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二次函数与等腰三角形


第二讲

函数与三角形

第二讲

函数与三角形

1、 (东城)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上, 且点 A(0,2) ,点 C(-1,0) ,如图所示,抛物线 y ? ax 2 ? ax ? 2 经过点 B. (1)求点 B 的坐标; (2)求抛物

线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外) ,使△ACP 仍然是以 AC 为 直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请 说明理由.

y
A (0,2) B O C(-1,0)

x

1

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函数与三角形

2、 (丰台)已知抛物线 y ? ?
2

2 2 x ? bx ? c 与 x 轴交于不同的两点 A? x1, 0? 和 B ? x2, 0? ,与 y 轴交于 3

点 C,且 x1,x2 是方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的两个根( x1 ? x2 ) . (1)求抛物线的解析式; (2)过点 A 作 AD∥CB 交抛物线于点 D,求四边形 ACBD 的面积; (3)如果 P 是线段 AC 上的一个动点(不与点 A、C 重合) ,过点 P 作平行于 x 轴的直线 l 交 BC 于点 Q,那么在 x 轴上是否存在点 R,使得△PQR 为等腰直角三角形?若存在,求出点 R 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

2

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函数与三角形

3、 (海淀)已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2),与 x 轴正半轴交于点 D. (1)求此抛物线的解析式及点 D 的坐标; (2)在 x 轴上求一点 E, 使得△BCE 是以 BC 为底边的等腰三角形; (3)在(2)的条件下,过线段 ED 上动点 P 作直线 PF//BC, 与 BE、CE 分别交于 点 F、G,将△EFG 沿 FG 翻折得到△E?FG. 设 P(x, 0), △E?FG 与四边形 FGCB 重叠部分的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围.
y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2

A

B

C

O 1

2

3

4

5

x

3

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函数与三角形

4. 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象分别经过点(0,3) , (3,0) , (-2,-5). 求:(1) 求这个二次函数的解析式; (2) 求这个二次函数的最值; (3) 若设这个二次函数图象与 x 轴交于点 C,D(点 C 在点 D 的左侧) ,且点 A 是该图象 的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点 B,使△ACB 是等腰三角形,求出点 B 的坐 标.

4

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函数与三角形

5.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过 A(3,0) 、B(5,0) 、

C(0,5)三点.
(1)求此抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D,求△BCD 的面积; (3)若在抛物线的对称轴上有一个动点 P,当△OCP 是腰长为 5 的等腰三角形时,求点 P 的坐标.

5

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6、如图,抛物线 y ? ax2 ? 5ax ? 4 经过 △ ABC 的三个顶点,已知 BC ∥ x 轴,点 A 在 x 轴 上,点 C 在 y 轴上,且 AC ? BC . (1)求抛物线的对称轴; (2)写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式; (3)探究:若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点,是否存在 △PAB 是等腰三角 形.若存在,求出所有符合条件的点 P 坐标;不存在,请说明理由.

y C A
1

B

0

1

x

6

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函数与三角形

7、 如图①, 在平面直角坐标系中, 点 A 的坐标为 (1 点 B 的坐标为 (31) 二次函数 y ? x2 , 2) , ,, 的图象记为抛物线 l1 . (1)平移抛物线 l1 ,使平移后的抛物线过点 A ,但不过点 B ,写出平移后的一个抛物线的 函数表达式: (任写一个即可) .

(2)平移抛物线 l1 ,使平移后的抛物线过 A,B 两点,记为抛物线 l2 ,如图②,求抛物线 l2 的函数表达式. (3)设抛物线 l2 的顶点为 C , K 为 y 轴上一点.若 S△ABK ? S△ABC ,求点 K 的坐标. (4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线 l2 上是否存在点 P ,使 △ ABP 为等腰三角 形.若存在,请判断点 P 共有几个可能的位置(保留作图痕迹) ;若不存在,请说明师.

y

y

l1
A B
1 图①

l2

y

l2
A B
1 图③

1

1

A
1

O

x

O

C

B

x

1

O

x

图②

7

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8、 已知抛物线 C1 : y ? ax2 ? 2amx ? am2 ? 2m ? 1 (a ? 0, m ? 1) 的顶点为 A, 抛物线 C2 的 对称轴是 y 轴,顶点为点 B,且抛物线 C1 和 C2 关于 P(1,3)成中心对称. (1)用 m 的代数式表示抛物线 C1 的顶点坐标; (2)求 m 的值和抛物线 C2 的解析式; (3)设抛物线 C2 与 x 轴正半轴的交点是 C,当 ?ABC 为等腰三角形时,求 a 的值.

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