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9月8~9日初高中数学衔接知识3(二元一次方程)


2013年8月31日星期六

一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,用配方法将其变形为:
2

b 2 b 2 ? 4ac (x ? ) ? 2a 4a 2
(1) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:

2

?b ? b 2 ? 4ac x? 2a
(2) 当 b ? 4ac ? 0 时, 右端是零. 因此, 方程有两个相等的实数根: 1,2 x
2

b ?? 2a

(3) 当 b ? 4ac ? 0 时,右端是负数.因此,方程没有实数根.
2

由于可以用 b 2 ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把

b 2 ? 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式, 表示为: ? ? b 2 ? 4ac 。
2013年8月31日星期六

【例 1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:
2
2 2

(1) 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ;(2) 4 y ? 9 ? 12 y ;(3) 5( x ? 3) ? 6 x ? 0

说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的

一般形式.

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【例 2】已知关于 x 的一元二次方程 3 x ? 2 x ? k ? 0 ,根据下列条件,
2

分别求出 k 的范围: (1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根; (4) 方程无实数根.

(5)能分解成一个完全平方式,这个完全平方式是什么?

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二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为:
2

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac x? ,x ? 2a 2a ?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac b 所以: x1 ? x2 ? ? ?? , 2a 2a a ?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac (?b)2 ? ( b 2 ? 4ac ) 2 4ac c x1 ? x2 ? ? ? ? 2 ? 2 2a 2a a (2a) 4a
定理:如果一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1 , x2 ,那么:

b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a
说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以 通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是 ? ? 0 .
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【例 3】已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx 2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根.
3 (1) 是否存在实数 k , (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? 成立?若存在, k 使 求出 2

x1 x2 的值;若不存在,请您说明理由. (2) 求使 ? ? 2 的值为整数的实数 k x2 x1

2013年8月31日星期六


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