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(实用)3[1].2.1立体几何中的向量方法:平行和垂直(上课用)


3.2.1立体几何中的向量方法 ——平行和垂直

复习1、方向向量与法向量 1.直线的方向向量
? 的直线,那么非零向量 a

如图, l 为经过已知点 A

? 且平行于非零向量 a

叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

/>
A ?

?

l

? a

P

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面

的法向量
? a
?

l

A
P

? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )

求平面的法向量的步骤:

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? ( a 1 , b1 , c 1 ), b ? ( a 2 , b 2 , c 2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x ,
? ?n ? 组? ? ?n ? ? ?a ? 0 ? ?b ? 0

y, z

的方程

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

1、平行关系:
?? ?? 设直线 l 1 , l 2 的方向向量分别为 e 1 , e 2 ,平面 ?? ?? ? ? ? 1 , ? 2 的法向量分别为 n 1 , n 2 ,则

?? ?? ?? ?? 线线平行 l 1 / / l 2 ? e 1 // e 2 ? e 1 ? ? e 2 ; ?? ?? ? ?? ?? ? 线 面 平 行 l 1 / / ? 1 ? e 1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0 ; ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 面 面 平 行 ? 1 / / ? 2 ? n 1 // n 2 ? n 1 ? ? n 2 . ? 设 直 线 l的 方 向 向 量 为 e ? ( a 1 , b1 , c 1 ), 平 面 ? 的 ? 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 法 向 量 为 n ? ( a 2 , b 2 , c 2 ), 则 ? ? 包括线在面内,面面平行包括面面重合. l // ? ? e ? n ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

2、垂直关系:
?? ?? 设直线 l 1 , l 2 的方向向量分别为 e 1 , e 2 ,平面 ?? ?? ? ? ? 1 , ? 2 的法向量分别为 n 1 ?? 2 ,则 ?? ,n ?? ?? 线线垂直 l 1 ? l 2 ? e 1 ? e 2 ? e 1 ? e 2 ? 0 ;

线面垂直 l

1

? ?1

?? ?? ? ?? ?? ? ? e 1 // n 1 ? e 1 ? ? n 1 ;

? ?2 ? ? 若 e ? ( a 1 , b1 , c1 ), n ? ( a 2 , b 2 , c 2 ), 则 ? ? ? ? l ? ? ? e // n ? e ? ? n ? a1 ? ? a2 , b1 ? ?b2 , c1 ? ?c2 .
? ? a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,e // n ? ? ? a2 b2 c2

面面垂直 ? 1

?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? n1 ? n 2 ? n1 ? n 2 ? 0 .

巩固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下

列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1 ) a ? ( 2 , ? 1 , ? 2 ), b ? ( 6 , ? 3 , ? 6 ) ( 2 ) a ? (1 , 2 , ? 2 ), b ? ( ? 2 , 3 , 2 ) ( 3 ) a ? ( 0 , 0 ,1 ), b ? ( 0 , 0 , ? 3 )

平行或重合 垂直

平行或重合

巩固性训练2 1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据

下列条件,判断α,β的位置关系.
(1 ) u ? ( ? 2 , 2 , 5 ), v ? ( 6 , ? 4 , 4 ) ( 2 ) u ? (1 , 2 , ? 2 ), v ? ( ? 2 , ? 4 , 4 ) ( 3 ) u ? ( 2 , ? 3 , 5 ), v ? ( ? 3 ,1 , ? 4 )

垂直 平行或重合

相交

巩固性训练3
1、设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= 4 ;若 ? ? ? 则 k= 。 -5 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? -8 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= 4 .

练习
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, 侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC的中点, Z 求平面EDB的一个法向量.

P

E
D A

C B

Y

X

二、 立体几何中的向量方法
——证明平行与垂直

例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的中点, DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立空间直 Z 角坐标系. P A(6,0,0), E(3,3,3),

F(2,2,0),

G(0,4,2),

??? ??? A E = ( - 3 ,3 ,3 ) ,F G = ( - 2 ,2 ,2 )

几何法呢?

