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高中数学选修2-2填空题220题

时间:2017-11-05


选修 2-2 填空题 220 题
一、填空题 1、已知物体运动的速度与时间之间的关系是:v(t)=t2+2t+2,则在时间间隔[1,1+Δt]内的平均加速度是
________,在 t=1 时的瞬时加速度是________.

2、一物体的运动方程为 s=7t2+8,则其在 t=________时的瞬时速度为 1.

3

、若 a= ?? sin xdx,b=?1 0cos xdx,则 a 与 b 的关系是________.
2

2

4、在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,
已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2,则点 P 的坐标为______________.

5、由曲线 y=x2,y=x,y=3x 所围成的图形面积为________.

6、已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 1,
则 lix→ m0

f1+x-f1 =________. x

7、设函数 y=f(x)=ax2+2x,若 f′(1)=4,则 a=________.

8、已知函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数为 11,则 liΔ x m →0

fx0-2Δ x-fx0 =________. Δx

9、过曲线 y=2x 上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为______.

10、已知函数 y=f(x)=x2+1,在 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为________.

11、已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则
小值为________.

f?1? 的最 f′?0?

12、已知函数 y=x3-2,当 x=2 时,

Δy =________. Δx

13、在 x=2 附近,Δ x= 时,函数 y= 的平均变化率为________.
x

1 4

1

14、函数 y= x在 x=1 附近,当Δ x= 时的平均变化率为________.

1 2

2 15、 已知曲线 y=x -1 上两点 A(2,3), B(2+Δ x,3+Δ y), 当Δ x=1 时, 割线 AB 的斜率是________;

当Δ x=0.1 时,割线 AB 的斜率是________.

16、设 f(x)是偶函数,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 1,则该曲线在点(-1,
f(-1))处的切线的斜率为________.

17、过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是________.

18、如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)=________.

19、已知函数 f(x)=-x3+ax 在区间(-1,1)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________.

20、已知函数 f(x)=x2· f′(2)+5x,则 f′(2)=______.

21、某物体作直线运动,其运动规律是 s=t2+ t (t 的单位:s,s 的单位:m),则它在第 4 s 末的瞬时速度
应该为________ m/s.

3

22、物体的运动方程是 s = - t3+2t2-5,则物体在 t = 3 时的瞬时速度为______.

1 3

π 3 23、曲线 y=cos x 在点 A?6, 2 ?处的切线方程为__________________________. ? ?

24、函数 y ? x3 ? x2 ? x 的单调增区间为___________________________________。

25、设函数 f ?( x) ? 2x3 ? ax2 ? x , f ?(1) = 9,则 a ? ____________________________.

26、已知 f(x)=xa,a∈Q,若 f′(-1)=-4,则 a=______.

27、曲线 C:f(x)=sin x+ex+2 在 x=0 处的切线方程为________.

28、 ? (3x2 ? k )dx ? 10, 则k ?
0

2

,

?

8

3

?1

xdx ? __________________.

3 s 米),则物体在时刻 t = 4 时的速度 v = 29、已知物体的运动方程是 s ? t 2 ? (t 秒, t
加速度 a = 。

,

30、若函数 y=f(x)满足 f(x-1)=1-2x+x2,则 y′=f′(x)=________.

31、设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lg xn,则 a1+a2+?+
a99 的值为________.

4 1 2, ? 32、过抛物线 y= x2 上点 A? ? ?的切线的斜率为______________. 5 ? 5?

33、若 y=x 表示路程关于时间的函数,则 y′=1 可以解释为________.

34、若曲线 y=x2 的某一切线与直线 y=4x+6 平行,则切点坐标是________.

35、(2010·江苏,8)函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2 k)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,
其中 k∈N ,若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________.
*

36、把总长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______m2.

37、函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间是____________.

38、已知 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围为________.

39、函数 f(x)=ln x-x 在(0,e]上的最大值为________.

40、函数 f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围是________.

41、若函数 f(x)=x3-3x-a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M-N 的值为________.

42、若函数 f(x)=

x2+a 在 x=1 处取极值,则 a=______. x+1

π? 1 43、函数 f(x)=2ex(sin x+cos x)在区间? ?0,2?上的值域为________.

44、 (2007 湖南理)函数 f ( x) ? 12 x ? x3 在区间 [?3, 3] 上的最小值是



45 、 (2007 江苏 ) 已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 ??3, 3? 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
M ? m ? _____.

46、(2007 广东文)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是



47、 (2007 湖南理)函数 f ( x) ? 12 x ? x3 在区间 [?3, 3] 上的最小值是



48 、 (2007 江苏 ) 已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 ??3, 3? 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
M ? m ? _____.

49 、 (2007 湖 北 文 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1 ,f (1) 处 ) 的切线方程是 y ?
f (1)? f ? (1) ? ____.

1 x ? 2 ,则 2

50、函数 f(x)=ax3+bx 在 x=1 处有极值-2,则 a、b 的值分别为________、________.

51、使 y=sin x+ax 在 R 上是增函数的 a 的取值范围为____________.

52、有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.

53、某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需
要砌新的墙壁,当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________.

54、容积为 256L 的方底无盖水箱,它的高为________时最省材料.

55、内接于半径为 R 的球,且体积最大的圆柱的高为____________.

56、如图(1),将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成
一个无盖的正六棱柱容器(图(2)).当这个正六棱柱容器的底面边长为________时,其容积最大.

57、做一个容积为 256 dm3 的方底无盖水箱,它的高为________dm 时最省料.

58、物体的运动方程为 s=2010t+2011t2(s 的单位是米.t 的单位是秒),则此物体在 t=10 秒时的速度
是________.

59、做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为________.

60、某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2 与到
车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元.那么, 要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处.

61、 如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小时,x 与 h 的比
为________.

62、由 y=sinx,x=0,x=-π ,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 S=________.

63、由直线 y=x+1 与 x=0,x=2,y=0 所围成的四边形的面积为________.

64、已知某物体运动的速度为 v=t,t∈[0,10],若把区间 10 等分,取每个小区间右端点处的函数值为
近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________.

1 2 值(取每个小区间的左端点)是________.

65、求由曲线 y= x2 与直线 x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形面积时,把区间 5 等分,则面积的近似

66、汽车以 v=(3t+2) m/s 作变速直线运动时,在第 1 s 到第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是________.

? ? ? ? 67、化简? ?0f(x)dx+?1f(x)dx+?2f(x)dx+?3f(x)dx+?+?99 f(x)dx=________.

1

2

3

4

100

68、汽车以 v=(3t+2) m/s 作变速直线运动时,在第 1 s 到第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是________.

