 

三、 ( 1 0分 ) 在△ A B C中, r 为 内切 圆半  径, 与边 B C 、 A C 、 A B分别相切 的旁切 圆的半 


设 s  :上

+上

 

. +   一

则 

径 记为 r d 、  、 r c . 证明 :   +   +   1= 1

.  

s   嘶最接近的整数为(  
( A ) 2   ( S ) 3  

) .  
( C ) 4   ( D) 5  

注: 与三角形 的一边相切 同时与另两边 

4 . 凡是 正 整 数 , 规定: n! =1×2×… ×  
n. 贝 0   1   1 ×1+2   1×2+ … +5 9   1×5 9除 以 

的延长线相切的圆 , 称为该三角形 的一个旁  切圆 . 每个三角形都有三个旁切 圆.  
四、 ( 1 5 分) 已知 口 。 , 口   , …, ; 0 n 都是正数 ,  

2   0 0 6 的余数是 (  

) .  

( A) 1 ( S ) 5 ( C ) 4 0 1  ( D) 2   0 0 5  

对实数 b   , b   , …, b   和C   , C   , …, C   总满足 
; 0 i C i >b   ( i = 1 , 2 , …, n ) . 求证 :  
( 口 t +口 2 +… +口   ) ( C 1 +C 2 +… +C   )   ≥( b 1 +b 2 +… +b   )   .  

5 . 若 两个 整数  、 Y满 足方程 
( 2  +9 y )   0 0 6 +( 4  一, , )   0 0 6 :7   7 7   , ① 

就称 数组 (  , Y ) 为 方 程 ① 的一 组 整 数 解 . 则 

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3 2  

中 等 数 学 
:1   1   X( 2 —1 ) + 2 t   X( 3 —1 ) +… +5 9   1   X( 6 0 —1 )  


五、 ( 1 5 分) 在△ A B C内部取 n个点 , 将  △A B C剖分为若干个 小三角形( 每两个小三  角形 或者有 一 个 公 共 顶 点 , 或 者有 一 条 公 共  边, 或者完全没有公共点 , 如图 3 所示 ) . 现将  点 A染红色 , 点 曰染蓝色 , 点 c染黑 色, 其  余n 个点 的每个点也任 意染上红、 蓝、 黑三  色之 一 . 我 们 称 三 个 顶  A红  点的颜 色恰 为红 、 蓝、   黑 的小 三角 形 为 “ 特 征 
三角 形 ” . 证 明: 至 少 有 


( 2 I 一1   1 ) +( 3   1 —2   1 ) +… +( 6 0   1 —5 9 I )  
6 0   1 —1 .  



所以, 所求余数是 2   0 0 5 .  
5. A.  

假设存 在整数 、 ' , 满足方程① .   若7 1 ( 2 x+9 ) , ) , 由方程① 知 7 I ( 4 x—  ) , 此时,   方 程① 左边 能被 7 2 瞄整除 , 但方程①右边 只能被 7 m  整除.  
所 以, 7   ( 2  +9 y ) , 7  ̄ ( 4 x—Y ) .  
对V   a EZ,  

个 小 三 角 形 是 特 征 

蓝 

C 黑 

7 I [ ( n 一3 ) ( n一 2 ) ( n一1 ) a ( a+1 ) ( n+ 2 ) ( n+3 ) ]  
7 I ( Ⅱ ’ 一a ) =n ( a   一1 ) .  

三角形 .  

图3  

所 以, 7I [ ( 2  +9 y )  一1 ] , 7 I [ ( 4  一) , )   一1 ] .  

参 考 答 案 


从而 , 7 I { ( 2  +9 y )   [ ( 2  +9 y )  
由式①知 

一1 ] } ,  

7 『 { ( 4 x—y ) 。 [ ( 4  —y )  掰 一1 ] } .  


1.  .  

