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2012年高考试题分项解析数学(理科)专题05 三角函数(教师版)

时间:2012-07-13


ziye

2012 年高考试题分项解析数学(理科) 专题 05 三角函数(教师版)
一、选择题: 1. (2012 年高考浙江卷理科 4)把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像 是

2. (2012 年高考山东卷

理科 7)若 ? ? ? , ? , s in 2 ? = ?4 2? (A)
3 5

??

? ?

3 7 8

,则 sin ? =

(B)

4 5

(C)

7 4

(D)

3 4

【答案】D 【解析】由 ? ? ? , ? 可得 2 ? ? [ , ? ] , 2 ?4 2?
cos 2 ? ? ? 1 ? sin
2

??

? ?

?

2? ? ?

1 8



sin ? ?

1 ? cos 2 ? 2

?

3 4

,答案应选 D.

- 1 -

ziye

另解:由 ? ? ? , ? 及 s in 2 ? = ?4 2?
sin ? ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

??

? ?

3 7 8

可得

1?

3 7 8

?

16 ? 6 16

7

?

9? 6 16
3

7 ? 7

?

7 4

?

3 4



而当 ? ? ? , ? 时 sin ? ? cos ? ,结合选项即可得 sin ? ? , cos ? ? .答案应选 D. 4 4 ?4 2? 3.(2012 年高考辽宁卷理科 7)已知 sin ? ? cos ? ? (A) ? 1 (B) ?
2 2 2 2

??

? ?

7

2 , ? ? (0,π),则 tan ? =

(C)

(D) 1

4.(2012 年高考天津卷理科 2)设 ? ? R ,则“ ? = 0 ”是“ f ( x )= cos ( x + ? ) ( x ? R ) 为偶函 数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.(2012 年高考天津卷理科 6)在△ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知
8 b = 5 c , C = 2 B ,则 cosC=

- 2 -

ziye

(A)

7 25

(B) ?

7 25

(C) ?

7 25

(D)

24 25

6.(2012 年高考上海卷理科 16)在 ? ABC 中,若 sin 形状是( ) B.直角三角形

2

A ? sin

2

B ? sin

2

C ,则 ? ABC 的

A.锐角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理,得

C.钝角三角形

D.不能确定

a 2R

? sin A ,
2 2

b 2R

? sin B ,

c 2R

? sin C ,

代入得到 a 2 ? b 2 ? c 2 ,

由余弦定理的推理得 c o s C ? 故选择 A.

a ?b ?c 2ab

2

? 0, 所以 C 为钝角, 所以该三角形为钝角三角形.

【考点定位】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构 来选择定理,如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理,如果出现角度的余弦值就选 择余 弦定理.本题属于中档题. 7.(2012 年高考新课标全国卷理科 9)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? s in ( ? x ? 调递减。则 ? 的取值范围是(
( A) [
1 5 , ] 2 4

?
4

) 在(

?
2

, ? ) 上单


1 3 , ] 2 4

(B) [

(C )

(0,

1 2

]

( D ) (0, 2]

8. (2012 年高考江西卷理科 4)若 tan ? +

1 ta n ?

=4,则 sin2 ? =(



- 3 -

ziye

A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

9.(2012 年高考安徽卷理科 8)在平面直角坐标系中, O (0, 0), P (6, 8) ,将向量 O P 按逆时 针旋转
3? 4

??? ?

后,得向量 O Q ,则点 Q 的坐标是(
2? , 2 (B) ) (?7 2 , 2)

????


(D ) (?4 6 , 2)

( A) (? 7

(C ) ( ? 4 6 , ? 2 )

10. (2012 年高考湖南卷理科 6)函数 f(x)=sinx-cos(x+
3 2

?
6

)的值域为
3 2

A. [ -2 ,2] 【答案】 B

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

,

]

【 解 析 】 f ( x ) =sinx -cos(x+

?
6

) ? s in x ?

3 2

cos x ?

1 2

s in x ?

3 s in ( x ?

?
6

) ,

- 4 -

ziye

? s in ( x ?

?
6

) ? ? ? 1,1 ? ,? f ( x ) 值域为[-

3,

3 ].

【 考 点 定 位 】 利 用 三 角 恒 等 变 换 把 f ( x ) 化 成 A s i n?(x ? ?
s i n (x ? ? ?)? ? ? , 1 ?1,求得
f ( x ) 的值域.

的形式,利用 )

11. ( 2012 年高考湖南卷理科 7)在△ABC 中,AB= 2,AC=3, A B ?B C = 1 则 B C ? ___ . ( A. 3 )
]

??? ??? ? ?