? ? 69、若? ?af(x)dx=3,?ag(x)dx=2,则?a[f(x)+g(x)]dx=________.

b

b

b

70、如图,阴影部分的面积分别以 A1,A2,A3 表示,则定积分?b af(x)dx=________.

71、?1 4-x2dx=____________. -1
三、解答题

72、设变速直线运动物体的速度为 v(t),则在 t1 到 t2 这一时间段内,该物体经过的位移 s=________.

73、求由曲线 y=2x2 与直线 x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形面积时,把区间 5 等分,则面积的近似
值(取每个小区间的左端点)是________.

1

74、设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若? ?0f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则 x0 的值为________.

1

k 75、?1 0(2x +1)dx=2,则 k=________.

76、定积分?1 0

x dx 的值为________. 1+x2

? ? 77、如果? ?0f(x)dx=1,?0f(x)dx=-1,则?1f(x)dx=________.

1

2

2

78、由直线 x=1,x=4,y=0 和曲线 y= x+1 围成的曲边梯形的面积是________.

79、定积分 ? 2
0

?

1-sin 2xdx 的值为__________.

80、由曲线 y=x2+4 与直线 y=5x,x=0,x=4 所围成平面图形的面积是________.

81、把一个带+q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点
q 为 r 处的单位电荷受到的电场力由公式 F=k 2(其中 k 为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场 r 力的作用下,沿着 r 轴的方向从 r=a 处移动到 r=b(a<b)处,则电场力对它所作的功________.

82、一物体作直线运动的速度与时间成正比,5 s 时速度为 20 m/s,则物体开始运动 10 s 内所经过的路程
为________ m.

83、一动点 P 从原点出发,沿 x 轴运动,其速度 v(t)=2-t(速度的正方向与 x 轴的正方向一致),则 t=3
时,动点 P 运动的路程为________.

84、直线 x=k 平分由 y=x2,y=0,x=1 所围图形的面积,则 k 的值为________.

+T T 85、设函数 f(x)的原函数 F(x)是以 T 为周期的周期函数,若?a f(x)dx=μ,则?α T f(x)dx=________.

86、已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示过原点的曲线,且在 x=± 1 处的切线
3 的倾斜角均为 π,有以下命题: 4 ①f(x)的解析式为 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]. ②f(x)的极值点有且只有一个. ③f(x)的最大值与最小值之和等于零. 其中正确命题的序号为________.

87、 如图,内接于抛物线 y=1-x2 的矩形 ABCD,其中 A、B 在抛物线上运动,C、D 在 x 轴
上运动,则此矩形的面积的最大值是________.

88、 y ? x2e x 的单调递增区间是



89、函数 y ? x ? 2cos x 在区间[0,

? ]上的最大值是 2

90、函数 y=ln

1 ? sin x ,则 y? = 1 ? sin x



91、设函数 f(x)=ax3-3x+1 (x∈R),若对于 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0,则实数 a 的值
为________.

92、若 f(x)=-2x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是__________.

1

93、函数 f ? x ? ? (x2-) 1 3+ 1 有极_____值______.

94、已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ? x ? ? 3x2 ? 2x

f ?( 2) ,则 f ?(5)

=

.

95、函数 f ( x) 的导函数 y= f ?( x) 的图象如右图,则函数 f ( x) 的单调递增区间为

.

96、如图是 y ? f ? x ? 导数的图象,对于下列四个判断:
① f ( x ) 在[-2,-1]上是增函数; ② x ? ?1 是 f ( x ) 的极小值点; ③ f ( x ) 在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④ x ? 3 是 f ( x ) 的极小值点. 其中判断正确的是 .

120、观察下列等式:
1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,由此推测第 n 个等式为

__________________________.

121、设 n≥2,n∈N,(2x+2)n-(3x+3)n=a0+a1x+a2x2+?+anxn,将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为 Tn,
1 1 1 1 则 T2=0,T3= 3- 3,T4=0,T5= 5- 5,?,Tn,?,其中 Tn=________. 2 3 2 3

1

1

122、对于平面几何中的命题: “夹在两条平行线之间的平行线段相等” ,在立体几何中,类比上述命
题,可以得到命题:“________________”;这个类比命题的真假性是__________.

123、将下面三段论形式补充完整:
因为三角函数是周期函数,(大前提) 而__________________,(小前提) 所以 y=cos x(x∈R)是周期函数.(结论)

124、函数 y=2x+5 的图象是一条直线,用三段论表示为:
大前提:_______________________________________________________________ 小前提:_______________________________________________________________ 结论:_________________________________________________________________

x2+1 125、关于函数 f(x)=lg |x| (x≠0),有下列命题: ①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)为减函数; ③f(x)的最小值是 lg 2; ④当-1<x<0 或 x>1 时,f(x)是增函数; ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是__________.

130、若下列两个方程 x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根,则实数 a 的取
值范围是______________.

131、在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP,用反证法
证明时应分:假设________和________两类.

132、 将 “函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]上至少存在一个实数 c, 使 f(c)>0” 反设,
所得命题为“__________________________”.

133、设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于________.

134、用反证法证明: “△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b”的结论的否定为________.

135 、 设 a = 3 + 2 2 , b = 2 + 7 , 则 a 、 b 的 大 小 关 系 为 _____________________
___________________________________________________.

136、如果 a a+b b>a b+b a,则正数 a,b 应满足的条件是________.

137、 设 a、 b、 u 都是正实数且 a、 b 满足 + =1, 则使得 a+b≥u 恒成立的 u 的取值范围是____________. a b

1

9

138、 “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.

139、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an (n∈N*).依次计算出 S1,S2,S3,S4 后,可
猜想 Sn 的表达式为________________.

2 2 明 n=k+1 命题也成立的关键是________.

140、用数学归纳法证明

an+bn

≥(

a+b

) (a,b 是非负实数,n∈N )时,假设 n=k 命题成立之后,证

n

*

141、平面上原有 k 个圆,它们相交所成的圆弧共有 f(k)段,若增加第 k+1 个圆与前 k 个圆均有两
个交点,且不过前 k 个圆的交点,试问前 k 个圆的圆弧增加________段.

n4+n2 142、用数学归纳法证明:1+2+3+?+n = 2 时,则 n=k+1 时的左端应在 n=k 时的左端加上 ____________________________.
2

143、分析下述证明 2+4+?+2n=n2+n+1(n∈N*)的过程中的错误:________________.
证明:假设当 n=k(k∈N )时等式成立,即 2+4+?+2k=k +k+1,那么 2+4+?+2k+2(k+1) 2 2 * =k +k+1+2(k+1)=(k+1) +(k+1)+1,即当 n=k+1 时等式也成立.因此对于任何 n∈N 等式都成 立.
* 2

144、用数学归纳法证明:1+2+22+?+2n-1=2n-1 (n∈N*)的过程如下:
(1)当 n=1 时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立. - - (2)假设当 n=k 时等式成立,即 1+2+22+?+2k 1=2k-1,则当 n=k+1 时,1+2+22+?+2k 1 + 1-2k 1 k+1 +2k= =2 -1.所以当 n=k+1 时等式也成立.由此可知对于任何 n∈N*,等式都成立.上述 1-2

证明的错误是________________________.