易知 , 选项 ( A) 、 ( B ) 的 图像 是若 干条 线 段组 成 

7 I [ ( 2 x+9 y )  +( 4  一) , )   ]  7 I (   +2 y 2 ) .  

的 折 线 ; 选 项 ( D ) 中 当 点 尸 走 过 的 路 程 为   = 号 时 ,  
不是 最大值 ( 过点 P作 卯 的垂 线交 椭 圆 于点 


易知 , 任意完全平方数被 7 除余数为 0 , 1 , 2 , 4 .  
经检验 , 只有 当 7 I  , 7I  时, 7 I (   +2 y 2 ) . 但 此 
时, 7 I ( 2  +9 ) , ) , 7 I ( 4 x—y ) , 矛盾 .  

显 然 ,  > D 尸 ) ; 选 项 ( c ) 中 , , = { 咖  , 其 图  
2 . B.  

所 以, 不存在整数  、 ) , 满足方程① .  
二 、 1 . 1 2 0  ̄ .  

像如 图 1 .  

由c 上口 jc ? a= O  ( a+b ) ? a= 0  

显然 ,   。 )  

: ) 分别 是 f ( x ) 的最 小值 、 最 大 

I   a    +I I   41 .   I b   I c 0 s口=0  ̄c - o s   a= 一  

.  

值 , 即 咖寻= 一 l , s i n   X 2 = 1 . 故  
l=8 k l  一   ,  2=8 k 2 丌+   .  

所以 , 向量 a与 b的夹角 口=1 2 0  ̄ .  
2. 0 .  

所 以, I  1 一  2   I ≥4 丁 c .  
3. C.  

由, , =   ) 的图 像关于 直线 = 告对称, 知  
) =   1 一  ) .  

由 于  =   +   + . . ? +   = 号 , 故  

=  +  + . . ’+ 

又, (   ) 是定义在 R上的奇函数, 故 
, ( 1 一  ) =一  
从 而,   ) +  

1  

一 1 ) .  
一1 ) = 0 .  

4 

4  
…  

4  

所以, , ( 1 ) +  2 ) +…+  2   0 0 6 ) = 0 .  
3 .  



4 [ ( 1   1 ) + ( 丁 1 一 丁 1 ) + . . ? + (   1 一   1 ) 】  
) 最接近 的整数为 4 .  

+ √  .  

由c 0 s ( A—B) +c 0 s   C=1 一c 0 s   2 C  

= 4 ( - 一   ) .  
所 以,   瞄 =4 ( 1 一  
4. D.  

=  ̄ c o s ( A—B) 一c 0 8 ( A+B ) =2 s i  C  
 ̄2 s i n   A? s i n   B =2 s i  C j n 6= c  .  

由 口  n

=   s i n   B   一 一   s i n   A- - "  

=a b

注意到 2   0 0 6 =2 X   1 7X   5 9 , 故2   0 0 6 I 6 0   1 .  
叉 1   1   X   1+2   1 ×2+ … +5 9   1   X   5 9  

a  4 5—1  
一 ^ 一   2   ‘  

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2 O O 7年第 1 0期 

3 3  
所 以, r p=r a ( P一Ⅱ ) .  

所 以 , 音 = √   .  
4. 2 9.  

同理 , r p=   ( P—b ) , r p=r c ( P—C ) .  
故  +   +   :  
r d   r h | c | p

+  
| p  

+  
t p  

由a k +   - =  
j 血  一 血2  


+8  



_. l   二三 卫一— _ l  
P  — r‘  



 

l =8 ( 血   一血   — 1 ) +9 .  
. 

取  =2 , 3 , …, n , 累力 口 得 


四、 构 造 n个二次 函数 
(  ) =a i X   +2 b   +C   ( i =1 , 2 , …, n ) .  

Ⅱ   :8 ( Ⅱ   一Ⅱ   ) +9 ( n一1 ) .  

由于对 每个 i , 都 有 峨 >0 , a i C   >b   , 即 △   =   ( 2 6 。 )  一4 a   C   ≤0 , 所以,  (  ) 10 > , 也就是 
(  ) =Ⅱ   +2 b f  +C   10 > ( i =1 , 2 , …, n ) .  
. 

