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豫南九校2010——2011学年高三第四次联考(理科)

时间:2012-11-08


豫南九校 2010——2011 学年高三第四次联考(理科)
命题教师:泌阳一高数学组 一、选择题 1.已知集合 A,B 都是非空集合,则“ x ? ( A ? B ) ”是“ x ? A 且 x ? B ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 2.定义一种运算如下: ? A. 3 ? 1 ? ( 3 ? 1)i
? x1 ? x2

)<

br />
B.必要不充分条件 D. 既不是充分条件,也不是必要条件
y1 ? ? 3 ? i ? 1? ? ( i 是虚数单位)的共轭复数是( ? ? x1 y 2 ? x 2 y1 ,复数 z ? ? y2 ? ? 3?i i ? ? ?



B. 3 ? 1 ? ( 3 ? 1)i

C. 3 ? 1 ? ( 3 ? 1)i x -1 0.37 1 0 1 2

D. 3 ? 1 ? ( 3 ? 1)i 1 2.72 3 2 7.39 4 ) 3 20.09 5

3.根据表格中的数据,可以判定方程
e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间 为 ( k , k ? 1)( k ? N ) ,则 k 的值为(
x



e

x

A.-1 C.1 4.若
f (x)

B.0 D.2 B. (-∞,0)∪(1,2)

x+2

是偶函数,且当 x ? [ 0 , ?? )时 , f ( x ) ? x ? 1 , 则 f ( x ? 1 ) ? 0 的解集是( C. (1,2) D. (0,2) ) D 1

A. (-1,0)

5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 A1B 与平面 BC1D1 所成角的正切值为( A.
2 2

B.

3 3

C.1
1 2
2

D. 3

C1 B1


A1 D

6. 已知函数 f ( x ) ? 2 x 3 ?

x ? m 的图象上 A 点处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0

夹角为 45°,则 A 点的横坐标为( A.0 B.1

).
1 6

C B

C.0 或

D.1 或

1 6

A

7.设数列 { a n } 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, {b n } 是以 1 为首 项,2 为公比的等比数列,则 a b ? a b ? … ? a b ?
1 2 10





A.1033 B.1034 C.2057 D.2058 8. 一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是
4 5

,则判断框中应填入的条件是(



A. i ? 6 B. i ? 6 C. i ? 5 D. i ? 5 9.图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为 e1﹑ e 2﹑ e 3﹑ e 4 ,其大小关系为( ) A. e1 ? e 2 ? e 3 ? e 4 B. e 2 ? e1 ? e3 ? e 4 C. e1 ? e 2 ? e 4 ? e 3 D. e 2 ? e1 ? e 4 ? e3 10.设 f ( x ) ? 3 sin (
?
4 x? 2 3 ) ,若 ? x ? R , f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x 2 ) ,

则 | x1 ? x 2 | 的最小值为( A. 8

) B. 4 C. 2 D. 1

?x ? 11. 设 O 为坐标原点,点 M 坐标为 ( 3 , 2 ) ,若点 N ( x , y ) 满足不等式组: ? y ? ?x ?y ?

?0 ?0 ? y? s ? 2x ? 4 , 当 3 ? s ? 5 时,则

OM ? ON 的最大值的变化范围是(

A.[7,8]

B.[7,9]

) C.[6,8]

D.[7,15] 且满足向量 A B 与 A P 夹角为锐角 ? ,
??? ? ??? ?

12. 若 A, B 是平面内的两个定点, 点 P 为该平面内动点,
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? |P B||A B|+ P A ? A B = 0 , 则点 P 的轨迹是(



A.直线 (除去与直线 AB 的交点) C.椭圆 (除去与直线 AB 的交点) 二、填空题

B.圆 (除去与直线 AB 的交点) D.抛物线(除去与直线 AB 的交点)

13. (1 ? a x ) (1 ? x ) 的展开式中, x 项的系数为 ? 16 ,则实数 a 的值为
2 6
3

14.若 a , b 是正常数, a ? b , x , y ? (0, ? ? ) ,则

a

2

?
2 x ?

b

2

?
9

(a ? b) x? y

2

,当且仅当
1

a x

?

b y

时上式 .