146、已知 a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a33=________.

?-1?n 1 147、若不等式(-1) a<2+ n 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ________.


n

149、由三角形的性质通过类比推理,得到四面体的如下性质:四面体的六个二面角的平分面交于一点,
且这个点是四面体内切球的球心,那么原来三角形的性质为 .

151、由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 __________________________________________________.

152、从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,
概括出第 n 个式子为____________.

153、已知数列{an},a1=2,an+1=
想 an=______.

1

3an ,则 a2,a3,a4,a5 分别为______________,猜 an+3

154、在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在
空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为______.

155、观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,?,根据上述规律,
第五个等式为________.

156、已知 x>0,由不等式 x+x≥2,x+x2=2+2+x2≥3,?,启发我们可以得到推广结
m 论:x+ n≥n+1 (n∈N*),则 m=________. x

1

4

x

x

4

157、已知复数 z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈Z),且 z<0,则 k=________.

159、若复数 z=sin2α -i(1-cos2α )是纯虚数,则α =________.

161、若 a-2i=bi+1(a、b∈R),则 b+ai=________.

162、若(m2-5m+4)+(m2-2m)i>0,则实数 m 的值为________.

163、 已知复数 z1=(3m+1)+(2n-1)i, z2=(n+7)-(m-1)i, 若 z1=z2, 实数 m、 n 的值分别为________、
________.

169、给出下列几个命题:
①若 x 是实数,则 x 可能不是复数; ②若 z 是虚数,则 z 不是实数; ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零; ④-1 没有平方根; ⑤若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ⑥两个虚数不能比较大小. 则其中正确命题的个数为________.

176、复数 z=3+4i 对应的点 Z 关于原点的对称点为 Z1,则向量对应的复数为________.

177、已知复数 3+i、2-i 在复平面内对应的点为 A、B,则直线 AB 的斜率为________.

178、在复平面内,向量对应的复数是 1-i,将 P 向左平移一个单位后得向量 P0,则点 P0 对应的复数是________.

x y 5 + = ,则 x+y= 1-i 1-2i 1-3i __________________________________________________________.

179、设 x、y 为实数,且

180、已知 i =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=________.

a+2i

181、4+i 若复数 z1+z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则 z1=________.

182、在复平面上,复数-3-2i,-4+5i,2+i,z 分别对应点 A,B,C,D,且 ABCD 为
平行四边形,则 z=________.

183、(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=____________.(x,y∈R)

184、-2- 5+3i 2 计算(-1+2i)+(i+i )-|1+2i|=________.

185、若实数 x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2,则 xy=______.

186、复数

2i

-1+ 3i

的虚部是________.

187、已知复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z2 的共轭复数与 z1 的积是实数,则实数 t 的值为________.

188、若复数(1+ai)(2-i)的实部与虚部相等,则实数 a=__________.

189、若复数 z 满足 z=i(2-z)(i 是虚数单位),则 z=________.

190、设复数 z 满足条件|z|=1,那么|z+2 2+i|的最大值是________.

191、-6-8i
复数 4+3i 与-2-5i 分别表示向量与,则向量表示的复数是________.

192、已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为 A,B,C.若
=x+y,则 x+y 的值是________.

196、已知复数 z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在复平面上所对应的点分别为 A、
B、C.若=2+,则 a=________,b=________.

197、若复数 z=

2i ,则| z +3i|=________. 1-i

198、已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若z1为实数,则实数 m=________.
2

z

199、若复数(-6+k2)-(k2-4)i 所对应的点在第三象限,则实数 k 的取值范围是
________________.

207、若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单位,则复数(z1-z2)i 的实部为________.

209、如果一个复数与它的模的和为 5+ 3i,那么这个复数是________.

211、某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x- 0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则该 公司能获得的最大利润为________万元.

212、设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,

且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解是____________________________.

213、若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则 m 的取值范围是________.

214、复数 z=x-2i (x∈R)与其共轭复数 z 对应的向量相互垂直,则 x=________.

215、若 a≥b>0,则 a+

4 的最小值为________. ?2a-b?b

216、点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是________.

a b? ?1+i -1? 217、定义一种运算如下:? ? ?=ad-bc,则复数? ?的共轭复数是__________. ?c d ? ? 2 3i?

218、考查下列例子:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=
72,??得出的结论是________________________.

219、函数 y=xex+1 的单调减区间为________.

220、若函数 f(x)=

4x 在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数 m 的取值范围是__________. x2+1

以下是答案 一、填空题 1、4+Δt 4
Δv v?1+Δt?-v?1? 解析 在[1,1+Δt]内的平均加速度为 = =Δt+4,t=1 时的瞬时加速度 Δt Δt Δv 是 li m =li m (Δt+4)=4. Δt→0 Δt Δt→0

2、

1 14
2 2

Δ s 7t0+Δ t +8-7t0+8 解析: = Δt Δt =7Δ t+14t0, 1 当 liΔ m (7Δ t+14t0)=1 时,t0= . t→0 14

3、a<b 解析 ∵a=-cos x| =-cos 2,b=sin x|1 0=sin 1.

π 又∵-cos 2=cos(π-2)=sin(2- ). 2 在单位圆中利用三角函数线估算可知 a<b.

4、(-2,15)
解析 设 P(x0,y0)(x0<0),由题意知: 2 y′|x=x0=3x2 0-10=2,∴x0=4. 又∵P 点在第二象限内,∴x0=-2,∴y0=15. ∴P 点的坐标为(-2,15).

