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山东省济宁市汶上一中2012-2013学年高二下学期期中考试(数学理)


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汶上一中 2012-2013 学年高二下学期期中检测 数学(理) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符

合题目要求的) 1.设复数 z ? 1 ? A. 2i
<

br />2 2 (其中为虚数单位),则 z ? 3z 的虚部为( i
B. 0 C. ?10 D. 2

)

2.已知 R 为全集, A ? {x | log1 (3 ? x) ? ?2} , B ? {x |
2

5 ? 1} ,则 (?R A) ? B 是 x?2

A. C.

? x ?2 ? x ? ?1或x ? 3? ? x ?1 ? x ? 3或x ? ?2?
B.0.21

B. D.

? x ?2 ? x ? ?1或x ? 3? ? x ?1 ? x ? 3或x ? ?2?
) D.12.1 )
k n?k

3.设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,函数的平均变化率是( A.2.1 C.1.21

4.在某一试验中事件 A 出现的概率为 p ,则在 n 次试验中 A 出现 k 次的概率为( A . 1- p
k

B. ?1 ? p ? p n?k
k

C. 1- ?1 ? p?

k

D. Cn ?1 ? p? p
k

1 2 2 5.已知方程 ( x ? 2x ? m)( x ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 m ? n 等于( 4 A.1 3 B. 4 1 C. 2 3 D. 8

)

6.函数 f(x)=sinx+x 在 ?0, 2? ? 上的最大值为( ) A.0 B.2 C. ? D. 2? A P B

7.如图, AB 是平面 ? 的斜线段, A 为斜足。若点 P 在平面 ? 内运动, 使得 ?ABP 的面积为定值,则动点 P 的轨迹是( A.圆 C、一条直线 B.椭圆 D.两条平行直线 )

8.函数 f(x)的定义域为 R, f (?1) ? 2 ,对任意 x∈ R , f '( x) ? 2 ,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A.(一 1,1) C.(一∞,一 1) B.(一 1, ?? ) D.(一∞,+∞)

9.在 R 上可导的函数 f ( x ) 的图形如图所示,

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则关于 x 的不等式 x ? f ?( x) ? 0 的解集为( A. (??, ?1) ? (0,1) C. (?2, ?1) ? (1, 2) 10.已知点 P 在曲线 y ? A. [0, B. (?1,0) ? (1, ??)

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D. (??, ?2) ? (2, ??)

?
4

)

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围为( e ?1 ? ? ? 3? 3? ] ,? ) B. [ , ) C. ( , D. [ 4 2 2 4 4
x



11.给出以下四个说法: ①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每间隔 20 分钟抽取一件产品进行某项指标的检测 ,这样的抽 样是分层抽样; ②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数 R 的值越大,说明拟合的效果越好;
2

? ? ③在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增加 0.2 个单位;
④对分类变量 X 与 Y , 若它们的随机变量 K 的观测值 k 越小, 则判断 X 与 Y 有关系” “ 的把握程度越大. 其中正确的说法是( A.①④ ) B.②④ C.①③ D.②③
2

12.将一颗骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m , n ,则函数 y ? 的概率是( A. ) B.

2 3 mx ? nx ? 1 在 ?1 , ? ?? 上为增函数 3
2 3

1 2
4

5 6

C.

3 4

D.

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分.) 13. ( x ? 2) 展开式中含 x 项的系数等于 .

14. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) , P(? ? 4) ? 0.4 ,则 P(? ≤ 0) ? 15. 将7个不同的小球全部放入编号为2 和3 的两个小盒子里, 使得每个盒子里 的球的个数不小于盒子的编号, 则不同的放球方法共有____________ 种(用 数字作答) . 16.如图, A1 , A2 ,?, Am?1 ? m ? 2? 为区间 ?0,1? 上的 m 等分点,直线 x ? 0 ,

x ? 1 , y ? 0 和曲线 y ? ex 所围成的区域为 ?1 ,图中 m 个矩形构成的阴影区
域为 ? 2 ,在 ?1 中任取一点,则该点取自 ? 2 的概率等于 ________ .

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步
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骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知矩阵 M ? ?

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? 4 ?3 ? ? ? 2 ?1 ?
?1

(1)求逆矩阵 M



(2) 求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.

18.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an ?

Sn ? 2(n ? 1)(n ? N* ) . n

(1)求证:数列 ?an ? 为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; (2)设数列 ?

?

1 1 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? . 5 4 ? an ? an?1 ?

