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求数列通项公式的十种方法[1]1

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递推式求数列通项公式常见类型及解法 Yunnandaguanyizhong 王有祥

对于由递推式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推式的变形转化成等差数 列或等比数列,也可以通过构 8 造把问题转化。下面分类说明。 一、 型

例 1. 在数列{an}中,已知

,求通项公式。

解:已知递推

式化为

,即



所以



将以上

个式子相加,得



所以 二、 型



例 2. 求数列

的通项公式。

解:当



第1页



当 三、 例 3. 在数列 解法 1:设 得 所以有 。 型 中,

,所以



,求 ,对比

。 ,得 。于是,

,以 3 为公比的等比数列。

解法 2:又已知递推式,得 上述两式相减,得 以 3 为公比的等比数列。 所以 四、 型 ,因此,数列 是以 为首项,

,所以



例 4. 设数列 解:设 ,则 ,

,求通项公式 ,



所以







第2页



这时,所以



由于{bn}是以 3 为首项,以 为公比的等比数列,所以有



由此得:



说明:通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本 数列(等差或等比数列)。 五、 型

例 5. 已知 b≠0,b≠±1, b 表示 an 的通项公式。

,写出用 n 和

解:将已知递推式两边乘以

,得 , 仿类型三, 可解得

,又设 ,

, 于是, 原递推式化为 故 。

说明:对于递推式

,可两边除以

,得

,引入辅助数列

,然后可归结为类型三。 六、 型

例 6. 已知数列

,求



第3页

解:在

两边减去



所以

为首项,以



所以 令上式 ,再把这 个等式累加,得

。所以 说明: 可以变形为 ,则可从

。 ,就是 ,解得 ,于是 是公比

为 的等比数列,这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而 考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。 转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差、等比数列,根据不同的递推公式,采用相 应的变形手段,达到转化的目的。

附:构建新数列巧解递推数列竞赛题
递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一,由于题目灵活多变,答题难度较大。本文利用构 建新数列的统一方法解答此类问题,基本思路是根据题设提供的信息,构建新的数列,建立新数列与原 数列对应项之间的关系, 然后通过研究新数列达到问题解决之目的。 其中, 怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项 求通项是递推数列竞赛题的常见题型,这类问题可通过构建新数列进行代换,使递推关系式简化, 这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列,使问题由难变易,所用 的即换元和化归的思想。

第4页

例 1、数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ?1 ?

1 16

?1 ? 4 a

n

? 1 ? 24 a n 。求 a n 。

?

(1981 年第 22 届 IMO 预选题) 分析
bn ?

本 题 的 难 点 是 已 知 递 推 关 系 式 中 的 1 ? 24 a n 较 难 处 理 , 可 构 建 新 数 列 ?b n ? , 令

1 ? 24 a n ,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形。 1 ? 24 a n ? 0
bn ? 1
2

解:构建新数列 ?b n ? ,使 b n ?
2



b1 ? 5 , b n ? 1 ? 24 a n ,即 a n ?
b n ?1 ? 1
2 2 b ?1 1 ? ?1 ? 4 ? n ? bn 16 ? 24 ?

24

? ?

24

?

? ? 化简得 ? ?

?2 b n ?1 ? 2

? ?b n ? 3 ?

2

2 b n ?1 ? b n ? 3 ,即 b n ?1 ? 3 ?
1 2

1 2

?b n

? 3?

数列 ?b n ? 3? 是以 2 为首项,
?1? bn ? 3 ? 2 ? ? ? ?2?
n ?1

为公比的等比数列。

?2

2?n

即 bn ? 2
n ?1

2?n

?3

?
2

an ?

bn ? 1
2

24

?

2

2 n ?1

? 3? 2 3? 2

?1

2 n ?1

证明不等式 这类题一般先通过构建新数列求出通项, 然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构 建新数列,然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。 例 2、设 a 0 ? 1 , a n ?
1 ? a n ?1 ? 1
2

a n ?1

?n ? N ? ,求证: a n

? 2

?
n?2



(1990 年匈牙利数学奥林匹克试题) 分析 利用待证的不等式中含有 ? 及递推关系式中含有 1 ? a n ?1 这两个信息, 考虑进行三角代换,
2

构建新数列 ?? n ? ,使 a n ? tg ? n ,化简递推关系式。
? ? ? 证明:易知 a n ? 0 ,构建新数列 ?? n ? ,使 a n ? tg ? n , ? n ? ? 0 , ? ? 2?

第5页

则 an ?

1 ? tg ? n ?1 ? 1
2

tg ? n ?1

?