5、 3 6、1

13

解析:lix→ m0

f1+x-f1 =f′(1)=1. x

7、1
Δy Δx ax+Δ x2+2x+Δ x-ax2-2x =liΔ x m →0 Δx 2 2ax·Δ x+2·Δ x+aΔ x =liΔ x m →0 Δx =2ax+2. ∴f′(1)=2a+2=4, ∴a=1. 解析:liΔ x m →0

8、-22
fx0-2Δ x-fx0 Δx fx0-2Δ x-fx0 =-2li-2Δ mx→0 -2Δ x =-2f′(x0)=-2×11=-22.
解析:liΔ x m →0

9、1
2-1 解析 由平均变化率的几何意义知 k= =1. 1-0

10、0.41 11、2 解析 由导数的定义, f?Δx?-f?0? 得 f′(0)= lim → Δx Δx 0 a?Δx?2+b?Δx?+c-c = lim Δx Δx→0

= lim [a·(Δx)+b]=b. →
Δx 0

?Δ=b -4ac≤ ? 又? ?a>0 ?

2

b2 ,∴ac≥ ,∴c>0. 4



f?1? a+b+c b+2 ac 2b = ≥ ≥ =2. b b b f′?0?

12、 (Δ x)2+6Δ x+12
[解析] Δ y (2+Δ x) -2-(2 -2) = Δx Δx (Δ x) +6(Δ x) +12Δ x = Δx =(Δ x) +6Δ x+12.
2 3 2 3 3

13、 -

2 9

[解析] 1 1 - 2 + Δ x 2 Δy 1 2 = =- =- . Δx Δx 4+2Δ x 9

14、

6-2

[解析] Δy 1+Δ x- 1 1 = = = 6-2. Δx Δx 1+Δ x+1

15、5 4.1
[解析] 当Δ x=1 时,割线 AB 的斜率

k1=

Δ y (2+Δ x) -1-2 +1 (2+1) -2 = = =5. Δx Δx 1

2

2

2

2

当Δ x=0.1 时,割线 AB 的斜率

k2=

Δ y (2+0.1) -1-2 +1 = =4.1. Δx 0.1

2

2

16、-1 解析 由偶函数的图象和性质可知应为-1. 17、2x-y+4=0 解析 由题意知,Δy=3(1+Δx)2-4(1+Δx)+2-3+4-2=3Δx2+2Δx, Δy ∴y′= lim =2. → Δx 0 Δx ∴所求直线的斜率 k=2. 则直线方程为 y-2=2(x+1),即 2x-y+4=0. 18、2
解析 ∵点 P 在切线上,∴f(5)=-5+8=3, 又∵f′(5)=k=-1, ∴f(5)+f′(5)=3-1=2.

19、a≥3
解析 由题意应有 f′(x)=-3x2+a≥0,在区间(-1,1)上恒成立,则 a≥3x2,x∈ (-1,1)恒成立,故 a≥3.

20、-3
解析 ∵f′(x)=f′(2)· 2x+5, ∴f′(2)=f′(2)×2×2+5, 5 ∴3f′(2)=-5,∴f′(2)=- . 3

5

21、 16

125

3 解析 ∵s′=2t- 2, t 3 125 ∴v=s′|t=4=8- = (m/s). 16 16

22、_3____. 23、x+2y- 3-6=0
解析 ∵y′=(cos x)′=-sin x, π

π π 1 ∴y′|x= =-sin =- , 6 6 2 ∴在点 A 处的切线方程为 y- π 即 x+2y- 3- =0. 6 π 3 1 x- ?, =- ? 2 2? 6?

24、



25、 6 26、4

.

解析 ∵f′(x)=axa 1, - ∴f′(-1)=a(-1)a 1=-4,∴a=4.


27、y=2x+3 解析 由 f(x)=sin x+ex+2 得 f′(x)=cos x+ex, 从而 f′(0)=2,又 f(0)=3, 所以切线方程为 y=2x+3.

28、

1

,

.

29、
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,



30、2x

解析 ∵f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2, ∴f(x)=x2,f′(x)=2x.

31、-2 解析 y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 x



n . n+1

n an=lg xn=lg =lg n-lg(n+1), n+1 则 a1+a2+?+a99=lg 1-lg 2+lg 2-lg 3+?+lg 99-lg 100=-lg 100=-2.

32、

4 5

1 2 2 [解析] ∵y= x ,∴y′= x 5 5 2 4 ∴k= ×2= . 5 5

33、某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动
[解析] 由导数的物理意义可知:y′=1 可以表示某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动.

34、(2,4)
[解析] 设切点坐标为(x0,x0), 因为 y′=2x,所以切线的斜率 k=2x0,又切线与 y=4x+6 平行,所以 2x0=4 解得 x0=2,故切点为(2,4).
2

35、21
[解析] ∵y′=2x,∴过点(ak,ak)的切线方程为 y-ak=2ak(x-ak), 1 又该切线与 x 轴的交点为(ak+1,0),所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列, 2 1 首项 a1=16,其公比 q= ,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 2
2 2

36、__16__m2. 37、(-1,11)
解析 ∵f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11). 由 f′(x)<0,得-1<x<11, ∴f(x)的单调调减区间为(-1,11).

38、(-∞,-3]
解析 f′(x)=3ax2+6x-1≤0 恒成立

? ? ?a ?a<0 ?? ,即? , +12a≤0 ?Δ≤0 ? ? ? ∴a≤-3.

39、-1
1-x 1 解析 f′(x)= -1= ,令 f′(x)>0 得 0<x<1,令 f′(x)<0 得 x<0 或 x>1, x x

∴f(x)在(0,1] 上是增函数,在(1,e]上是减函数. ∴当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=-1. 2 40、? 2 ,+∞? ? ? 解析 ∵f′(x)=3x2-3a2(a>0),∴f′(x)>0 时得:x>a 或 x<-a,f′(x)<0 时,得-a<x<a. ∴当 x=a 时,f(x)有极小值,x=-a 时,f(x)有极大值. 2 3 3 3 3 a>0 解得 a> . 由题意得:{a -3a +a<0, -a +3a +a 2

41、20 解析 f′(x)=3x2-3,令 f′(x)=0, 得 x=1,(x=-1 舍去). ∵f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a. ∴M=18-a,N=-2-a.∴M-N=20. 42、3
2x?x+1?-?x2+a? x2+2x-a 解析 f′(x)= = . ?x+1?2 ?x+1?2 1+2-a ∵f′(1)=0,∴ =0,∴a=3. 4

43、
π? x 解析 ∵x∈? ?0,2?,∴f′(x)=e cos x≥0, π? ∴f(0)≤f(x)≤f? ?2?. 1 1 即 ≤f(x)≤ 2 2

49、3
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50、1 -3 解析 因为 f′(x)=3ax2+b, 所以 f′(1)=3a+b=0.① 又 x=1 时有极值-2,所以 a+b=-2.② 由①②解得 a=1,b=-3.

