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2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题四 立体几何 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系课件 文


第 一 部 分

知识专题部分

专 题 四

立体几何

第二讲

点、直线、平面之间的位置关系(选择、填 空、解答题型)

———————————名师指南—————————— [核心考点] 空间线面位置关系的判断、平行与垂直关系的证明. [高考解密]

1.以选择、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性 质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判 断,属基础题.

2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平 行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱柱、棱锥、棱台或其简 单组合体为载体进行考查,难度中等.

重点透析 难点突破

考向一 空间线面位置关系的判断 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐 项判断来解决问题; (2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等 模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.

判断线面关系时,一定不要忘记线在面内的情形.

(1)(2015· 湖北卷)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2 是异面直线;q:l1,l2不相交,则( )

A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

(2)(2015· 广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2 在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是 ( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 [思路引导] 由异面直线的定义或举反例进行判断.

[解析]

(1)两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一

定不相交;而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故 两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件,故选A. (2)假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面α内,于是l∥ l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一 条相交.

[答案]

(1)A (2)D

解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平 面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、 平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方 体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中 的结论不能完全移植到立体几何中.

[举一反三] 1.(2015· 吉林长春第一次调研)已知三条不重合的直线 l,m, n 和两个不重合的平面 α,β,下列命题中正确的是( A.若 m∥n,n?α,则 m∥α B.若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥α C.若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 l⊥α,m⊥β 且 l⊥m,则 α⊥β )

[解析]

A 选项,直线 m 可能在平面 α 内;B 选项,如果直

线 n 不在平面 β 内,不能得到 n⊥α;C 选项,直线 l 与 m 可能平 行,可能异面,还可能相交,故选 D.

[答案] D

2.(2015· 厦门模拟)如图,O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的底 面 ABCD 的中心,则下列直线中与 B1O 垂直的是( A.A1D C.A1D1 B.AA1 D.A1C1 )

[解析] 易知 AC⊥平面 BB1D1D. ∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面 BB1D1D. 又 B1O?平面 BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选 D.
[答案] D

3.(2015· 四川绵阳二诊)已知 l,m,n 是三条不同的直线,α, β 是不同的平面,则 α⊥β 的一个充分条件是( A.l?α,m?β,且 l⊥m B.l?α,m?β,n?β,且 l⊥m,l⊥n C.m?α,n?β,m∥n,且 l⊥m D.l?α,l∥m,且 m⊥β )

[解析] 对 A,l?α,m?β,且 l⊥m,如下图,α,β 不垂直; 对 B,l?α,m?β,n?β,且 l⊥m,l⊥n,如下图,α,β 不 垂直;

对 C,m?α,n?β,m∥n,且 l⊥m,直线 l 没有确定,则 α, β 的关系也不能确定;对 D,l?α,l∥m,且 m⊥β,则必有 l⊥β, 根据面面垂直的判定定理知 α⊥β,故选 D.

[答案] D

考向二 线线、线面平行与垂直的证明 1.线面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α. 2.线面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. 3.线面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l ⊥n?l⊥α. 4.线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α?a∥b.

如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=BB1,D 为 AC 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)若 AC1⊥平面 A1BD,求证:B1C1⊥平面 ABB1A1.

[思路引导]

(1)证明B1C与平面A1BD内的一条直线平行;(2)

通过线面垂直证明线线垂直,再由线线垂直证明线面垂直.

[证明]

(1)如图所示,连接AB1交A1B于E,连接ED.

∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,且AB=BB1, ∴侧面ABB1A1是正方形, ∴E是AB1的中点,又已知D为AC的中点, ∴在△AB1C中,ED是中位线, ∴B1C∥ED,又B1C?平面A1BD,ED?平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD.

(2)∵AC1⊥平面 A1BD. ∴AC1⊥A1B. ∵侧面 ABB1A1 是正方形,∴A1B⊥AB1. 又 AC1∩AB1=A, ∴A1B⊥平面 AB1C1,∴A1B⊥B1C1. 又∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴BB1⊥B1C1,又 BB1∩A1B=B, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1.

[探究追问] A1C1D 的体积.

在例 2(2)的条件下,设 AB=1,求三棱锥 B-

[解] ∵AB=BC,D 为 AC 的中点, ∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 DC1A1. ∴BD 是三棱锥 B-A1C1D 的高. 由(2)知 B1C1⊥平面 ABB1A1, ∵B1C1∥BC,∴BC⊥平面 ABB1A1. ∵AB?平面 ABB1A1, ∴BC⊥AB,∴△ABC 是等腰直角三角形,

2 又∵AB=BC=1,∴BD= 2 , ∴AC=A1C1= 2. 1 1 2 1 ∴三棱锥 B-A1C1D 的体积 V=3· BD· S△A1C1D=3× 2 ×2 2 1 A1C1· AA1= 12 × 2×1=6.

立体几何中,要证线垂直于线,常常先证线垂直于面,再 用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先 证线平行于线,再用线平行于面的判定定理易得.

