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安徽省安庆市六校2014届高三第三次联考数学(理)试题


安徽省安庆市六校 2014 届高三第三次联考 数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间 120 分 钟。

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
1. 复数

/>2 化简的结果为 1? i
B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i

A. 1 ? i

2.已知向量 a ? (1, x) , b ? (?1, x) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 | a |? A. 2 B. 3 C.2 D.4

3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

2

B. 1

C.

2 3

D.

1 3

4.设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是 A. a ? ? , b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? 5. 函数 y ? a 上,则
x ?3

B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

? 2(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点 A, 且点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 (m ? 0, n ? 0)

1 3 ? 的最小值为 m n
B. 12 C. 10
·1 ·

A 14

D. 8

. 6.若 S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,且 S 8 ? S 3 ? 10 ,则 S11 的值为 A. 12 B. 18 C. 22 D. 44

x2 y2 1 7.已知斜率为 - 的直线 l 交椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 于 A, B 两点,若点 P (2,1) 是 AB 的中 2 a b
点,则 C 的离心率等于

A.

1 2
2

B.

2 2

C.

3 4

D.

3 2

8.已知点 P 是抛物线 y ? ?8 x 上一点,设 P 到此抛物线准线的距离是 d 1 ,到直线 x ? y ? 10 ? 0 的 距离是 d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值是 ( ) A. B. 2 C. 6 D. 3 9.某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高 校.若这三所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考,那么这 5 名同学不同的报考方法种数共有 A. 144 种 B. 150 种 C. 196 种 D. 256 种 10.函数 f ( x) 的定义域是 R , f (0) ? 2, 对任意的 x ? R, f ( x) ? f ?( x) ? 1 ,则不等式

e x ? f ( x) ? e x ? 1 的解集是





A.

?x | x ? 0?

B.

?x | x ? 0?

C.

?x | x ? ?1或x ? 1?

D.

?x | x ? ?1或0 ? x ? 1?

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.)

?x ? 2 ? 0 ? 11 . 点 P ( x, y ) 在 不 等 式 组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
___________. 12. (1 ? x ? x ) ? ( x ? ) 的展开式中的常数项为
2 6

1 x



13

?

1

?1

( 1 ? x 2 ? e x ? 1)dx ?



·2 ·

14.已知函数 f ( x) ? ? 围是

? ? x ,x ?0
2 ? ?? x ? 2 x ? 1, x ? 0

若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2m 有三个零点,则实数 m 的取值范



15.定义域是一切实数的函数 y ? f ( x) ,其图象是连续不断的,且存在常数 ? (? ? R) 使得

f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意实数 x 都成立,则称 f ( x) 是一个“ ? 的相关函数”.有下列关于“ ? 的
相关函数”的结论:① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个 “ ? 的相关函数”; ② f ( x) ? x 是一个 “?
2

的相关函数”;③ “

1 的相关函数”至少有一个零点.其中正确 结论的是 .. 2



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y ? 3 sin B ? sin(C ? 17.(本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

2b ? c cos C . ? a cos A

?
6

) 的值域.

AB ? BC , D 为 AC 的中点, AA1 ? AB ? 2 .
A1 A

(1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若 BC ? 3 ,求三棱锥
D

D ? BC1C 的体积.

B1

B

C1

第 17 题图

C

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x(a ? R) .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
·3 ·

(Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 ? 2 ,求 a 的取值范围. 19.(本小题满分 13 分) 已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n 是 (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列; (Ⅱ)若 b1 ? a1 ,且 bn ? 2bn ?1 ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 cn ?

1 2 与 ( an ? 1) 的等比中项. 4

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn ? 3

20. (本小题满分 13 分) 某电视台举办的闯关节目共有五关,只有通过五关才能获得奖金,规定前三关若有失败即结束,后 两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会.已知某人前三关每关通过的概率都是 , 后两关每关通过的概率都是 . (1)求该人获得奖金的概率; (2)设该人通过的关数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望. 21. (本小题满分 13 分) 已知命题“若点 M ( x0 , y0 ) 是圆 x ? y ? r 上一点,则过点 M 的圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ” .
2 2 2
2

(Ⅰ)根据上述命题类比: “若点 M ( x0 , y0 ) 是椭圆 线方程为
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,则过点 M 的切 a 2 b2

. ” (写出直线的方程,不必证明) .

(Ⅱ)已知椭圆 C :

x y2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,且经过点(1, ) . 2 2 a b 2

(ⅰ)求椭圆 C 的方程; (ⅱ)过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,过点 A 、 B 分别作椭圆的两条切线,求其交点的轨迹 方程.

·4 ·

2014 年安庆市六校第三次联考参考答案

数 学 试 题(理)
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 C 12. 5 B 6 C -5 7 D 8 C 9 B 10 A

二、填空题: 11. 2 13.

?

1 ?e- ?2 2 e

14. ? ? 1, ]

? ?

1 2

15.③ 三、解答题: 16.

2 sin B ? sin C cos C (1)由正弦定理,得: ? , 即2 sin A cos B ? sin A cos C ? sin C cos A sin A cos A 故,2 sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B, ? sin B ? 0,? cos A ? 1 ? ,? A ? 2 3

?????????????????????????????????????6 分 (II)? A ?

