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2013-2014学年高中数学(人教A版)选修4-5课时提升卷:第1讲 2 绝对值 三角不等式1 Word版含解析]

时间:2015-04-17


课时提升卷(四)
绝对值三角不等式 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知实数 a,b 满足 ab<0,则下列不等式成立的是 ( A.|a+b|>|a-b| C.|a-b|<||a|-|b|| B.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<|a|+|b| ) ) 100 分)

2.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与 2 的大小关系是 ( A.|a+b|+|a-b|>2 C.|a+b|+|a-b|=2 B.|a+b|+|a-b|<2 D.不能比较大小

3.(2013·合肥高二检测)若关于 x 的不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,1] C.(-∞,5] ) B.(-∞,1) D.(-∞,5)

4.不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 为 ( ) B.( -∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]

A.[-1,4] C.(-∞,-2]∪[5,+∞)

5.(2013· 青岛高二检测)若不等式 x2+|2x-6|≥a 对于一切实数 x 均成立,则实数 a 的最大值是 ( A. 7 B. 9 ) C. 5 D. 11

6.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为 ( A.5 B.4 C. 8 D.7

)

二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 7.已知 f(x)=3x+1,若当|x-1|<b 时,有|f(x)-4|<a,a,b∈(0,+∞),则 a,b 满足的 关系为 .

8.若 x<5,n∈N,则下列不等式: ① ③xlg <5 <5 ;②|x|lg ;④|x|lg <5lg <5 .(填序号) ; .

其中能够成立的有

9. 若关于 x 的不等式 |a| ≥ |x+1|+|x-2| 存在实数解 , 则实数 a 的取值范围 是 .

三、解答题(10~11 题各 14 分,12 题 18 分) 10.已知函数 f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数 f(x)-g(x)≥m+1 的解集为 R,求 m 的取值范围. 11.已知函数 f(x)=x2-x+13,|x-a|<1. 求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 12.(能力挑战题)两个加油站 A,B 位于某城市东 akm 和 bkm 处(a<b),一卡车从该 城市出发,由于某种原因,它需要往返 A,B 两加油站,问它行驶在什么情况下到两 加油站的路程之和是一样的?

答案解析
1.【解析】选 B.因为 ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|, 又|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a|+|b|=|a-b|.

2.【解析】选 B.当(a+b)(a-b)≥0 时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0 时, |a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2. 【变式备选】 已知 p,q,x∈R,pq≥0,x≠0,则 符号) 【解析】当 p,q 至少有一个为 0 时, 当 pq>0 时,p,q 同号,则 px 与 同号, =|px|+ 故 答案:≥ 3.【解析】选 C.因为|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5, 又关于 x 的不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为 ? , 所以 a≤5. 4.【解析】选 A.由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为 4,所以不等 式|x+3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. 5.【解析】选 C.令 f(x)=x2+|2x-6|, 当 x≥3 时,f(x)=x2+2x-6=(x+1)2-7≥9; 当 x<3 时,f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 综上可知,f(x)的最小值为 5,故原不等式恒成立只需 a≤5 即可,从而 a 的最大值 为 5. 6.【解析】选 A.由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)| ≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5, ≥2 ≥2 . . ≥2 . 2 .(填不等关系

即|x-2y+1|的最大值为 5. 7.【解析】因为|f(x)-4|=|3x-3|=3|x-1|<a, 所以|x-1|< ,又当|x-1|<b 时,有|f(x)-4|<a, 即|x-1|<b? |x-1|< ,所以 b≤ . 答案:a-3b≥0 8.【解析】因为 0< <1,所以 lg <0, <0,由 x<5 不能确定|x|与 5 的关系,所以可

以否定①②③,而|x|lg 所以④成立. 答案:④

9.【解析】因为 f (x)=|x+1|+|x-2|= 所以 f(x)≥3, 要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解, 故|a|≥3,即 a≤-3 或 a≥3. 答案:(-≦,-3]∪[3,+≦) 10.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求 f(x)-g(x)的最小值,求解时结 合绝对值三角不等式. 【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6, 因为 x∈R,由绝对值三角不等式得 f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥ |(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2, 于是有 m+1≤-2,得 m≤-3, 即 m 的取值范围是(-≦,-3].

11.【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)| =|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1| ≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1), 所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 【拓展提升】含绝对值不等式的证明 证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条: (1)恰当地运用|a|-|b|≤|a〒b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及 等号成立的条件. (2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式 ,再利用比较法、综合 法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论 法. 12.【解析】设卡车行驶在距城市 xkm 处,它到两加油站的路程之和为 ykm. 所以 y=|x-a|+|x-b|. 因为|x-a|+|x-b|=|x-a|+|b-x| ≥|(x-a)+(b-x)|=|b-a|=b-a. 当且仅当(x-a)(b-x)≥0 即 a≤x≤b 时取等号. 所以该卡车在两加油站之间时,它到两加油站的路程之和是一样的.

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