[举一反三] (2014· 山东卷)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AP⊥平面 PCD, 1 AD∥BC,AB=BC=2AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:BE⊥平面 PAC.

[证明] (1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC. 由于 E 为 AD 的中点,AB=BC= 1 2AD,AD∥BC, 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 因此四边形 ABCE 为菱形,

所以 O 为 AC 的中点. 又 F 为 PC 的中点, 因此在△PAC 中,可得 AP∥OF. 又 OF?平面 BEF,AP?平面 BEF. 所以 AP∥平面 BEF.

(2)由题意知 ED∥BC,ED=BC. 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD, 所以 AP⊥CD,因此 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC.

考向三 面面平行与垂直的证明 1.面面平行的判定定理:a?β,b?β,a∩b=A,a∥α,b ∥α?α∥β. 2.面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b. 3.面面垂直的判定定理:a⊥α,a?β?α⊥β. 4.面面垂直的性质定理: α⊥β,α∩β=c,a?α,a⊥c?a ⊥β.

如图,在几何体 ABCDE 中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥ 平面 ABD,M 为线段 BD 的中点,MC∥AE,且 AE=MC= 2.

(1)求证:平面 BCD⊥平面 CDE; (2)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC. [思路引导] (1)先证明 AM⊥平面 BCD,再证 EC∥AM,由

EC⊥平面 BCD 证得平面 BCD⊥平面 CDE; (2)由 MN∥BC 及 AM ∥EC 即证.

[证明] (1)∵AB=AD=2,AB⊥AD,M 为线段 BD 的中点, 1 ∴AM=2BD= 2,AM⊥BD. ∵AE⊥平面 ABD,MC∥AE, ∴MC⊥平面 ABD, ∵AM,BD?平面 ABD. ∴MC⊥AM,又 MC∩BD=M, ∴AM⊥平面 BCD. 又 AE=MC= 2, ∴四边形 AMCE 为平行四边形,

∴EC∥AM, ∴EC⊥平面 BCD, ∵EC?平面 CDE, ∴平面 BCD⊥平面 CDE. (2)∵M 为 BD 的中点,N 为 DE 的中点, ∴MN∥BE.∴MN∥面 BEC. 由(1)知 EC∥AM,∴AM∥面 BEC, 又∵AM∩MN=M. ∴平面 AMN∥平面 BEC.

(1)证明面面平行依据判定定理,只要找到一个面内两条相交 直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线 面平行,再转化为证明线线平行. (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过 另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直.

[举一反三] 如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC, AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

[证明] (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点, 所以 DE∥PA. 又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF. (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6, 1 1 BC=8,所以 DE∥PA,DE=2PA=3,EF=2BC=4. 又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90° ,即 DE⊥EF.

又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC.

名师微课 建模培优

热点 15

图形的折叠问题 如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为

AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折 起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2).

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?请说明 理由. [审题程序] 第一步:观察图形,确定折叠后哪些量没有变化; 第二步:证明 DE∥平面 A1CB,即证 DE∥BC; 第三步:证明 A1F⊥BE,即证 A1F⊥平面 BCDE; 第四步:先猜出 Q 的位置,即 A1B 的中点,再加以证明.

[规范解答] 所以 DE∥BC.

(1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,

又因为 DE?平面 A1CB,BC?平面 A1CB, 所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明:由图(1)得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC.而 A1F?平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD, 所以 A1F⊥平面 BCDE,又 BE?平面 BCDE, 所以 A1F⊥BE.

(3)解:线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:

如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC, 所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP.

由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ.

[模型构建] 解决此类问题的模型示意图如下:

[感悟体验] 如图 1,⊙O 的直径 AB=2,圆上两点 C,D 在直径 AB 的 π π 两侧,且∠CAB=4,∠DAB=3.沿直径 AB 折起,使两个半圆所 在的平面互相垂直(如图 2),E 为 AO 的中点.根据图 2 解答下列 各题.

(1)求三棱锥 C-BOD 的体积; (2)求证:CB⊥DE.
[解] (1)∵C 为圆周上一点,且 AB 为直径, π π ∴∠ACB=2,∵∠CAB=4,∴AC=BC. ∵O 为 AB 的中点,∴CO⊥AB. ∵AB=2,∴CO=1. ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB,

∴CO⊥平面 ABD,∴CO⊥平面 BOD. ∴CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离. π ∵∠DAB=3,AB=2,O 为 AB 的中点 1 1 1 3 ∴S△BOD=2S△ABD=2×2×1× 3= 4 , 1 1 3 3 ∴VC-BOD=3S△BOD· CO=3× 4 ×1= 12 .

π (2)证明:在△AOD中,∠OAD= ,OA=OD, 3 ∴△AOD为正三角形. 又∵E为OA的中点,∴DE⊥AO, ∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为 AB, ∴DE⊥平面ABC.又∵BC?平面ABC,∴CB⊥DE.


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