故d o 一 6   = 8 ( Ⅱ 7 0 — 6 ) + 9 × 6 9 , 即  
Ⅱ   一8 a 7 o一6 0 9=0 .  

故n 7 0 = 2 9 ( 负值舍去 ) .  
5. 1 0.  

相力 口 得I 厂 (  ) =  (  ) +  (  ) +… +  (  ) ≥0 ,  
即 

如 图 4 , 以 髓 为 斜边 , 向 

△A B C一侧作 R l△ B C D, 使 
B DC =9 0  ̄ , B D =5, C D =1 5.  

I 厂 (  ) =( 血 I +血 2 +… +血   )  +  
2 ( b l +b 2 +… + b   )  +  

再作矩 形 D F A  F, 使D E=2 ,  
D F=5 . 则 B E=3 , C F=1 0 . 此时,  
— —  

( C l +C 2 +… +C   ) 10 > .  

因为 Ⅱ l +。 2 +… +Ⅱ   >0 , 抛 物线 的开 口向上 ,  
}  

A   C= ̄ / 1 0 4=A C.  

且有 . 厂 (  ) 10 > , 所 以, △≤0 . 则有  △=[ 2 ( b l +b 2 +… +b   ) ]  一4 ( 血 l +血 2 +… +  

A ' B:v 厂   :A B.   所以, 点 A与 A , 重合 . 故  △ 帽 c=  △ 蚴 一  △ 曲  一  
J S △4 c F— J S 矩 形 D   ,   =   ×5× 1 5一  1 × 3   x   5 " -  1

D  E   B   图4  

血   ) ( C l +C 2 +… +C   ) ≤O .  

故( 血 l +血 2 +… +血   ) ( c l +C 2 +… +C   )  
≥( b l +b 2 +… +b   )   .   五、 设 在△ A B C 内部 的红 蓝 边 ( 即一 端 点 为 红 

×2× 1 0-2×5  

点, 一端点为蓝点 的边 ) 有  条 , 又设 三个 顶点颜 色  不 同( 红、 蓝、 黑各一 个) 的特征 三角 形共有 P个 , 三  顶点分别为红 、 红、 蓝或 蓝、 蓝、 红 的小 三角形共 有 q   个, 其余 的小 三 角形 ( 如 顶 点颜 色 为 红、 红、 黑; 红、   红、 红; 蓝、 蓝、 黑 ;蓝 、 蓝、 蓝; 黑、 黑、 黑; 黑、 黑、 红;  

=1 0.  

三、 为简单 起 见 , 本题 解答 用 △ A B C 同时表 示 
它 的面积 .  

如 图 5 , 联 结  A O o 、 B O   、 C O   , 则 
△ A O 。 B  
1  
,  

黑、 黑、 蓝 等) 共 r 个.   我们 统计每 个小 三角形 红蓝边 的条数 , 再把 它  们加起来 , 总和数为 P+2 q .   从 另一角 度看 , 由于 每一条 在大三 角形 的内部 
的红蓝边都为两个 小 三角形 的公 共边 , 即被统计 两  次, 而大△ A B C的一 条红 蓝边 A B 只属 于一 个小 三  角形 , 只计 数一次 . 所以, 总和数为 2  +1 . 因此 ,  
P+ 2 q:2 k+ 1 .  

△ A O   C  
: 2 一   - r d 6, u,  

△ 
1  

C  
图5  
。 ‘  

从而 , P=2 (  一q ) +1 是个奇数 .  

因此 , 三个顶点 的颜 色全不 相 同的特征三 角形 
=  1   r ( Ⅱ+ 6 +c )
.  

而△ 脚

个数 P是 奇数 , P最少是 1 . 也就是说 至少有一个 小  三角形是 特征 三角形 .   ( 说明 : 选择题及填空题 答案由本刊编辑部宋 强 

由△ A B C=△ A O . B+△ A O o C一△ B O . C, 可 得  r ( Ⅱ+b +c ) =r   ( b +c 一Ⅱ ) ,   即 r ×2 p=r a ( 2 p一2 a ) .  

老师提供 . )   ( 李延林 提 供)  


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