?
3

2 2 ? B ? C ? ? 且B ? (0, ? ) ?????????????????8 分 3 3

? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) 6 2 6
?????????????????????????????????????10 分

?

?

?

2 ? ? 5 ? 1 ? B ? (0, ? ), B ? ? ( , ? ),? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 6 6 6 2
所以所求函数值域为 (1, 2] ??????????????????????????12 分 17、证明:(1)连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD . ∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ????4 分
·5 ·
B1 A1 A

????1 分

D

B

O
C1 C

∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , ∴ AB1 // 平面 BC1 D . ???? 6 分

解:(2)∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,∴侧棱 CC1 // AA1 , 又∵ AA1 ? 底面 ABC ,∴侧棱 CC1 ? 面ABC , 故 CC1 为三棱锥 C1 ? BCD 的高, A1 A ? CC1 ? 2 , ????8 分 ????10 分 ????12 分

S ?BCD ?

VD? BCC1
18.

1 1 1 3 S ?ABC ? ( BC ? AB) ? 2 2 2 2 1 1 3 ? VC1 ? BCD ? CC1 ? S ?BCD ? ? 2 ? ? 1 3 3 2

(1)将a ? 1代入f ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? ln x, 得f ( x) ? x 2 ? 3 x ? ln x 1 ? f ?( x) ? 2 x ? 3 ? ,? f ?(1) ? 0, 又 ? f (1) ? ?2 x 故, f ( x)在(1, f (1))处的切线方程是y ? ?2
????????????????????????????????????6 分

1 2ax 2 _(a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)( ax ? 1) ? ? x x x 1 1 1 令f ?( x) ? 0, 得:x1 ? , x 2 ? . ? a ? 0,? ? 0 2 a a 1 当0 ? ? 1即a ? 1时,f ?( x) ? 0,? f ( x)在[1, e]上单调递增,于是f min ( x) ? f (1) ? ?2 a 满足条件 (2) ? f ?( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? 1 1 1 1 ? e即 ? a ? 1时,函数y ? f ( x)在[1, ]上单调递减,在[ , e]上单调递增, ? a e a a 1 于是f min ( x) ? f ( ) ? f (1) ? ?2, 不满足条件 a 1 1 当 ? e即0 ? a ? 时,函数y ? f ( x)在[1, e]上单调递减,此时f min ( x) ? f (e) ? f (1) ? ?2, a e 不满足条件 当1 ? 综上所述:实数a的取值范围是[1,??)
???????????????????????????????????12 分

·6 ·

19、解: (Ⅰ) ( Sn )2 ?

1 1 (an ? 1)2 即 Sn ? (an ? 1)2 ????1 分 4 4 1 当 n ? 1 时, a1 ? (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 ????2 分 4 1 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? (an ?1 ? 1) 2 4 1 2 2 ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? (an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 ) 4
即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an ?1 ? 2 ????4 分 ????6 分 ????3 分

∴数列 {an } 是等差数列 (Ⅱ)由 bn ? 2bn ?1 ? 3 得 bn ? 3 ? 2(bn ?1 ? 3) ∴数列 {bn ? 3} 是以 2 为公比的等比数列 ∴ bn ? 3 ? (b1 ? 3)2 ∴ bn ? 2 (Ⅲ) cn ?
n ?1
n ?1

? (a1 ? 3)2n?1 ? 2n?1

????8 分 ????9 分

?3

an 2n ? 1 ? n ?1 bn ? 3 2

????10 分

1 3 5 2n ? 1 ① ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 2n ? 1 两边同乘以 得 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n ?1 ①-②得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ?2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 1 3 2 n ? 3 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
∴ Tn ?

????13 分

20. 解: (1)设 An(n=1,2,3,4,5)表示该人通过第 n 关,则 An(n=1,2,3,4,5)相互独立, 且 P(An)= (n=1,2,3) ,P(A4)=P(A5)= ∴该人获得奖金的概率为 P=P(A1A2A3A4A5)+P( )+P( )

·7 ·

=

+2×

=



????????????????????????????????????6 分 (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,则 P(ξ=0)= ; P(ξ=1)= P(ξ=2)= P(ξ=3)= P(ξ=4)= ξ 的分布列为 ξ 0 P ∴Eξ=1× +2× = ; = ; = ; = ;P(ξ=5)= ,

1

2

3

4

5

+3×

+4×

+5×

=



????????????????????????????????????13 分 21.解: (Ⅰ)

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ;???????????????????????3 分 a2 b
x2 y2 ? ? 1 ;?????????????????????????7 分 4 3

(Ⅱ) (ⅰ)

(ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设为 k ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,

x1 x y1 y ? ?1 4 3 xx y y 椭圆在点 B 的切线方程为: 2 ? 2 ? 1 4 3
则椭圆在点 A 处的切线方程为: 联解方程① ②得: x ?

① ②

4( y2 ? y1 ) 4k ( x2 ? x1 ) ? ? ?4 , x1 y2 ? x2 y1 x1k ( x2 ? 1) ? x2 k ( x1 ? 1)
???????????? 11 分

即此时交点的轨迹方程: x ? ?4 .

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,

·8 ·

此时 A (?1, ) B(?1, ? ) ,经过 AB 两点的切线交点为 (?4,0) 综上所述,切线的交点的轨迹方程为: x ? ?4 . ??????????? 13 分

3 2

3 2

·9 ·


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