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1.3.3函数的最大(小)值与导数 2)


旧知回顾
极 值 的 判 定
y y=f(x) 在极大值点附近 f ?(x)>0 f ?(x)<0

f ?(x)<0 O a

f ?(x)>0 b x

x1 x2 在极小值点附近

左正右负为极大值

左负右正为极小值


求函数f(x)极值的步骤:
(1) 确定函数的定义域;

(2)求导数f’(x); (3)求方程f’(x)=0的根;
(4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— ?如果左正右负(+ ~ -), 那么f(x)在这个根处取得极大值; ?如果左负右正(- ~ +), 那么f(x)在这个根处取得极小值;

结论
f?(x0) =0

x0 是函数f(x)的极值点
f?(x0) =0

x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点

注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

新 课 引 入
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效 益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效 益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求 一个函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值?他 们与函数极值关系如何?

知识回顾:

最大值与最小值

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
6

探究一(闭区间上的最值问题)
y y
y=f(x)

y
y=f(x)

y=f(x)

a

o o a
x1 x2 x3

x4 x3

b o

x
x4 x5

a

x1 x2

b x
x

x6

b

如果在闭区间【a,b】上函数y=f(x)的图像是一 所有极值连同端点函数值进行比较, 条连续不断的曲线,那么它必定有最大值和最小值并 最大的为最大值,最小的为最小值 且在端点或极值点取得。

例1、求函数 f ( x ) = 1 x 3 ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最
3

大值与最小值.

解:f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.
2 ? y = x ? 4 = ( x ? 2)( x ? 2)

令 y? = 0,解得 x1 = ?2(舍去), x2 = 2

4 f (0) = 4, f (2) = ? , f (3) = 1 3
4 值为4,最小值为 ? 3 .

1 3 因此函数 f ( x ) = x ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大 3

例2:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最 大值与最小值. 解: y? = 4x ? 4x= 4x ? x+1?? x-1? .
3

令 y? = 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y?, y 的变化情况如下表:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 0 + 0 - 0 + y? y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.

当x变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下表:

1 例3: 求f(x)= x ? sinx在区间 2 值域? 0 , ? ? ? [0,2π]上的最值 . 1 解:f ?( x) = ? cos x 2 2 4 令 f ?( x) = 0解得 x1 = ? , x2 = ? 3 3
0
2 (0, 3 ?)

x
f ?( x )

2 ? 3

4 2 4 ( ?, 3 ?) ? 3 3

4 ( 3 ? , 2?) 2?

+ 0

0
π 3 + 3 2

-

0
2 3 π3 2

+

f ( x)

?

函数f(x)在区间[0,2π]上的最大值是π, 最小值是0.

总结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①:求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极 小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
注意

1) 函数的最值是整体性的概念;

2) 函数的最大值(最小值)唯一; 3) 函数的最大值大于等于最小值;
4) 函数的最值可在端点取得.

练习:1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]内
的最大值和最小值. 解: f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.

f′(x)=2x- 4
令f′(x)=0,即2x–4=0, 得x =2

f (?1) = 8, f (2) = ?1, f (4) = 3
故函数f(x) 在区间[-1,4]内的最大值为 8,最小值为-1
12

2、求函数 f(x) = x 3 + x 在[-1,2]上的最大值与 最小值.

解 f / ( x) = 3x2 ? 1 ? 0.
f(x)在[-1,2]上是增函数.
f (?1) = ?2, f (2) = 10.
因此函数 f ( x) = x ? x 在[-1,2]上的最大值
3

为10,最小值为 -2.

3 2 f ( x ) = ax ? 6 ax ? b(a ? 0), x ?[?1, 2] 例4:若函数 的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.

解:令 f ?( x ) = 3ax 2 ?12ax = 0 得x=0, x=4(舍去). 当x变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f(x) -1 -7a+b (-1,0) + ↗ 0 (0,2) 0 b ↘ 2 0 -16a+b

由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b, 故b=3. 又f(-1)-f(2)=9a>0, 所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29, 故a=2.

y y=f(x) o y y=f(x)

y

y=f(x)

a

b x

o a
y y=f(x)

b

x

o

a

b x

o a

b x

探究二(开区间上的最值问题)
结论:在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.

思考:

(1)如果函数f(x)在开区间(a,b) 有最值,在什么位置取最值?
答:在极值点位置

(2)如果函数f(x)在开区间(a,b) 上只有一个极值点,那么这个极值 点是否是最值点?

例如函数y=f(x)图像如下:

如果函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个 极值点,那么这个极值点必定是最值点。

高考链接
1 (2008安徽文)设函数 f(x) = 2x + -1(x < 0), 则 x f(x)( A)

A.有最大值

B.有最小值

C.是增函数

D.是减函数

随堂练习
1. 已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数),在[-2 , 2]上有最大值3,函数在[-2 , 2]上的最小值

_____. -37
2. 函数f(x)=x3+ax+b,满足f(0)=0,且在x=1 时取得极小值,则实数a的值为_____. -3

3. 函数f(x)=x? -3x+1在闭区间[-3,0]上的 最大值、最小值分别是( A. 1,-1 C. 3,-17

C



B. 1,-17 D. 9,-19

4. 函数f(x)的定义域为R,导函数f ?(x) 的图象如图,则函数f(x) ( C ) A. 无极大值点,有两个极小值点 B. 有三个极大值点,两个极小值点

C. 有两个极大值点,两个极小值点
D. 有四个极大值点,无极小值点
y

f ?(x)
o x

习题答案
练习(第31页)

1.
(1) f ( x) = 6x2 ? x ? 2
(2) f ( x) = x3 ? 27x

fmax = f (2) = 20
f min 1 49 = f( )=? 12 24

f max = f (?3) = 54

f min = f (3) = ?54

习题答案
(3) f ( x) = 6 ? 12 x ? x3

(4) f ( x) = 3x ? x3

fmax = f (2) = 22

fmax = f (2) = ?2
f min = f (3) = ?18

f min

1 55 = f (? ) = 3 27


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