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平面向量基本定理(公开课)

时间:2016-11-29


平面向量基本定理

教学目标 (1)知识与技能:了解平面向量基本定理及其意义, 会用平面向量基本定理解决简单的问题,培养学生 分析、抽象、概括的思维能力。 (2)过程与方法:通过平面向量基本定理的得出过 程,体会有特殊到一半的思维方法 (3)情感、态度与价值观:通过平面向量基本定理 的探求过程,培养学生独立思考及勇于探求的精神, 培养学生观察能力、抽象概括能

力,激发学习兴趣 教学重点与难点 1.重点:平面向量基本定理的应用 2.难点: 定理的发现和形成过程

2016年11月29日星期二

? ? ?? 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能 ? ? ?? 否作出向量2e1 ? 3e2 ?
?? ? ?? ? ? ? d ? 2e1 ? 3e 2

? ? 一、课前准备: 复习1: 共线向量定理: (思考:为什么限定 a ? 0 ?) ? ? ? ? 向量a (a ? 0)与b共线,当且仅当有唯一一个 ? ? 实数? , 使b ? ? a. ? ? ? ? ? ? (若a ? 0,当b ? 0时,?不唯一;当b ? 0时,?不存在)

?? e2
?? e1

? ? d

向 量 的 合 成

2016年11月29日星期二

如:已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量,a 是这一平面内的任一向量. ? 探究: a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ?

a
e2

2016年11月29日星期二

学生活动:

OC ? OM ? ON ? ?1OA ? ?2 OB


a ? ?1 e1 ? ?2 e2
M
e1
A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2016年11月29日星期二

知识点一

平面向量基本定理

?? 1. 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量,
那么对于这一平面的任意向量 a,

有且只有 一对实数 ?1 , ?2 ,使 存 唯 在
把不共线的向量 基底

a ? ?1 e1 ? ?2 e2


叫做表示这一平面内所有向量的一组

ee
1

性 ?? ??? ?
2



2.平面向量基本定理的几点说明
? ? ? ?? 使a ? ?1e1 ? ?2 e2 ? ? ? ?? 若 a 与 e1 (e2 ) 共线,则 ?2 ? 0(?1 ? 0), 使a ? ?1e1 ? ?2 e2 ?? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? (2)定理的代数表达形式:若 e1e2 ,不共线, ? 1e1 ? ? 2e 2 ? ae1 ? be 2
? ?? ⑴ 若 a ? 0, 则有且只有 ?1 ? ?2 ? 0,


?

(3)

?? ? ?? 设 e1e2 ,

1

? a且

? ? ?? ? 是平面内的一组基底,当 ? e ? ? e ? 0 1 1 2 2

?

2

=b

恒有?1 ? ?2 ? 0,

2016年11月29日星期二

思考1 平面内用来表示一个向量的基底有 多少组? (有无数组)
B

M

B

M

a
e1

a
A

x
O

O

e2

y

A

思考2、若基底选取不同, 则表示同一向量 的实数?1, ?2是否相同?
B M B M

2016年11月29日星期二

a
e1

x
A

a

O e2

m O

y n

A

a ? 3e1 ? 2e2

3 a ? x ? 4y 2

a ? 3m ? 2n

知识小结:
(1).基底的选择是不唯一的; (2).同一向量在选定基底后,

? ,?
1

2

是唯一存在的 可能相同也可能不同

? 1, ? 2 (3).同一向量在选择不同基底时,

知识点二、向量的夹角与垂直 ? ? ??? ? ? : 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a ,

?

B

b

? 叫做向量 a 和 b
特别的:

??? ? ? ? AOB ? ? OB ? b ,则 ?
? a
A
?

?

O ? A a 注意:两向量必须 的夹角. 是同起点的
? a
O A
?

? O b B

? ? a 与 b 同向

? ?0

? B b

夹角的范围:00 ,1800

?

? ? a 与 b 反向

? ? 180

?

? ? ? ? 90 ? ? 记作 a ? b a 与 b 垂直,
?

B ? b ? ? a O A

例2.在等边三角形中,求 (1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。 C

C

'

120
A

0

60

?

B

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