51、[1,+∞) 解析 ∵f′(x)=cos x+a≥0,∴a≥-cos x, 又-1≤cos x≤1,∴a≥1. 52、16
解析:设矩形的长为 x m, 16-2x 则宽为 =(8-x) m(0<x<8), 2 2 ∴S(x)=x(8-x)=-x +8x ∴S′(x)=-2x+8, 令 S′(x)=0,则 x=4, 又在(0,8)上只有一个极值点且 x∈(0,4)时,S(x)单调递增,x∈(4,8)时,S(x)单调递减, 故 S(x)max=S(4)=16.

53、32m,16m
[解析] 512 512 设长,宽分别为 a,b,则 ab=512,且 l=a+2b,∴l=2b+ ,∴l′=2- 2 ,

b

b

令 l′=0 得 b =256,∴b=16,a=32. 即当长、宽分别为 32m、16m 时最省材料.

2

54、4
[解析] 256 2 2 2 2 2 设水箱高为 h,底面边长为 a,则 a h=256,其面积为 S=a +4ah=a +4a· 2 =a + .
10

a

a

2 令 S′=2a- 2 =0,得 a=8.

10

a

2 当 0<a<8 时,S′<0;当 a>8 时,S′>0;当 a=8 时,S 最小,此时 h= 6=4. 2 2 3R 3

8

55、

[解析] 如图,ABCD 为球面内接圆柱的轴截面,BD=2R,设圆柱的高为 x,则圆柱底面半径 1 2 2 为 r= 4R -x , 2

π 2 2 2 圆柱体积 V=π r x= (4R -x )x(0<x<2R) 4 π 2 2 2 令 V′= (4R -3x )=0 得 x= 3R. 4 3 2 因为 V(x)只有一个极值,所以当圆柱的高为 3R 时,球内接圆柱体积最大. 3 2 3

56、

[解析] 设四边形较短边为 x,则较长边为 3x,正六棱柱底面边长为 1-2x,高为 3x, 1 9 2 2 ∴V=6× ×sin60°×(1-2x) × 3x= x(1-2x) . 2 2

V′= (1-2x)(1-6x),
1 1 令 V′=0,得 x= 或 x= (舍去). 6 2 1 1 1 当 0<x< 时,V′>0;当 <x< 时,V′<0. 6 6 2 1 1 2 因此当 x= 时,V 有最大值,此时底面边长为 1-2× = . 6 6 3

9 2

57、4
256 解析:设底面边长为 x,则高为 h= 2 ,

x

256 256×4 2 2 其表面积为 S=x +4× 2 ×x=x + ,

x

x

256×4 S′=2x- ,令 S′=0,则 x=8, 2

x

256 则高 h= =4 (dm). 64

58、42230 米/秒
解析:由已知得 s′=2010+4022t,所以,当 t=10 时,物体速度为 s′=42230(米/秒).

59、3
解析 设半径为 r,则高 h= 27π 27 = . πr2 r2

27 54π ∴水桶的全面积 S(r)=πr2+2πr·2 =πr2+ . r r 54π S′(r)=2πr- 2 , r 令 S′(r)=0,得 r=3. ∴当 r=3 时,S(r)最小.

60、5
k1 解析 依题意可设每月土地占用费 y1= , 每月库存货物的运费 y2=k2x, 其中 x 是仓库到车站的距离. x k1 4 于是由 2= ,得 k1=20;由 8=10k2,得 k2= . 10 5 20 4x 20 4 因此两项费用之和为 y= + ,y′=- 2 + , x 5 x 5 20 4 令 y′=- 2 + =0 得 x=5(x=-5 舍去),经验证,此点即为最小值点. x 5 故当仓库建在离车站 5 千米处时,两项费用之和最小.

61、1∶1
π S π 解析 设窗户面积为 S,周长为 L,则 S= x2+2hx,h= - x,所以窗户周长 L=πx+ 2 2x 4 π S π S 2x+2h= x+2x+ ,L′= +2- 2. 2 x 2 x 2S 由 L′=0,得 x= , π+4 2S ? ? x∈?0, ?时,L′<0, π+4? ? 2S ? ? ,+∞?时,L′>0, x∈? π+4 ? ? 2S 所以当 x= 时,L 取最小值, π+4 2 h 2S-πx 2S π π+4 π 此时 = = 2- = - =1. 2 x 4x 4x 4 4 4

62、-? ?-π sinxdx
解析:由定积分的意义知,由 y=sinx,x=0,x=-π ,y=0 围成图形的面积为 S=-? ?-π sinxdx.
0

0

63、4 解析 所围成的四边形为直角梯形,x=0 时,y=1,x=2 时, 1 y=3.∴S= (1+3)×2=4. 2 64、55
解析:∵把区间[0,10]10 等分后,每个小区间右端点处的函数值为 n(n=1,2,?,10),每个小区间的长 度为 1. ∴物体运动的路程近似值 S=1×(1+2+?+10)=55.

65、1.02
6 6 7 7 8 8 9 9 解析:将区间 5 等分所得的小区间为[1, ],[ , ],[ , ],[ , ],[ ,2], 5 5 5 5 5 5 5 5

于是所求平面图形的面积近似等于 1 36 49 64 81 1 255 (1+ + + + )= × =1.02. 10 25 25 25 25 10 25

66、6.5 m
1 i-1 解析:将[1,2] n 等分,并取每个小区间左端点的速度近似代替,则 Δ t= ,v(ξ i)=v(1+ )=3(1

n

n



i-1 3 )+2= (i-1)+5. n n

n 3 1 3 1 3 nn-1 3 1 ∴sn= ?[ (i-1)+5]· ={ [0+1+2+?+(n-1)]+5n}· = 2· +5= (1- )+5. n n n n n 2 2 n i=1

3 ∴s=lin→∞ m sn= +5=6.5. 2

67、∫0 f(x)dx b c b 100 ? ? 解析:连续运用? ?af(x)dx=?af(x)dx+?cf(x)dx(a<c<b),原式=∫0 f(x)dx. 68、6.5 m 解析 将[1,2]n 等分,并取每个小区间左端点的速度近似代替,则 i-1 i-1 1 Δt= ,v(ξi)=v(1+ )=3(1+ )+2 n n n 3 = (i-1)+5. n n 3 1 ∴sn=∑ [ (i-1)+5]· n i=1 n 3 1 ={ [0+1+2+…+(n-1)]+5n}· n n 3 n?n-1? 3 1 = 2· +5= (1- )+5. n 2 2 n 3 ∴s=li m sn= +5=6.5. 2 n→∞ 69、5
解析:?b [f(x)+g(x)]dx=?b f(x)dx+?b g(x)dx=3+2=5.

