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全国高中数学联赛 竞赛大纲


全国高中数学联赛
—试

竞赛大纲

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所 规定的教学要求和内容, 即高考所规定的知识范围和方法, 在方法的要求上略有提高, 其中概率和微积分初步不考。 二试 1.平面几何 基本要求:掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 几个重要定理:梅涅

劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶 点距离的平 方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理: 在周长一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的面积最大。 在周长一定的筒单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 几何中的运动:反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法*。 平面凸集、凸包及应用。 2.代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求 n 次迭代*,简单的函数方程*。 n 个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。 圆排列,有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。 一元 n 次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题,除初中大纲中斯包括的内容外,还应包括无穷递降法,同 余,欧几里 得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数[x],费马小定理,欧拉函数*,孙子定 理*,格点及其质。 3.立体几何

多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。 体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。 4.平面解析几何 直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 因的幂和根轴。 5.其 抽屉原理。 容斥原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。 注:全国高中数学联赛的二试命题的基本原则是向国际数学奥林匹克 *拢,总的 精神是比高中数学大纲的要求略有提高,在知识方面略有扩展,适当增加一些课堂上 没有的内容作为课外活动或奥校的讲授内容。 对教师和教练员的要求是逐步地掌握以上所列内容,并根据学生的具体情况适当 地讲授。 有*号的内容二试中暂不考,但在冬令营中可能考。


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