1 ? cos ? n ?1 sin ? n ?1

? tg

? n ?1
2
2 ? 1 ? tg

?

tg ? n ? tg

? n ?1
2

,? n ?

? n ?1
2

又 a 0 ? 1 , a1 ?
1 2

?
8

,从而 ? 1 ?

?
8

因此,新数列 ?? n ? 是以

?
8

为首项,

为公比的等比数列。

?n

?1? ?? ? ?2?

n ?1

?

?
8

? 2

?
n?2

考虑到当 x ? ( 0 ,

?
2

) 时,有 tgx ? x 。所以, a n ? tg
2

?
2
n?2

? 2

?
n?2

注:对型如 3

1 ? an , 1 ? an ,

a n ?1 ? a n 1 ? a n a n ?1

都可采用三角代换。

证明是整数 这类题把递推数列与数论知识结合在一起,我们可以根据题目中的信息,构建新数列,找到新的递 推关系式直接解决,或者再进行转化,结合数论知识解决。 例 3、设数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 , a n ?1 ?
2 a ?2
2 n

1 2

an ?

1 an

(n ? N )

求证:

?N

?n ? N , n ? 1? 。
2 an ? 2
2

分析 直接令 b n ?

,转化为证明 b n ? N

( n ? N , n ? 1)

证明:构建新数列 ?b n ? ,令 b n ?

2 an ? 2
2

?0

则 an ?
2

4 b
2 n

? 2 , a n ?1 ?
2

4 b n ?1
2
2

?2

代入 a

2 n ?1

?1 1 ? ? ? ? an ? ?2 an ? ? ?
2 2

整理得 b n ?1 ? b n ?4 ? 2 b n
2 2

2

?

从而 b n ? b n ?1 ?4 ? 2 b n ?1 ?
2
2 2

( n ? 3)
2

于是 b n ?1 ? b n 4 ? 2 b n ?1 ?4 ? 2 b n ?1 ? ? 2 b n ?b n ?1 ? 1?
2 2

?

? ?

?

2

( n ? 3)

第6页

?

b n ?1 ? 2 b n ?b n ?1 ? 1?
2

( n ? 3) ( n ? 1) ,即

由已知, b 2 ? 4 , b 3 ? 24 ,由上式可知, b 4 ? N , b 5 ? N ,依次类推, b n ? N
2 a ?2
2 n

?N 。

例 4、设 r 为正整数,定义数列 ?a n ? 如下: a 1 ? 1 , a n ?1 ?
an ? N 。

na n ? 2 ( n ? 1) n?2

2r

(n ? N )

求证:

(1992 年中国台北数学奥林匹克试题) 分析 把条件变形为 ?n ? 2 ?a n ?1 ? na n ? 2 ?n ? 1? 比较 a n ?1 与 a n 前的系数及 a n ?1 与 a n 的足码,
2r

考虑到另一项为 2 ?n ? 1? ,等式两边同乘以 ?n ? 1? ,容易想到构新数列 ?b n ? ,使 b n ? n ?n ? 1?a n 。
2r

证明:由已知得 ?n ? 2 ?a n ?1 ? na n ? 2 ?n ? 1?

2r

? ?n ? 1??n ? 2 ?a n ?1

? n ?n ? 1?a n ? 2 ?n ? 1?
2 r ?1

2 r ?1

构建新数列 ?b n ? , b n ? n ?n ? 1?a n
? bk

则 b1 ? 2 , b n ?1 ? b n ? 2 ?n ? 1?
? 2 1? 2

? bn

? b1 ?

? ?b
k ?1

n ?1

k ?1

?

?

2 r ?1

?3
n ?1

2 r ?1

??? n

2 r ?1

?? b
2 r ?1

n

?N

?

bn ? 2 n

2 r ?1

?

? ?k
k ?1

2 r ?1

? (n ? k )

?
2 2 r ?1

? 2n

2 r ?1

?

? ?n
k ?1

n ?1

2 r ?1

? C 2 r ?1 n k ? C 2 r ?1 n
1 2r

k ? ? ? C 2 r ?1 n ? k
2 2r

2r

?

?

n bn

又 bn ?

?

n

k

2 r ?1

?

k ?1

? (n ? 1 ? k )
k ?1 1 2r

n

2 r ?1

?

? ?k
n k ?1 2

2 r ?1

? ?n ? 1 ? k ?

2 r ?1

?
2r 2r

?

? ??n ? 1?
n k ?1

2 r ?1

? C 2 r ? 1 ? n ? 1?

? k ? C 2 r ? 1 ? n ? 1?

2 r ?1

k ? ? ? C 2 r ?1 ?n ? 1?k
2

?