100

?a

?a

?a

70、A1+A3-A2 解析 利用定积分的几何意义,在区间[a,b]上,用 x 轴上方 f(x)所围面积减去 x 轴下方 f(x)所围面积. 71、
2π + 3 3

解析 由 y= 4-x2可知 x2+y2=4(y≥0),其图象如图. ?1 4-x2dx 等于圆心角为 60° 的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和 -1 1 π 2 1 π 2π S 弓形= × ×2 - ×2×2sin = - 3, 2 3 2 3 3 S 矩形=|AB|· |BC|=2 3, 2π 2π 2 ∴?1 - 3= + 3. -1 4-x dx=2 3+ 3 3

72、v(t)dt 73、1.02
6? ?6 7? ?7 8? ?8 9? ?9 ? 解析 将区间 5 等分所得的小区间为? ?1,5?,?5,5?,?5,5?,?5,5?,?5,2?, 于是所求平面图形的面积近似等于 1 ? 36 49 64 81? 1 255 1+ + + + = × =1.02. 25 25 25 25? 10 25 10?

74、

3 3
1 1 2

? 解析:? ?0f(x)dx=?0(ax +c)dx
1 3 a 1 2 =( ax +cx)|0= +c=ax0+c. 3 3 又∵0≤x0≤1,∴x0= 3 . 3

75、1 k 1 k 1 解析 ∵?1 0(2x +1)dx=?02x dx+?0dx k+1 2x 1 k 1 =2?1 | +1 0x dx+x|0= k+1 0 2 2 = +1=2,∴ =1, k+1 k+1 即 k=1. 76、2ln 2
1 x 2 ? 解析 ∵? ?2ln?1+x ??′=1+x2, x 1 1 2 1 ∴?1 2dx= ln(1+x )|0= ln 2. 0 2 2 1+x 1

77、-2 ? ? 解析:∵? ?0f(x)dx=?0f(x)dx+?1f(x)dx, ? ∴1+? ?1f(x)dx=-1,∴?1f(x)dx=-2.
2 2 2 1 2

23 3 解析:设所求面积为 S,由定积分的几何意义知 4 2 3 4 S=? ?1( x+1)dx=(3x2+x)|1 16 2 23 =( +4)-( +1)= . 3 3 3

78、

79、2( 2-1)
解析 cos2x+sin2x-2sin xcos xdx

= ?sin x-cos x?2dx =|cos x-sin x|dx =(cos x-sin x)dx+(sin x-cos x)dx =(sin x+cos x)|-(cos x+sin x)|=2( 2-1).

80、 3
解析

19

?y=x2+4 ? 由? , ?y=5x ?

得 x=1 或 x=4. 1 2 2 所求面积为 S=?0 (x +4-5x)dx+?4 1(5x-x -4)dx 1 3 5 x +4x- x2?|1 =? 3 2 ? 0+ ? 19 4 ?5x2-1x3-4x?|1 3 ?2 ? =3.

81、ka-kb
q qb q q 解析 W=?b ak 2dr=-k |a=k -k . r r a b

q

q

82、200
2 10 解析 ∵v=4t,∴s=?10 0 4tdt=(2t )|0 =200(m).

83、2
3 解析 s=?2 0(2-t)dt+?2(t-2)dt 5 5 =2+ -2= . 2 2

5

3

84、 2

4

解析 作平面图形,如右图所示. 1 1 2 2 由题意,得?k 0x dx= ?0x dx 2 1 3k 1 31 即 x |0= x |0. 3 6 3 1 1 4 ∴ k3= ,k= . 3 6 2

85、-μ
a T a T 解析 ?T f(x)dx=F(x)|T =F(a+T)-F(T)=F(a)-F(T)=-μ.
+ +

86、①③ 解析 f′(x)=3x2+2ax+b,
由题意得 f(0)=0,f′(-1)=f′(1)=tan 3π =-1. 4

c=0 ? ? ∴?3-2a+b=-1 ? ?3+2a+b=-1

,∴a=0,b=-4,c=0.

∴f(x)=x3-4x,x∈[-2,2].故①正确. 2 3 2 3 由 f′(x)=3x2-4=0 得 x1=- ,x2= . 3 3 根据 x1,x2 分析 f′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点. x -2 2 3 (-2,- ) 3 + 2 3 - 3 0 (- 2 3 , 3 2 3 ) 3 - 2 3 3 0 2 3 ( , 3 2) + 2

f′(x)

f(x)

0

16 3 9

-16 3 9

0

2 3 ∴x=- 是极大值点也是最大值点. 3 2 3 x= 是极小值点也是最小值点. 3 f(x)min+f(x)max=0.∴②错,③正确.

87、 9

4 3

x ? 解析 设 CD=x,则点 C 坐标为? ?2,0?. x?2? x 点 B 坐标为?2,1-? ?2? ,

?

?

∴矩形 ABCD 的面积 ?1-?x?2? S=f(x)=x· ? ?2? ? x3 =- +x (x∈(0,2)). 4 3 由 f′(x)=- x2+1=0, 4 2 2 得 x1=- (舍),x2= , 3 3 2 ∴x∈?0, ?时,f′(x)>0,f(x)是递增的, 3? ? 2 x∈? ,2?时,f′(x)<0,f(x)是递减的, ? 3 ? 2 4 3 当 x= 时,f(x)取最大值 . 9 3

88、(-∞,-2)与(0,+ ∞) 89、

90、secx 91、4
解析 若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0,显然成立; 3 1 当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可转化为 a≥ 2- 3, x x 3?1-2x? 3 1 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , x x x4 1? ?1 ? 所以 g(x)在区间? ?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减, 1? 因此 g(x)max=g? ?2?=4,从而 a≥4; 当 x<0,即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0 3 1 可转化为 a≤ 2- 3, x x 3?1-2x? 3 1 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , x x x4 所以 g(x)在区间[-1,0)上单调递增. 因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4, 综上所述,a=4.

92、(-∞,-1]
b 解析 ∵f′(x)=-x+ x+2 -x?x+2?+b -x2-2x+b = = , x+2 x+2 又 f(x)在(-1,+∞)上是减函数, 即 f′(x)≤0 在(-1,+∞)上恒成立, 又 x+2>0,故-x2-2x+b≤0 在(-1,+∞)上恒成立, 即 x2+2x-b≥0 在(-1,+∞)上恒成立. 又函数 y=x2+2x-b 的对称轴为 x=-1, 故要满足条件只需(-1)2+2×(-1)-b≥0, 即 b≤-1.