x

y
1? 2x

取等号. 利用以上结论,可以得到函数 f ( x ) ?
2 2

( x ? (0 , ) )的最小值为
2

15.已知 P 为圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上任意一点,直线 OP 的倾斜角为 ? 弧度,O 为坐标原点, 记 d ? O P ,以 (? , d ) 为坐标的点的轨迹为 C,则曲线 C 与 x 轴围成的封闭图形的面积为 16. 下列正确结论的序号是 ①命题 ? x , x ? x ? 1 ? 0的否定是
2

: ?x, x ? x ? 1 ? 0.
2

②命题“若 ab ? 0 , 则 a ? 0 , 或 b ? 0 ”的否命题是“ 若 ab ? 0 , 则 a ? 0 且 b ? 0 ”
? ③已知线性回归方程是 y ? 3 ? 2 x , 则当自变量的值为 2 时,因变量的精确值为 7;
2 2 ④若 a , b ? [ 0 ,1] ,则不等式 a ? b ?

1 4

成立的概率是

?
4

.

三、解答题 17. (本小题满分 12 分)
??? ?

已知 O A ? ( 2 a sin 2 x , a ) ,O B ? ( ? 1, 2 3 sin x cos x ? 1) ,O 为坐标原点,a ? 0 , f ( x ) ? O A ? O B ? b , 设 b?a. (1)若 a ? 0 ,写出函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间; (2)若函数 y ? f ( x ) 的定义域为 [
?
2 , ? ] ,值域为 [ 2, 5] ,求实数 a 与 b 的值.

??? ?

??? ??? ? ?

18. (本小题满分 12 分) 一个多面体的直观图和三视图如图所示 (1)求证: PA ? BD ; (2)是否在线段 PD 上存在一 Q 点,使二面角 Q ? AC ? D 的平 面角为 30 ,设 ? ? ,若存在,求 ? ;若不存在,说明理由 DP P
?

DQ

7

7

7

7

2

A

B
2
2
2

D

C

正 视 图

侧 视 图

俯 视 图

19. (本小题满分 12 分) .某科技公司遇到一个技术难题,紧急成立甲、乙两个攻关小组, 按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关,同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖 励.已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为
2 3

,被乙小组攻克的概率为

3 4



(1)设 ? 为攻关期满时获奖的攻关小组数,求 ? 的分布列及 E ? ; (2)设? 为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方,记“函数
f (x) ? ? ? 7 2
x

在定义域内单调递减”为事件 C ,求事件 C 的概率.

20.(本小题满分 12 分) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是椭圆
y
2 2

?

x

2 2

a b ?? ? ? x y 3 , 短轴长为 2, O 为坐标原点. n ? ( 2 , 2 ) ,若 m ? n ? 0 且椭圆的离心率 e ? 2 b a

?? x y ? 1( a ? b ? 0 ) 上的两点,已知 m ? ( 1 , 1 ) , b a

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距) , ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由。

21. (本小题满分 12 分)
已 知 函 数 f (x) ? ln x x ( 1) 判 断 函 数 f(x)的 单 调 性 ( 2) 设 m>0,求 f(x)在 ?m , 2m ? 上 的 最 大 值 1? n ?1? n ? ( 3 ) 证 明 : ? n ? N 不 等 式 ln ? ? ? n ? n ?
* e

?1

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 A 在 ? ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交 P 于点 P,交 BC 延长线于点 D。 (1)求证:
PC AC ? PD BD


B C D

(2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。

23 . 本 小 题 满 分 10 分 ) 选 修 4-5 : 不 等 式 选 讲 (

已知对于任意非零实数 m ,不等式

| 2 m ? 1 | ? | 1 ? m |? | m | (| x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |) 恒成立,求实数 x 的取值范围。

理科数学参考答案
一、 选择题 1——5 二、填空题 BBCDB 6 ——10 CADAB 15. 4 11——12 AB 16. ②
?
6

13. a ? 2 或 3 14. 25 17、 (本小题满分 12 分)

解: (1) f ( x ) ? ? 2 a sin 2 x ? 2 3 a sin x co s x ? a ? b ? 2 a sin ( 2 x ? ∵ a ? 0 ,∴由 2 k ? ?
?
2 ? 2x ?

) ? b ?(2 分)

?
6

? 2k? ?

?
2

得函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间是 [ k ? ? (写成 ( k ? ?
?
2? 3 , k? ? 7? 6

?
3

, k? ?

?
6

]( k ? Z ) ??????(6 分)

)( k ? Z ) 也可以)

(2) x ? [ , ? ] 时, 2 x ?