第7页

?

? n ? 1?

| bn 。

?
4

n ?n ? 1? | b n ,从而 a n ? N

解决整除问题 一般通过构建新数列求出通项,再结合数论知识解决,也可用数学归纳法直接证明。 例 5、设数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 , a 2 ? 3 ,对一切 n ? N ,有

a n ? 2 ? ?n ? 3 ?a n ?1 ? ?n ? 2 ?a n ,求所有被 11 整除的 a n 的一切 n 值。

(1990 年巴尔干地区数学奥林匹克试题) 分析 变形递推关系式为 a n ? 2 ? a n ?1 ? ?n ? 2 ??a n ?1 ? a n ? ,就容易想到怎样构建新数列了。 解:由已知 a n ? 2 ? a n ?1 ? ?n ? 2 ??a n ?1 ? a n ? 构建新数列 ?b n ??n ? 2 ?,
b n ?1 ? a n ?1 ? a n

? n ? 1? ?n ? 2 ? ?n ? 2 ?

则 b 2 ? 2 , b n ?1 ? ?n ? 1??a n ? a n ?1 ? ? ?n ? 1?b n

? ?

b n ? nb n ?1 ? n ?n ? 1?b n ? 2 ? ? ? n ?n ? 1?? 3b 2 ? n!
a n ? a1 ?

? ?a n
k ?2

n

? a n ?1 ? ? 1 ?

? bk ? ? k!
k ?2 k ?1 10

n

n

从而 a 4 ? 11 ? 3 , a 8 ? 11 ? 4203 , a 10 ? 11 ? 367083 ,当 n ? 11 时,由于 ? k ! 被 11 整除,因而
k ?1 10 n

an ?

? k! ?
k ?1

k ?11

? k ! 也被 11 整除。

5

所以,所求 n 值为 n ? 4 ,8,及 n ? 10 的一切自然数。 证明是完全平方数 这类题初看似乎难以入手,但如能通过构建新数列求出通项 a n ,问题也就迎刃而解了。 例 6、设数列 ?a n ? 和 ?b n ? 满足 a 0 ? 1 , b 0 ? 0 ,且
? a n ?1 ? 7 a n ? 6 b n ? 3 ? ? b n ?1 ? 8 a n ? 7 b n ? 4

① ②

?n ? 0,1, 2, ? ?

求证: a n 是完全平方数。

第8页

(2000 年全国高中联赛加试题) 分析 先用代入法消去 b n 和 b n ?1 ,得 a n ? 2 ? 14 a n ?1 ? a n ? 6 ? 0 ,如果等式中没有常数项 6,就可 以利用特征根方法求通项,因此可令 C n ? a n ? a ,易求得 a ? ? 证明:由①式得 b n , b n ?1 代入②得
a n ? 2 ? 14 a n ?1 ? a n ? 6 ? 0
1? 1? ? 1? ? ? 化为 ? a n ? 2 ? ? ? 14 ? a n ?1 ? ? ? ? a n ? ? ? 0 2? 2? ? 2? ? ?

1 2



构建新数列 ?c n ? , c n ? a n ?
c1 ? a 1 ? 1 2

1 2

,且 c 0 ?
1 2 ? 7 2

1 2



? ?7 a 0 ? 6 b 0 ? 3 ? ?

c n ? 2 ? 14 ?c n ?1 ? ? c n ? 0

由特征方程

? 2 ? 14 ? ? 1 ? 0 得两根

?1 ? 7 ? 4 3 , ? 2 ? 7 ? 4 3
所以
c n ? m1 ?1 ? m 2 ? 2
n n

1 ? m1 ? m 2 ? ? ? 2 当 n ? 0 ,1 时,有 ? ?m 7 ? 4 3 ? m 7 ? 4 3 ? 1 2 ? 1 2 ?

?

?

?

?

解得: m 1 ? m 2 ? 则 cn ?
? 1 4 1 4

1 4
n

?7 ? 4 3 ?
2n

? 1 4

1 4

?7 ? 4 3 ?
2n

n

?2 ? 3 ?
1 2
n

?

?2 ? 3 ?
n

则 an ? cn ? 因为 2 ?

?

1? 2? ? 4?
n

?

3

? ? ?2 ? 3 ? ? ? ?
n

2

?

3

? ? ?2 ? 3 ?

为正偶数,所以, a n 是完全平方数。

从上述各题构建新数列的过程中,可以看出对题设中递推式的观察、分析,并据其结构特点进行合

第9页

理变形,是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟 悉,这也是解答数学问题的共性之所在。

2012 年 6 月

第 10 页


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