93、小,0 94、6 95、 [-1,0]和[2,+∞) 96、②③

0 ?n为偶数? ? ? 121、? 1 1 ? ?2n-3n ?n为奇数? 解析 观察 Tn 表达式的特点可以看出 T2=0,T4=0,??,∴当 n 为偶数时,Tn=0; 1 1 1 1 1 1 又∵T3= 3- 3,T5= 5- 5,??,∴当 n 为奇数时,Tn= n- n. 2 3 2 3 2 3

122、夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题

123、y=cos x(x∈R)是三角函数 124、一次函数的图象是一条直线 函数 y=2x+5 是一次函数 函数 y=2x+5 的图象是一
条直线

125、①③④ 解析 函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}, 且 f(-x)=f(x),∴函数 f(x)是偶函数. x2+1 当 x>0 时,f(x)=lg . x 2 x +1 1 设 μ= =x+ . x x ∴μ 在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. ∴当 x=1 时,μ 有最小值 2. x2+1 ∴f(x)=lg (x>0),在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,且 f(x)的最小值为 x lg 2. ∴①③④正确,②⑤不正确.

130、a≤-2 或 a≥-1
解析 若方程 x2+(a-1)x+a2=0 有实根, 1 则(a-1)2-4a2≥0,∴-1≤a≤ . 3 2 若方程 x +2ax-2a=0 有实根. 则 4a2+8a≥0,∴a≤-2 或 a≥0, ∴当两个方程至少有一个实根时, 1 -1≤a≤ 或 a≤-2 或 a≥0. 3 即 a≤-2 或 a≥-1.

131、解析:∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP 132、函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]上恒小于等于 0 133、
1 3

1 1 解析:假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<1 与 a+b+c=1 矛盾.故 a、b、c 中至少有一个不小于 . 3 3

134、a≤b 135、a<b 解析 a= 3+2 2,b=2+ 7两式的两边分别平方,可得 a2=11+4 6,b2=11+4 7,明显 6< 7, 故 a<b. 136、a≠b
解析 ∵a a+b b-(a b+b a)

=a( a- b)+b( b- a)=( a- b)(a-b) =( a- b)2( a+ b). ∴只要 a≠b,就有 a a+b b>a b+b a.

137、(0,16]
1 9? 解析 u≤(a+b)? ?a+b?恒成立, 1 9? b 9a 而(a+b)? ?a+b?=10+a+ b ≥10+6=16, b 9a 1 9 当且仅当 = 且 + =1 时,上式取“=” . a b a b 此时 a=4,b=12. ∴0<u≤16.

138、解析:对其的否定有两部分:一是任何三角形;二是至少有两个.
答案:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角

139、Sn=

2n n+1

4 3 6 8 解析 S1=1,S2= ,S3= = ,S4= , 3 2 4 5 2n 猜想 Sn= . n+1

140、两边同乘以

a+b
2
k+1

解析:要想办法出现 a

+b

k+1

,两边同乘以

a+b
2

,右边也出现了要证的(

a+b
2

)

k+1

.

141、2k
解析:增加的第 k+1 个圆与前 k 个圆中的每一个均有两个交点,这两个交点中的每个点都将原来的 一段圆弧分为两段,因此每个圆都要增加两段圆弧. ∴k 个圆共增加的圆弧段数为 2k 段.

142、(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2 143、缺少步骤归纳奠基,实际上当 n=1 时等式不成立 144、没有用到归纳假设,不是数学归纳法.

146、3
解析 a1=3,a2=6,a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3,a8=6,归纳出每 6 项一个循环,则 a33=a3=3.

147、-2≤a<2
1 解析 当 n 为偶数时,a<2- , n 1 1 3 3 而 2- ≥2- = ,∴a< . n 2 2 2

3

1 当 n 为奇数时,a>-2- , n 1 而-2- <-2,∴a≥-2. n 3 综上可得-2≤a< . 2

149、答案:三角形内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心

151、正棱锥各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比. 152、1-4+9-16+?+(-1)n-1n2=(-1)n+1· (1+2+?+n)
解析 式子左边是正、负相间,奇数项为正,偶数项为负,所以用(-1)n 1 调节,左子 + 右边是前 n 个正整数的和,奇数项为正,偶数项为负,用(-1)n 1 调节.


153、7,8,3,10 154、1∶8

3

3 1

3

3 n+5

解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是 两个相似几何体,体积之比为相似比的立方, ∴它们的体积比为 1∶8.

155、13+23+33+43+53+63=212.
解析 由前三个式子可以得出如下规律:每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数 的立方和,且个数依次多 1,等号的右边是一个正整数的平方,后一个正整数依次比前 一个大 3,4,?,因此,第五个等式为 13+23+33+43+53+63=212.

156、nn 157、2
解析:?
?k -3k<0 ? ? ?k -5k+6=0
2 2

?0<k<3 ? ?? ? ?k=2或k=3

?k=2.

159、kπ + (k∈Z)
?sin2α =0 ?2α =kπ ? ? 解析:? ?? ?1-cos2α ≠0 ?2α ≠2kπ ? ? π ∴α =kπ + (k∈Z). 2

π 2

?2α =(2k+1)π ,

161、-2+i
解析:根据复数相等的充要条件,得? ∴b+ai=-2+i.
?a=1 ? ?b=-2 ?



162、0
解析
?m2-5m+4>0; ? 由题意得:? 2 ?m -2m=0. ?

解得:m=0.

163、2 0
? ?3m+1=n+7 解析 两复数相等,即实部与实部相等,虚部与虚部相等.故有? , ?2n-1=-?m-1? ? 解得 m=2,n=0.

169、2
解析 因为实数是复数,故①错;②正确;因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为 零,故③错;因为-1 的平方根为± i,故④错;当 a=-1 时,(a+1)i 是实数 0,故⑤错; ⑥正确.故答案为 2.

176、-3-4i
解析 由题意 Z 点的坐标为(3,4), 点 Z 关于原点的对称点 Z1(-3,-4), 所以向量对应的复数为-3-4i.

177、2
-1-1 解析 ∵A(3,1),B(2,-1),∴kAB= =2. 2-3

178、-i
解析 P(1,-1)向左平移一个单位至 P0(0,-1),对应复数为-i.

179、4
x y 5 + = 1-i 1-2i 1-3i x?1+i? y?1+2i? ? + ?1-i??1+i? ?1+2i??1-2i? 5?1+3i? = ?1-3i??1+3i? 1 1 ? x(1+i)+ y(1+2i) 2 5 1 1 1 2 1 =( x+ y)+( x+ y)i= (1+3i) 2 5 2 5 2 1 1 1 x+ y= ?x=-1, 2 5 2 ? ? ?? 1 2 3 ?y=5, ? x+ y= 2 5 2 解析

? ? ?