19. (本小题满分 12 分) 口袋中有大小、质地均相同的 7 个球,3 个红球,4 个黑球,现在从中任取 3 个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数设为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

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20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 ,直线 2 a b 3

交椭圆于不同的两点 A, B 。 l : y ? kx? m (1)求椭圆的方程; (2)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值。 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax, g ( x) ? ln x ,其中 a ? R 。 (1)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值 1 ,求 a 的值; (2)若函数 G( x) ? f [sin(1 ? x)] ? g ( x) 在区间 (0,1) 上为增函数,求 a 的取值范围;

22. (本小题满分 12 分)
m 0 m 规定 Ax ? x( x ? 1)?( x ? m ? 1) ,其中 x ? R , m 为正整数,且 Ax ? 1 ,这是排列数 An ( n, m 是正整数,且

m ? n )的一种推广.
3 (1)求 A?15 的值;

m m m m m (2)排列数的两个性质:① An ? nAn??1 ,② An ? mAn ?1 ? An?1 (其中 m, n 是正整数).是否都能推广到 1

Axm ( x ? R ,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;

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3 (3)确定函数 Ax 的单调区间.

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参考答案: 1-5 DBADC 6-10 DBBAD 11-12 DB 13. 32; 14. 0.4 ; 15. 91 ; 16.

1 m(e m ? 1)
1

17.解: (1) M ? 4 ? (?1) ? 2 ? (?3) ? ?4 ? 6 ? 2 ks5u

? ? ?1 M ?? ? ? ?

d M ?c M

?b ? ? ?1 M ? ? 2 ??? a ? ? ?2 ? ? M ? ? 2

3? ? 1 2? ? ?? ? 2 4? ? ? ? ?1 2?

3? 2? ? 2?

(2)矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ? 令 f (? ) ? 0 ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? 2 , 当 ?1 ? 1 时,得 ?? ? ? ? ,当

? ?4
2

3 ? ? 2 ? 3? ? 2 , ? ?1

?? ?1? ? ? 1?

?2 ? 2 时,得 ? ? ? ? ? . ? 2?

?? ?

?3?

Sn 18. (1)证明:由 an= +2(n-1),得 Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*). n 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即 an-an-1=4,
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∴数列{an}是以 a1=1 为首项,4 为公差的等差数列。 ? a1+an? n 于是,an=4n-3,Sn= =2n2-n(n∈N*). 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)证明:Tn= + + +?+ = + + +?+ a1a2 a2a3 a3a4 anan+1 1×5 5×9 9×13 ? 4n-3? ×? 1 1 1 1 1 1 1 1 = [(1- )+( - )+( - )+?+( - )] 4 5 5 9 9 13 4n-3 4n+1 1 1 n n 1 = (1- )= < = 4 4n+1 4n+1 4n 4 1 1 1 又易知 Tn 单调递增,故 Tn≥T1= ,于是, ≤Tn< 5 5 4 19.解: (1)设“取出的球颜色相同”为事件 A 4n+1?

P( A) ?

3 3 C3 C4 5 1 ? 3? ? 3 C7 C7 35 7

所以取出的球颜色相同的概率为 (2) ? 的可能取值为 0,1,2,3
0 3 C3 C4 4 P(? ? 0) ? ? 3 C7 35 1 C32C4 12 ? 3 C7 35

1 7

1 2 C3C4 18 P(? ? 1) ? 3 ? C7 35 3 0 C3 C4 1 ? 3 C7 35

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

? 的分布列为

?

0

1

2

3

P 4

35

18 35

12 35

1 35

? E? ? 0 ?
20. (1)由

4 18 12 1 45 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 35 35 35 35 35 7

x2 c 6 ? , a ? 3,? c ? 2, b ? 1 ,椭圆的方程为: ? y 2 ? 1 3 a 3

(2)由已知

m 1? k 2

?

x2 3 3 ,? m2 ? (1 ? k 2 ) ,联立 l : y ? kx ? m 和 ? y 2 ? 1,消去 y ,整理可得: 3 2 4

(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,?? ? (6km)2 ? 4(1 ? 3k 2 )(3m2 ? 3) ? 0
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设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

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?6km 3m2 ? 3 , x1 x2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

12(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) 12k 2 ? AB ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? ? ? 3? 4 (1 ? 3k 2 )2 (1 ? 3k 2 )2 9k ? 6k 2 ? 1
2 2 2

? 3?

