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2012年高考试题分项解析数学(理科)专题06 不等式(教师版)

时间:2012-07-13


ziye

2012 年高考试题分项解析数学(理科) 专题 06 不等式(教师版)
一、选择题:
? y ? 2 ? 1. (2012 年高考广东卷理科 5)已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z=3x+y 的最大 ?x? y ?1 ?

值为( A.12 B.11

) C

.3 D.-1

[来源:21 世纪教育网]

3. (201 2 年高考福建卷理科 5)下列不等式一定成立的是( A. lg( x ?
2


1 sin x ? 2( x ? k? , k ? Z )

1 4

) ? lg x ( x ? 0 )

B. sin x ?

- 1 -

ziye

C. x 2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R )

D.
x

1
2

?1

? 1( x ? R )

4. (2012 年 高 考 福 建 卷 理 科 9) 若 直 线 y ? 2 x 上 存 在 点 ( x , y ) 满 足 约 束 条 件
?x ? y ? 3 ? 0 ? ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ?x ? m ?



A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

- 2 -

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? x ? y ? 10 ? 5. (2012 年高考辽宁卷理科 8)设变量 x,y 满足 ? 0 ? x ? y ? 20 , 则 2 x ? 3 y 的最大值为 ? 0 ? y ? 15 ?



) (A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55

6.(2012 年高考辽宁卷理科 12)若 x ? [0, ? ? ) ,则下列不等式恒成立的是(
1 1? x 1 2
1 8 x
2



(A) e ? 1 ? x ? x
x

2

(B)

? 1?

x?

1 4

x

2

(C) c o s x …1 ?

1 2

x

2

(D) ln (1 ? x )…x ?

7.(2012 年高考江西卷理科 8)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入 资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植

- 3 -

ziye

面积(单位:亩)分别为( A.50,0 B.30,20

) C.20,30 D.0,50

8.(2012 年高考湖南卷理科 8)已知两条直线 l1 :y=m 和 l 2 : y=

8 2m ? 1

(m>0), l1 与函数

- 4 -

ziye

y ? log 2 x 的图像从左至右相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于

C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时, ( ) B. 8 2 C. 8 4 D. 4 4
[来源:21 世纪教育网]

b a

的最小值为

[来源%&:中国~*教育# 出版网]

A. 1 6 2

9. (2012 年高考四川卷理科 9)某公司生产甲、 乙两种桶装产品。 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲 产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求 每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种 产品中,公司共可获得的最大利润是( )

- 5 -

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A、1800 元

B、2400 元

C、2800 元

D、3100 元

10.(2012 年高考全国卷理科 9)已知 x ? ln ? , y ? lo g 5 2 , z ? e A. x ? y ? z B. z ? x ? y

?

1 2

,则(

) D. y ? z ? x

C. z ? y ? x

11. (2012 年高考重庆卷理科 2)不等式
? ? 1 2 ? ? ? ? ? 1 2 ? ? ?

x ?1 2x ?1

? 0 的解集为(


? ? 1? ? ?1, ?? 2? ?

A. ? ?

,1

B. ? ?

,1

C. ? ? ? . ?
?

?

1? ? ? ?1, ?? 2?

?

D. ? ? ? , ?

?

[来源:21 世纪教

育网]

- 6 -

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【答案】 A 【解析】 12.(2012
? ( 2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 1 ? 0 ? ? ? ? ? x ?1. 2x ?1 ? 0 2x ?1 2 ? x ?1

















10)











? 1 ? 2 2 A ? ? ( x , y ) ( y ? x )( y ? ) ? 0 ? , B ? ( x , y ) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,则 A ? B 所表示的平 x ? ?

?

?

面图形的面积为( (A) ?
4 3

) (B) ?
5 3

(C) ?
7

4

(D)

?
2

二、填空题: 1. (2012 年高考广东卷理科 9)不等式|x+2|-|x|≤1 的解集为_____.

2. (2012 年高考江苏卷 13)已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R ) 的值域为 [0 ,? ? ) ,若关 b 于 x 的不等式 f ( x ) ? c 的解集为 ( m ,m ? 6) ,则实数 c 的值 为 【答 案】 9 【解析】根据函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b ? 0 ,得到 a 2 ? 4 b ? 0 ,又因为关于 x 的不等式
f ( x ) ? c , 可 化 为 : x ? ax ? b ? c ? 0 , 它 的 解 集 为
2

▲ .