∴x+y=4.

180、1
a+2i 解析 ∵ =b+i,∴a+2i=bi-1. i ∴a=-1,b=2,∴a+b=1.

181、解析:两式相加得 2z1=8+2i,∴z1=4+i. 182、3-6i 解析 由于=, ∴2+i-z=(-4+5i)-(-3-2i), ∴z=3-6i. 183、(y-x)+5(y-x)i 解析 原式=(2x-3x+y)+(3y+2y-2x-3x)i =(y-x)+5(y-x)i. 184、解析:原式=-1+2i+i-1- 5=-2- 5+3i. 185、1
解析 由(1+i)x+(1-i)y=2, 得(x+y)+(x-y)i=2. ?x+y=2, ?x=1, ? ? 所以? 即? ∴xy=1. ?x-y=0. ?y=1. ? ?

186、-

1 2

2i-1- 3i 2 3-2i 3 1 解析:原式= = = - i, 1+3 4 2 2 1 ∴虚部为- . 2

187、

3 4

解析:由题意知 z 2=t-i(t∈R),

z 2z1=(t-i)(3+4i)=(3t+4)+(4t-3)i.
3 ∵ z 2z1∈R,∴4t-3=0,∴t= . 4

188、3 解析:∵(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i 的实部与虚部相等,∴2+a=2a-1.∴a=3. 189、1+i 解析:∵z=i(2-z), ∴z=2i-iz, ∴(1+i)z=2i,

2i ∴z= =1+i. 1+i

190、4 解析 复数 z 满足条件|z|=1,z 所对应的点的轨迹是单位圆,而|z+2 2+i|即表示单位 圆上的动点到定点(-2 2,-1)的距离. 从图形上可得|z+2 2+i|的最大值是 4. 191、解析:表示-对应的复数,由-2-5i-(4+3i)=-6-8i,知对应的复数是-6-8i 192、5
解析 =x+y 得 3-2i=x(-1+2i)+y(1-i)=(-x+y)+(2x-y)i, ? ? ?-x+y=3, ?x=1, ∴? 解得? 故 x+y=5. ?2x-y=-2. ?y=4, ? ?

193、答案:必要条件,但不是充分条件

194、答案:直角

196、-3 -10
解析 ∵=2+ ∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi) ?1=4+a ?a=-3 ? ? 即? ∴? . ? ? ?-4=6+b ?b=-10

197、 5
2i 2i?1+i? 解析 ∵z= = =-1+i. 2 1-i ∴ z =-1-i,∴| z +3i|=|-1+2i|= 5.

198、-2
z1 m+2i ?m+2i??3+4i? = = z2 3-4i 25 3m-8+?6+4m?i = 是实数, 25 3 ∴6+4m=0,即 m=- . 2 解析

3

199、(- 6,-2)∪(2, 6)
解析
2 ? ?-6+k <0 由已知得? 2 ,∴4<k2<6. ?k -4>0 ?

∴- 6<k<-2 或 2<k< 6.

207、-20 解析 ∵z1=4+29i,z2=6+9i, ∴(z1-z2)i=(-2+20i)i=-20-2i, ∴复数(z1-z2)i 的实部为-20.

209、 5 + 3i
解析 设 z=a+bi (a、b∈R),根据题意得 a+bi+ a2+b2=5+ 3i, 11 ? ?a= 5 ?b= 3 所以有? ,解之得? , ?a+ a2+b2=5 ? ?b= 3 11 ∴z= + 3i. 5

11

210、3
1 1 2 解析 阴影部分的面积为 S=?0 3x dx=x3|1 0=1,所以点 M 落在阴影区域的概率为 . 3

1

211、45.6
解析 设在甲地销售 m 辆车,在乙地销售(15-m)辆车,则总利润 y=5.06m-0.15m2+ 2(15-m)=-0.15m2+3.06m+30, 所以 y′=-0.3m+3.06. 令 y′=0,得 m=10.2. 当 0≤m<10.2 时,y′>0; 当 10.2<m≤15 时,y′<0. 故当 m=10.2 时,y 取得极大值,也就是最大值. 又由于 m 为正整数,且当 m=10 时,y=45.6; 当 m=11 时,y=45.51. 故该公司获得的最大利润为 45.6 万元.

212、(-∞,-3)∪(0,3) 解析 设 F(x)=f(x)g(x), 由已知得,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). 当 x<0 时,F′(x)>0, ∴F(x)在(-∞,0)上为增函数. 又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. ∴ F(-x)=f(-x)· g(-x) =-f(x)· g(x)=-F(x), ∴F(x)为奇函数. ∴F(x)在(0,+∞)上也为增函数. 又 g(-3)=0,∴F(-3)=0,F(3)=0. ∴f(x)· g(x)<0 的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
1 ? 213、? ?3,+∞? 解析 f′(x)=3x2+2x+m,依题意可知 f(x)在 R 上只能单调递增,所以 Δ=4-12m≤0, 1 ∴m≥ . 3

214、± 2
解析 ∵z=x-2i,∴ z =x+2i, 又两对应向量垂直,∴x2-4=0,∴x=± 2.

215、3
4 解析 a+ ?2a-b?b b? b 1 =? ?a-2?+2+? b? b≥3, ?a-2?· 2 当且仅当 a=b=2 时取等号.

216、 2
1 解析 设曲线上一点的横坐标为 x0 (x0>0),则经过该点的切线的斜率为 k=2x0- ,根据题意得,2x0 x0 1 1 - =1,∴x0=1 或 x0=- ,又∵x0>0, x0 2 |1-1-2| ∴x0=1,此时 y0=1,∴切点的坐标为(1,1),最小距离为 = 2. 2

217、-1-3i ?1+i -1? 解析 ∵? (-1)=3i-1. ?=3i(1+i)-2· ? 2 3i?
∴其共轭复数为-3i-1.

218、n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 219、(-∞,-1) 解析 y′=ex(1+x),令 y′<0, 得 x<-1,∴函数的单调减区间为(-∞,-1). 220、(-1,0]
4-4x2 解析 f′(x)= 2 ,令 f′(x)>0,得-1<x<1,即函数 f(x)的增区间为(-1,1).又 f(x)在(m,2m+1) ?x +1?2 m≥-1, ? ? 上单调递增,所以?m<2m+1, ? ?2m+1≤1. 解得-1<m≤0.