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2015年浙江高考理科数学试题及答案解析(word精校版)

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2015 年浙江高考理科数学试题及答案解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的。
2 1.已知集合 P ? {x x ? 2 x ? 0}, Q ? {x 1 ? x ? 2} ,则 (?R P)

Q? (



A.

[0,1) 【答案】C.

B. (0, 2]

C. (1, 2)

D. [1, 2]

考点:集合的运算. 2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A. 8cm
3

B. 12cm

3

C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3

【答案】C. 【解析】 试题分析:由题意得,该几何体为一立方体与四棱锥的组合∴体积 V ? 2 ?
3

1 2 32 ?2 ?2 ? , 3 3

故选 C. 3.已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等 比数列,则( ) A. a1d ? 0, dS4 ? 0 C. a1d ? 0, dS4 ? 0 B. a1d ? 0, dS4 ? 0 D. a1d ? 0, dS4 ? 0

【答案】B.

考点:1.等差数列的通项公式及其前 n 项和;2.等比数列的概念 4.命题“ ?n ? N * , f (n) ? N * 且 f (n) ? n 的否定形式是( ) A. ?n ? N * , f (n) ? N * 且 f (n) ? n C. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 且 f (n0 ) ? n0 【答案】D. 【解析】 试题分析:根据全称命题的否定是特称命题,可知选 D. 考点:命题的否定 5.如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C ,其中点 A, B
2

B. ?n ? N * , f (n) ? N * 或 f (n) ? n D. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 或 f (n0 ) ? n0

在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是( )

BF ? 1 A. AF ? 1
【答案】A. 【解析】

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

BF ? 1 C. AF ? 1

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

试题分析:

S ?BCF BC xB BF ? 1 ,故选 A. ? ? ? S ?ACF AC x A AF ? 1

考点:抛物线的标准方程及其性质 6.设 A, B 是有限集, 定义 d ( A, B) ? card ( A 元素个数, 命题①:对任意有限集 A, B , “ A ? B ”是“ d ( A, B) ? 0 ”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A, B, C , d ( A, C ) ? d ( A, B) ? d ( B, C ) , A. 命题①和命题②都成立 C. 命题①成立,命题②不成立 【答案】A. B. 命题①和命题②都不成立 D. 命题①不成立,命题②成立 其中 card ( A) 表示有限集 A 中的 B) ? card ( A B) ,

考点:集合的性质 7.存在函数 f ( x) 满足,对任意 x ? R 都有( A. f (sin 2 x) ? sin x C. f ( x ?1) ? x ?1
2


2

B. f (sin 2 x) ? x ? x D. f ( x ? 2x) ? x ?1
2

【答案】D.

考点:函数的概念 8.如图, 已知 ?ABC , 沿直线 CD 将 ?ACD 折成 ?A?CD , 所成二面角 A? ? CD ? B D 是 AB 的中点, 的平面角为 ? ,则( ) A. ?A?DB ? ? B. ?A?DB ? ? C. ?A?CB ? ? D. ?A?CB ? ?

【答案】B. 【解析】 试题分析:根据折叠过程可知 ?A ' CB 与 ? 的大小关系是不确定的,而根据二面角的定义易 得 ?A?DB ? ? ,当且仅当 AC ? BC 时,等号成立,故选 B 考点:立体几何中的动态问题 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9.双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦距是 2

,渐近线方程是



【答案】 2 3 , y ? ? 【解析】

2 x. 2

试题分析:由题意得: a ? 渐近线方程为 y ? ?

2 , b ? 1 , c ? a2 ? b2 ? 2 ?1 ? 3 ,∴焦距为 2c ? 2 3 ,

b 2 x?? x. a 2

考点:双曲线的标准方程及其性质

2 ? ? x ? ? 3, x ? 1 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? x 2 ?lg( x ? 1), x ? 1 ?
【答案】 0 , 2 2 - 3 .

, f ( x) 的最小值是



考点:分段函数 11. 函数 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是 【答案】 ? , [ 【解析】 试题分析:f ( x) ? ,单调递减区间是 .

3? 7? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 8 8

3? 7? 2 ? 3 ? k? , ? k? ] , 故最小正周期为 ? , 单调递减区间为 [ sin(2 x ? ) ? , 8 8 2 4 2

k?Z .
考点:1.三角恒等变形;2.三角函数的性质 12.若 a ? log4 3 ,则 2 ? 2
a ?a

?



【答案】 【解析】

4 3. 3

试题分析:∵ a ? log4 3 ,∴ 4 ? 3 ? 2 ? 3 ,∴ 2 ? 2
a a
a

?a

? 3?