[中

B. 7

C. 2 2

D. 2 3

12. (2012 年高考陕西卷理科 9) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c ,若
a ? b ? 2 c ,则 co s C 的最小值为(
2 2 2


1 2

(A)

3 2

(B)

2 2

(C)

(D) ?

1 2

- 5 -

ziye

14.(2012 年高考全国卷理科 7)已知α 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

3 3

,则 cos2α =

(A) -

5 3

(B) -

5 9

(C)

5 9

(D)

5 3

- 6 -

ziye

15. (2012 年 高 考 重 庆 卷 理 科 5) 设 tan ? , tan ? 是 方 程 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的 两个 根 , 则
tan(? ? ? ) 的值为

(A)-3 【答案】 A

(B)-1

(C)1

(D)3

【解析】 ta n ? ? ta n ? ? 3, ta n ? ta n ? ? 2 , ta n ( ? ? ? ) ? 二、填空题: 1. (2012 年高考江苏卷 11)设 ? 为锐角,若 c o s ? ?
? ? ?

ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ?

? ?3 .

?? 4 ?? 6 ? 5

,则 sin( 2 ? ?

?
12

) 的值为

▲ .

2.(2012 年高考北京卷理科 11)在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ?

1 4

,则 b=_______。

- 7 -

ziye

3. (2012 年高考福建卷理科 13)已知 ? ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大 角的余弦值为_________。 【答案】 ?
2 4

【解析】设 ? ABC 三边为 a ? m , b ? 则可得 ? C 所对的边最大, 且 cos C ?
a
2

2m, c ? 2m ,

? b ? c
2

2

?

2 .

2 ab

【考点定位】本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用. 4. (2012 年高考浙江卷理科 15)在 ? ABC 中, 是 BC 的中点, M AM=3, BC=10, AB 则 =______________.
?? ?? ? ? ? ? AC ?

5.(2012 年高考山东卷理科 16)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位 置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心 位于(2,1)时, 的坐标为______________。

- 8 -

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6. (2012 年高考湖北卷理科 11)设△ABC 的内 角 A, C, B, 所对的边分别是 a, c.若 b, (a+b-c) (a+b+c)=ab,则角 C=______________.

21 世纪教育网

- 9 -

ziye

7. (2012 年高考湖南卷理科 15)函数 f x) ( =sin ( ? x ? ? ) 的导函数 y ? f ? ( x ) 的部分图像如图 4 所示,其中,P 为 图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为 图像的最低点. (1) ? ? 若
?
6

, P 的坐标为 点 (0,

3 3 2

) 则? ? ,

;

(2)若在曲线段 ? B C 与 x 轴所围成的区域内随机取一 A 点,则该点在△ABC 内的概率为
21 世纪教育网

.

8.(2012 年高考上海卷理科 3)函数 f ( x ) ?

2     cos x sin x    1 ?

的值域是

.

- 10 -

ziye

9.(2012 年高考全国卷理科 14)当函数 y ? sin x ?
x?

3 cos x (0 ? x ? 2 ? ) 取得最大值时,

.
5?
[来源:21 世纪教育网]

【答案】 x ?

6

【 解 析 】 函 数 为 y ? sin x ?
?

3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

)

, 当 0 ? x ? 2?
5? 6

时 ,

?
3

? x ?
5? 6

?
3

?

5? 3

,由三角函数图象可知,当 x ?

?
3

?

?
2

,即 x ?

时取得最大值,所

以x ?

.

【考点定位】本试题 主要考查了三角函数性质的运用,求解值域 的问题.首先化为单一三角 函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点. 10.(2012 年 高 考 重 庆 卷 理 科 13) 设 ? A B C 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且
cos A ? 3 5 , cos B ? 5 13 , b ? 3, 则 c ?

三、解答题: 1. (2012 年高考广东卷理科 16)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 c o s ( ? x ? (1)求 ? 的值; (2)设 ? , ? ? [0 ,
?
2 ] , f (5 ? ? 5? 3 )? ? 6 5 , f (5 ? ? 5? 6 )? 16 17

?
6

)( ? ? 0 , x ? R ) 的最小正周期为 1 0 ?

;求 cos(? ? ? ) 的值

- 11 -

ziye

2. (2012 年高考江苏卷 15)(本小题满分 14 分) 在 ? ABC 中,已知 A B ? A C ? 3 B A ? B C . (1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 c o s C
? 5 5 ,求

??? ?

????

??? ??? ? ?

A 的值.

