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北京市六十六中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题


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北京市第六十六中学 2014-2015 学年高一上学期期中考试数学试题
2014.11
试卷说明: 1.本试卷共 三 道大题,共 3 页。

2.卷面满分 100 分,考试时间 90 分钟。 3.试题答案一律在答题纸上作答,在试卷上作答无效。 —、选择题(每小题 4 分,共

32 分) 1.设集合 A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2,3? , C ? ?2,3, 4? ,则 ? A A. ?1, 2,3? C. ?2,3, 4?
x

B? C ? (



B. ?1, 2, 4? D. ?1, 2,3, 4? )

2.在同一坐标系中,函数 y ? 2 与 y ? log 2 x 的图象之间的关系是( A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 3.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? x, y ?
3

B.关于直线 y = x 对称 D.关于 x 轴对称 ) B. y ? lg x , y ? 2 lg x
2
2

x3

C. y ? x , y ?

? x?

D. y ? 1, y ? x

0

4.设(x,y)在映射 f 下的象是(2x+y,x-2y),则在 f 下,象(2,1)的原象是( 1 3 A.( , ) 2 2 C.(1,2) B.(1,0) D.(3,2) )

)

5.设 a=60.5,b=0.56,c=log60.5,则 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c C.c>b>a B.b>a>c D.a>c>b

6.函数 g(x)=2x+5x 的零点所在的一个区间是( A.(0,1) C.(-1,0)

) B.(1,2) D.(-2,-1)

7.已知函数 f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中 a>0,a≠1),在同一直角坐标系中画出 其中

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两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是(

)

? ?a,a-b≤1 8.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? ,设函数 f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈ ?b,a-b>1 ?

R 若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-2,-1]∪(1,2] B.(-∞,-2)∪(1,2] D.[-2,-1] )

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.幂函数 f(x)=xα 的图象过点(2, 10. 2 lg 2 ? lg 25 的值等于 11. 已知函数 f ( x) ? ?
2

2 ),则 f(4)=________. 2 . ,若 f ( x0 ) ? 8 ,则 x ?

? 2 x, x ? 2
2 ? x ? 2, x ? 2

.

12. 函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??, 4] 上递减,则实数 a 的取值范围是 ____

__.
13.设 f (x)是定义在 R 上的偶函数,若 f ( x) 在 [0, ??) 是增函数,且 f (2) ? 0 ,则不等式

f ( x ? 1) ? 0 的解集为____________________.
14.对于定义域在 R 上的函数 f(x),若实数 x0 满足 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 f(x)的一个不动 点.若数 f(x)=x2+ax+1 没有不动点,则实数 a 的取值范围是__________.

三、计算题(本题共 4 小题,共 44 分) 15.(本小题满分 10 分) 设全集为 R , 集合 A ? ? x | x ? 3 或 x ? 6 ? , B ? ? x |? 2 ? x ? 9? . (1)求 A

B , (C u A ) ? B ;

(2)已知 C ? ? x |a ? x ? a ? 1? ,若 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

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16. (本小题满分 10 分) 已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1. (1)求证:f(8)=3 (2)求不等式 f(x)-f(x-2)>3 的解集.

17. (本小题满分 10 分) 已知关于 x 的不等式 ? x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? {x | ?1 ? x ? 3, x ? R}. (1)求 a、b 的值; (2)设函数 f ( x) ? lg( ? x ? ax ? b) , 求最小的整数 m,使得对于任意的 x ? A ,都有
2

f ( x) ? m 成立.

18. (本小题满分 14 分) 已 知 指 数 函 数 y ? g ? x ? 满 足 : g ? 3? ? 8 , 定 义 域 为 R 的 函 数

f ? x? ?

n ? g ? x? m ? 2g ? x ?

是奇函数. (1)确定 y ? g ? x ? 的解析式; (2)求 m、n 的值; (3)判断 f(x) 的单调性,并证明.

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2014.11
—、选择题(每小题 4 分,共 32 分)

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)

三、解答题 15. 解: (1) A

B= R

??????2 分

16. 证明(1) 由题意得 f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2) =f(2)+f(2)+f(2)=3f(2) 又∵f(2)=1 ∴f(8)=3 ??????4 分

解(2) 不等式化为 f(x)>f(x-2)+3 ∵f(8)=3 ∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16) ??????6 分

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数

?8( x ? 2) ? 0 ∴? ? x ? 8( x ? 2)
16 解得 2 < x < 7

??????8 分

??????10 分

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17. 解: (1)由题意,得 ?

??1 ? a ? b ? 0 , ??9 ? 3a ? b ? 0

??????3 分

解得 ?

?a ? 2 . ?b ? 3
2 2

?????5 分

(2)解:由(Ⅰ) ,得 f ( x) ? lg( ? x ? 2 x ? 3) ? lg[?( x ? 1) ? 4] ? lg 4 . 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取到最大值 lg 4 . 因为对于任意的 x ? A ,都有 f ( x) ? m 成立, 所以 m ? lg 4 . 故使得对于任意的 x ? A ,都有 f ( x) ? m 成立的最小整数 m ? 1 . 18. 解: (1) g ? x ? ? 2
x

?7 分

?????8 分

?10 分 ?????3 分

(2)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, -1+n ∴f(0)=0,∴ =0,∴n=1. 2+m -2 x+1 2x-1 由 f(-x)=-f(x),得 -x+1 = + , 2 +m 2x 1+m


????5 分

-1+2x 2x-1 + ∴ = 2x=m+2x 1, + ,∴2+m· 2+m· 2x m+2x 1 即 m=2. (3)函数 f(x)在 R 上是减函数. -2x+1 -?2x+1?+2 证明:由(1)知 f(x)= x+1 = 2 +2 2?2x+1? 1 1 =- + x . 2 2 +1 设任意 x1∈R,x2∈R,且 x1<x2, 则 Δx=x2-x1>0, ?????10 分 ????8 分 ?????9 分

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