?m , m ? 6 ? , 设 函 数

- 7 -

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f ( x ) ? x ? ax ? b ? c 图 象 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 x 1 , x 2 , 则
2

x 2 ? x 1 ? m ? 6 ? m ? 6 ,从而, ( x 2 ? x 1 )

2

? 36 ,即 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ? 36 ,又因为
2

x 1 x 2 ? b ? c , x 1 ? x 2 ? ? a ,代入得到 c ? 9 .

【考点定位】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系,根与系数的 关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题,难度不大. 3. (2012 年高考江苏卷 14) 已知正数 a ,b ,c 满足:5 c ? 3 a ≤ b ≤ 4 c ? a ,c ln b ≥ a ? c ln c , 则
b a

的取值范围是



4.(2012 年高考山东卷理科 13)若不等式 数 k=__________。

的解集为

,则实

? x, y ? 0 ? 5.(2012 年高考新课标全国卷理科 14)设 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? ? 1 ;则 z ? x ? 2 y 的 ? x? y ? 3 ?

取值范围为 【 答案】 [ ? 3, 3] 【解析】约束条件对应四边形 O A B C 边际及内的区域: O (0, 0), A (0,1), B (1, 2), C (3, 0)

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ziye

则 z ? x ? 2 y ? [ ? 3, 3] .
? x ? 0 ? 6.(2012 年高考安徽卷理科 11)若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 ?2x ? y ? 3 ?

_____

[来源:21 世纪教育网]

7.(2012 年高考安徽卷理科 15)设 ? A B C 的内 角 A , B , C 所对的边为 a , b , c ;则下列命题正 确的是 _____ ①若 a b ? c 2 ;则 C ?
?
3

②若 a ? b ? 2 c ;则 C ?
?
2

?
3

③若 a 3 ? b 3 ? c 3 ;则 C ?

④若 ( a ? b ) c ? 2 ab ;则 C ?
?
21 世纪教育网

?
2

⑤若 ( a 2 ? b 2 ) c 2 ? 2 a 2 b 2 ;则 C ?

3

8.(2012 年高考全国卷理科 13)若 x , y 满足约束条件
?x ? y ?1? 0 ? ? ?x ? y ? 3 ? 0 ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

, 则

z ?3 ? x

的 最 小 值 y

- 9 -

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为 【答案】 ? 1

.

【解析】 做出做出不等式所表示的区域如图, z ? 3 x ? y 得 y ? 3 x ? z , 由 平移直线 y ? 3 x , 由图象可知当直线经过点 C ( 0 ,1) 时,直线 y ? 3 x ? z 的截距最 大,此时 z 最小,最小值为
z ? 3 x ? y ? -1 .

【考点定位】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型,只要正确作图,表示 出区域,然后借助于直线平移法得到最值. 三、解答题: 1. (2012 年高考江苏卷 17)(本小题满分 14 分) 如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米. 某 炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y 中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮 弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其 大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它 的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
? kx ? 1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

表示的曲线上,其

- 10 -

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[来源:21 世纪教育网]

2.(2012 年高考上海卷理科 21)(6+8=14 分)海事救援船对一艘失 事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正 方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救援船恰好 在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事船的移动路 径可视为抛物线 y ?
12 49 x ;②定 位 后救援船即刻沿直线匀速前往
2

救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7 t . (1)当 t ? 0 . 5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求 救援船速度的大小和方向; (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

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3 . (2012 年 高 考 浙 江 卷 理 科 22) ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 a > 0 , b ? R , 函 数
f

? x?

? 4 ax ? 2 bx ? a ? b
3



(Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ)
f

? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0, 1 ]恒成立,求 a+b 的取值范围.

- 12 -

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- 13 -

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4. (2012 年高考四川卷理科 22) (本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, 为自然数, 抛物线 y ? ? x ? n
2

a

n

与 x 轴正半轴相交于点 A , f ( n ) 设

2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n ) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有
f (n) ? 1 f (n) ? 1
n

?

n
3

3

n ?1
1

成立的 a 的最小值;
27 4 f (1) ? f ( n ) f ( 0 ) ? f (1)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较 ?
k ?1

f (k ) ? f (2k )



?

的大小,并说明理由.

- 14 -

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- 15 -

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- 16 -


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