- 12 -

ziye

3.(2012 年高考北京卷理科 15)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
(sin x ? cos x ) sin 2 x sin x



(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区 间。

- 13 -

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4. (2012 年高考湖北卷理科 17)(本小题满分 12 分) 已知向量
a ? ( c o? x ? s s ?n i x , ? i n, b) ? ( ? cos ? x ? sin ? x , 2 3 cos ? x ) sx
? π

,设函数
1 2 , 1)

f (x) ? a ? b ? ? (x ? R )

的图象关于直线 x

对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? (

.

(1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 若 y=f(x)的图像经过点 (
?
4 , 0 ) ,求函数 f(x)在区间 [ 0 , 3? 5 ] 上的取值范围.

5. (2012 年高考福建卷理科 17)(本小题满分 13 分)

21 世纪教育网

某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等 于同一个常数。 (1) sin 2 13 0 ? cos 2 17 0 ? sin 13 0 cos 17 0 ;

- 14 -

ziye

(2) sin 2 15 0 ? cos 2 15 0 ? sin 15 0 cos 15 0 ; (3) sin 2 18 0 ? cos 2 12 0 ? sin 18 0 cos 12 0 ; (4) sin 2 ( ? 13 0 ) ? cos 2 48 0 ? sin( ? 18 ) 0 cos 48 0 ; (5) sin 2 ( ? 25 0 ) ? cos 2 55 0 ? sin( ? 25 ) 0 cos 55 0 。 (I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

6.(2012 年高考浙江卷理科 18) (本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b, c.已知 cosA= ,sinB=
3 2

5

cosC.

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a=
2

,求 ? ABC 的面积.

- 15 -

ziye

7.(2012 年高考山东卷理科 17)(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (s in x ,1) , n ? ( 3 A c o s x , A c o s 2 x ) ( A ? 0 ) , 函数 f ( x ) ? m ? n 的最大
2

值 为 6. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x ) 的图像向左平移 ? 个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩
??

短为原来的 1 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x ) 的图像,求 g ( x ) 在 [0, 5? ]
2 24

上的值域.

8.(2012 年高考辽宁卷理科 17) (本小题满分 12 分)

[来源:21 世纪教育网]

在 ? A B C 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列.
- 16 -

ziye

(Ⅰ)求 co s B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

9.(2012 年高考新课标全国卷理科 17)(本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别为 ? A B C 三个内角 A , B , C 的对边, a cos C ? (1)求 A (2)若 a ? 2 , ? A B C 的面积为 3 ;求 b , c 。
3 a sin C ? b ? c ? 0

10.(2012

年 高 考 天 津 卷 理 科
?
3 )+ s in ( 2 x ?

15) ( 本 小 题 满 分 13
2

分 ) 已 知 函 数

f ( x )= s in ( 2 x +

?
3

)+ 2 c o s x ? 1 , x ? R .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

- 17 -

ziye

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

?
4

,

?
4

] 上的最大值和最小值.

11. (2012 年高考江西卷理科 17)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已知 A ? (1)求证: B ? C ? (2)若 a ?
?
2

?
4

, b s in (

?
4

? C ) ? c s in (

?
4

? B) ? a

2 ,求△ ABC 的面积。

- 18 -

ziye

12.(2012 年高考安徽卷理科 16) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?
2 2 cos(2 x ?

?
4

) ? s in x
2

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
gx (II) 设函数 g ( x ) 对任意 x ? R , g ( ? ) ? ( ) 有 x 2

?

, 且当 x ? [ 0 ,

?
2

] 时, g ( x ) ?

1 2

? f (x) ,

求函数 g ( x ) 在 [ ? ? , 0] 上的解析式.

13. (2012 年高考四川卷理科 18) (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) ? 6 c o s
2

?x
2

?

3 c o? x ? s

?( ? 3

0) 在一个周期内

的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与 x 轴的交点, 且 ? A B C 为正三角形。 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域;

- 19 -

ziye

(Ⅱ)若 f ( x 0 ) ?

8 3 5

,且 x 0 ? ( ?

10 2 , ) ,求 f ( x 0 ? 1) 的值。 3 3

14. (2012 年高考陕西卷理科 16)(本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? 轴之间的距离为
?
2

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称



(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

- 20 -

ziye

(Ⅱ)设 ? ? ( 0 ,

?
2

) ,则 f (

?
2

) ? 2 ,求 ? 的值。

15.(2012 年高考全国卷理科 17)(本小题满分 10 分)(注意:在试卷上作答无效) ...........
? A B C 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1, a ? 2 c ,

求C .

16. (2012 年高考重庆卷理科 18)(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 f ? x ? ? 4 c o s (? x ?
?
6
- 21 -

) s in ? x ? c o s ( 2 ? x ? ? ) ,其中 ? ? 0 .

ziye

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?
? ? 3? 2

,

? ?
2? ?

上为增函数,求 ? 的最大值。

- 22 -


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