3 12 时取等号 ? 4(k ? 0) ,当且仅当 k ? ? 1 3 3 9k ? 2 ? 6 k
2

显然 k ? 0 时, AB ? 3 ? 4 。? ( S?AOB )max ?

1 3 3 ? 2? ? 2 2 2
1 ax ? 1 ? x x

21. (1)? F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? ln x( x ? 0) ,? F '( x) ? a ? ①当 a ? 0 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 单调递减,且无极值 ②当 a ? 0 时,令 F '( x) ? 0 ,得 x ?

1 ,当 x 变化时, F '( x) 与 F ( x) 的变化情况如下: a 1 a
0

x
F '( x) F ( x) ? F ( x) 在 x ?

1 (0, ) a

1 ( , ??) a

?


?


极小值

1 1 1 时有极小值, F ( ) ? 1 ? ln ? 1,? a ? 1 a a a 1 ? 0 在 x ? (0,1) 时恒成立 x

(2) G( x) ? a sin(1 ? x) ? ln x( x ? 0) ,? G '( x) ? ? a cos(1 ? x) ? ①当 a ? 0 时, G '( x) ? 0 恒成立 ②当 a ? 0 时,等价于

1 ? x cos(1? x ) 在 x ? (0,1) 时恒成立,令 h( x) ? x cos(1? x ) ,则 h( x) 在 a 1 x ? (0,1] 时为增函数,? h( x)max ? h(1) ? 1 ,? ? 1 即 a ? 1 a
综上所述, a ? 1

(3)由(2)知,当 a ? 1 时, G ( x) 在 x ? (0,1) 时为增函数

? 当 x ? (0,1) 时, G( x) ? a sin(1 ? x) ? ln x ? G(1) ? 0
? sin(1 ? x) ? ln 1 1 1 ? (0,1) ,令 t ? 1 ? x ? (0,1) , sin t ? ln ,又 x 1? t (k ? 1)2

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? sin

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1 1 (k ? 1) 2 ? ln ? ln 1 (k ? 1) 2 k (k ? 2) 1? 2 (k ? 1)

? ? sin
k ?1
n

n

1 22 32 42 (n ? 1)2 2(n ? 1) 2 ? ln ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln ? ln(2 ? ) ? ln 2 2 (k ? 1) 1? 3 2? 4 3? 5 n(n ? 2) n?2 n?2
1 ? ln 2



? sin (k ? 1)
k ?1

2

3 22. 解: (1) A?15 ? (?15) ? (?16) ? (?17) ? ?4080 ;

(2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是
m m m m m ① Ax ? xAx ??1 , ② Ax ? mAx ?1 ? Ax?1 ( x ? R,m ? N? ) . 1

证明:在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 ? x , x
0 右边 ? xAx ?1 ? x ,等式成立;

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 1)
( 右边 ? x( x ? 1)( x ? 1 ? 1)( x ? 1 ? 2) ?[ x ?1 ? ( m ?1) ?1] ? x( x ?1)( x ? 2) ? x ? m ?1)

左边=右边 即当 m ≥ 2 时,等式成立
m m 因此① Ax ? xAx ??1 成立 1

0 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 ? Ax ? x ? 1 ? A1?1 ? 右边,等式成立;ks5u x x

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 2)
? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m]
m ? ( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2)?[( x ? 1) ? m ? 1] ? Ax ?1 ? 右边,

m m m 因此② Ax ? mAx ?1 ? Ax?1 ( x ? R,m ? N? ) 成立.

(3) Ax ? x( x ?1)( x ? 2) ? x ? 3x ? 2x
3 3 2
3 先求导数,得 ( Ax )? ? 3x2 ? 6 x ? 2 .

令 3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0 ,解得 x ?

3? 3 3? 3 或x? . 3 3

? 3? 3 ? 因此,当 x ? ? ?∞, ? 时,函数为增函数, ? 3 ? ? ?
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?3? 3 ? 当 x ?? ? ? ? 3 , ∞? 时,函数也为增函数, ? ?

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令 3x2 ? 6 x ? 2 ≤ 0 ,解得

3? 3 3? 3 ≤ x≤ , 3 3

?3 ? 3 3 ? 3 ? 因此,当 x ? ? , ? 时,函数为减函数, 3 ? ? 3 ? ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? ?3? 3 3 ? ? ∴函数 Ax 的增区间为 ? ?∞, ?,? ? ? ? 3 , ∞? ;减区间为 ? 3 , 3 ? . 3 ? ? ? ? ? ?

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