??? 3 ??? AE = FG 2

??? AE

//

?? ? FG

E
D

G
C Y

AE与FG不共线 AE//FG
A X

F

B

例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, (1)求证:PA//平面EDB. P 解1 立体几何法 E
Z

D A X
G

C B

Y

解法2 如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依 题 意 得 A (1 , 0 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 1 ) , E (0, 1 2 , 1 2 )
1 1 G( , , 0 ) 2 2

Z

??? ? ???? 1 1 P A ? (1, 0 , ? 1), E G ? ( , 0 , ? ) 2 2

P E

所以 PA ? 2 EG ,即 PA // EG

而 EG ? 平 面 EDB, 且 PA ? 平 面 EDB

D A X
G

C B

Y

所以, PA // 平面 EDB

解3:如图所示建立空间直角坐标系,

点D为坐标原点,设DC=1 1 1 (1)证明: 题 意 得 A (1 , 0 , 0 ), P ( 0 , 0 , 1 ), E ( 0 , , ), 依
? ? ?? 1 1 D E ? (0, , ) 2 2 ? 设平面EDB的法向量为 n ? ( x , y ,1) ? ???? ? ???? 则 n ? DE, n ? DB
1 ?1 ? ? 0 ? y ? 于是 ?2 ? n ? ? 1, ? 1, 1 ? 2 ?x ? y ? 0 ?

B ( 1 ,1 , 0 )

??? ? P A ? (1, 0 , ? 1) ,

Z

??? D B = ( 1 ,1 , 0 )

2

2

P E

??? ? ? ??? ? ? ? P A ?n ? 0 ? P A ? n

而 PA ? 平 面 EDB
所以, PA // 平面 EDB

D A X B

C

Y

解4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
依 (1)证明: 题 意 得 A (1 , 0 , 0 ), P ( 0 , 0 , 1 ), E ( 0 , 1 2 ? ? ?? 1 1 D E ? (0, , ) 2 2 , 1 2 ), B ( 1 ,1 , 0 )

??? ? P A ? (1, 0 , ? 1) ,

Z

??? D B = ( 1 ,1 , 0 )

??? ? ???? ???? 设 PA ? xDE ? y DB

P E

解得 x=-2,y=1
??? ? ???? 即 PA ? ?2D E ? ??? ? ???? 于 是 P A、 D E 、 ???? DB ???? D B共 面

而 PA ? 平 面 EDB
所以, PA // 平面 EDB

D A X B

C

Y

例4

正方体

ABCD

? A1 B 1 C 1 D 1

中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F

??? ? ???? ???? ? 以 ?? 证明:设正方体棱长为1, D A ??,D C ??,?? D D 1 为单位

?

平面ADE.

正交 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,
??? ? ? ? ?? 1 D A ? (1 , 0 , 0 ), E ? (1 , 1 , , ) D 2 ???? ? 1 D1F ? (0, , ? 1) 2
z
D1

C1 B1 E

A1 ???? ??? ? ???? ???? 则D1 ? D A ? 0 ??, 1 ? D E ? 0 F ?? F D D A
x

???? ??? ? ???? ???? 则D1 ? D A ?, 1 ? D E . F ?? F D

F B

C y

所以

D1F ? 平 面 A D E

例5 正方体 ABCD ? A B C D 求证:平面EBD ? 平面C1BD.
1 1 1

1

,E是AA1中点,

证明: 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)
??? ? E B ? ( 2 , 0 , ? 1) ???? E D ? ( 0 , 2 , ? 1)

E

设平面EBD的一个法向量是 ? u ? ( x , y ,1)
? ??? ? ? ???? 由u ? EB ? u ? ED ? 0
? 1 1 得 u ? ( , , 1) 2 2

? ? u ? v ? 0,

? ???? 平面C1BD的一个法向量是 v ? C A1 ? ( ? 1, ? 1,1)

平面EBD

?

平面C1BD.

练习.在正方体ABCD

? A1 B 1 C 1 D 1

中,E、F分别是BB1,,
z

CD中点,求证:D1F

?

平面ADE
D1

??? ? ? ? ?? 1 D A ? (1 , 0 , 0 ), E ? (1 , 1 , , ) D 2 设 平 面 A D E的 一 个 法 向 量 ? 为 n = ( x , y, z ) ? ??? ? ? ? ? ?? 则 由 n ? D A ? 0 ??, n ? D E ? 0 得 ??
?x ? 0? 0 ? 0 ? ? 1 z ? 0 ?x ? y? ? 2

C1 B1 E

A1 D A
x

F B

C y

则 x = 0 , 不 妨 取 y ? 1, 得 z ? ? 2 ? 所 以 n = ( 0, - 2 ) 1,

???? ? 1 又 因 为 D1F ? (0, , ? 1) 2 所以 D 1 F ? 平 面 A D E

????? ? 所 以 D 1 F // n


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