1 4 ? 3. 3 3

考点:对数的计算 13.如图, 三棱锥 A ? BCD 中,AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 , 点 M , N 分别是 AD, BC 的中点,则异面直线 AN , CM 所成的角的余弦值是 .

【答案】

7 . 8

考点:异面直线的夹角. 14.若实数 x, y 满足 x ? y ? 1,则 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y 的最小值是
2 2



【答案】 3 . 【解析】 x ? y ? 1 表示圆 x ? y ? 1 及其内部,易得直线 6 ? x ? 3 y 与圆相离,故
2 2 2 2

| 6 ? x ? 3 y |? 6 ? x ? 3 y ,当 2 x ? y ? 2 ? 0 时, 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3y =x ? 2 y ? 4 ,
如下图所示,可行域为小的弓形内部,目标函数 z ? x ? 2 y ? 4 ,则可知当 x ?

3 4 , y ? 时, 5 5

zmin ? 3 ,当 2 x ? y ? 2 ? 0 时, 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y =8 ? 3x ? 4 y ,可行域为大的弓形
内部,目标函数 z ? 8 ? 3x ? 4 y ,同理可知当 x ?

3 4 , y ? 时, zmin ? 3 ,综上所述, 5 5

| 2x ? y ? 2 | ? | 6 ? x ? 3 y | .

考点:1.线性规划的运用;2.分类讨论的数学思想;3.直线与圆的位置关系 15. 已知 e1 , e2 是空间单位向量, e1 ? e 2 ?

1 5 ,若空间向量 b 满足 b ? e1 ? 2, b ? e 2 ? ,且对于任意 2 2
, y0 ? ,

x, y ? R , b ? ( xe1 ? ye2 ) ? b ? ( x0 e1 ? y0 e2 ) ? 1( x0 , y0? R) ,则 x0 ?
b?


【答案】 1, 2 , 2 2 .

考点:1.平面向量的模长;2.函数的最值 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分) 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= (1)求 tanC 的值;

? 2 2 2 1 ,b ? a = c . 4 2

(2)若 ABC 的面积为 7,求 b 的值。 【答案】 (1) 2 ; (2) b ? 3 .

考点:1.三角恒等变形;2.正弦定理. 17.(本题满分 15 分) 如图,在三棱柱 ?? C - ?1?1C1 中, ? BAC= 90 ,AB=AC=2, A1 A=4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC
o.

的中点,D 为 B1C1 的中点. (1)证明: A1 D ? 平面 A1 B C ; (2)求二面角 A1 -BD- B1 的平面角的余弦值.

【答案】 (1)详见解析; (2) ?

1 . 8

试题分析: (1)根据条件首先证得 AE ? 平面 A1 BC ,再证明 A1D / / AE ,即可得证; (2) 作 A1F ? BD ,且 A1F

BD ? F ,可证明 ?A1FB1 为二面角 A1 ? BD ? B1 的平面角,再由

余弦定理即可求得 cos ?A1 FB1 ? ?

1 ,从而求解. 8

考点:1.线面垂直的判定与性质;2.二面角的求解 18.(本题满分 15 分) 已知函数 f(x)= x +ax+b(a,b ? R),记 M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。
2

(1)证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; (2)当 a,b 满足 M(a,b) ? 2,求|a|+|b|的最大值. 【答案】 (1)详见解析; (2) 3 . 试题分析: (1)分析题意可知 f ( x ) 在 [?1,1] 上单调,从而可知

M (a, b) ? max{| f (1) |,| f (?1) |} ,分类讨论 a 的取值范围即可求解.; (2)分析题意可知

?| a ? b |, ab ? 0 ,再由 M (a, b) ? 2 可得 |1 ? a ? b |?| f (1) |? 2 , | a | ? | b |? ? ?| a ? b |, ab ? 0

|1 ? a ? b |?| f (?1) |? 2 ,即可得证.

考点:1.二次函数的性质;2.分类讨论的数学思想. 19.(本题满分 15 分) 已知椭圆

x2 1 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求 AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

【答案】 (1) m ? ?

2 6 6 或m ? ; (2) . 2 3 3

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 试题分析: (1)可设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b ,从而可知 ? 有两个不同 m ?y ? ? 1 x ?b ? m ?

的解,再由 AB 中点也在直线上,即可得到关于 m 的不等式,从而求解; (2)令 t ?

1 ,可 m

考点:1.直线与椭圆的位置关系;2.点到直线距离公式;3.求函数的最值. 20.(本题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 = (1)证明:1 ?

1 * 2 且 an ?1 = an - an (n ? N ) 2

an ? 2 (n ? N * ) ; an ?1

2 (2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明

? ?

S 1 1 * ? n? (n? N ). 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析.

考点:数列与不等式结合综合题.


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