7 ? 1 3? ? 1 , ] , sin ( 2 x ? ) ? [ ? 1, ] ??????(8 分) 2 6 6 6 6 2 当 a ? 0 时, f ( x ) ? [ ? 2 a ? b , a ? b ] ?[
??2a ? b ? 2 ?a ? 1 ,得 ? , ? ?a ? b ? 5 ?b ? 4

?

??????(10 分)

当 a ? 0 时, f ( x ) ? [ a ? b , ? 2 a ? b ]
?a ? b ? 2 ?a ? ?1 ,得 ? ? ??2a ? b ? 5 ?b ? 3

??????(12 分)

18.解: (1)由三视图可知 P ? ABCD 为四棱锥,底面 ABCD 为正方形,且 PA ? PB ? PC ? PD 连接 AC , BD 交于点 O ,连接 PO , 因为 BD ? AC , BD ? PO ,所以 BD ? 平面 PAC , 即 BD ? PA ; -----------------------6 分 (2)由三视图可知, BC ? 2 , PA ? 2 2 ,假设存在这样的 D 点 因为 AC ? OQ , AC ? OD ,所以 ? DOQ 为二面角 Q ? AC ? D 的平面角,------ 8 分
? PDO 中, PD ? 2 2 , OD ?
2 ,则 ? PDO ? 60 ? ,

? DQO 中, ? PDO ? 60 ? ,且 ? QOD ? 30 ? .所以 D P ? O Q ,

所 以 OD ?

2,QD ?

2 2

-----------------------------------------------11 分

? ?

DQ DP

=

1 4
2 3

-------------------------- 12 分 ,记“乙攻关小组获奖”为事件 B,则 (1 分)

19. (1)解:记“甲攻关小组获奖”为事件 A,则 P ( A ) ?
P(B) ? 3 4



由题意,ξ 的所有可能取值为 0,1,2.

P (? ? 0 ) ? P ( A ? B ) ? (1 ?

2 3

)(1 ?

3 4

)?

1 12


? 2 3 ? (1 ? 3 4 )? 5 12 , P (? ? 2 ) ? P ( A ? B ) ? 2 3 ? 3 4 ? 1 2

P (? ? 1) ? P ( A ? B ) ? ( A ? B ) ? (1 ?

2 3

)?

3 4



(4 分)

∴ξ 的分布列为: ξ 0
1 12

1
5 12

2
1 2

P

∴ E?

? 0?

1 12

? 1?

5 12

? 2?

1 2

?

17 12



(6 分)

(2)∵获奖攻关小组数的可能取值为 0,1,2,相对应没有获奖的攻关小组的取值为 2,1,0.∴η 的可能取值为 0,4. 当 η =0 时, 当 η =4 时, ∴ P ( C ) ? P (?
f ( x ) ?| ? ? 7 2 7 x x | ?( ) 2

在定义域内是增函数. (11 分) (12 分)

f ( x ) ?| ? ?

7 2

1 x |? ( ) 2

在定义域内是减函数.
1 2 ? 1 12 ? 7 12

? 4) ? P ( A ? B ) ? P ( A ? B ) ?



20.解: (1)

2 b ? 2, b ? 1, e ?

c a

?

a ?b
2

2

?

3 2

? a ? 2, c ?

3

a

椭圆的方程为

y

2

? x

2

?1

????????3 分

4

(2)由题意,设 AB 的方程为 y ? kx ?

3

? y ? kx ? 3 ? 2 2 ? ( k ? 4 ) x ? 2 3 kx ? 1 ? 0 .................4 分 ? y2 2 ? x ?1 ? ? 4 x1 ? x 2 ? ?2 3k k ?4
2

, x1 x 2 ?

?1 k ?4
2

.

.................5 分

由已知 m ? n ? 0 得:
x1 x 2 b
2

? k

y1 y 2 a
2 2

? x1 x 2 ? 3k 4
)?

1 4

( kx1 ?

3 )( kx 2 ? 3 4

3)

? (1 ?

4
? k ?4
2

) x1 x 2 ?

( x1 ? x 2 ) ?

.................6 分

(?

1 k ?4
2

4

3k (?2 3k ) 3 ? 2 ? ? 0, 解 得 k ? ? 4 k ?4 4

2 ??7 分

(3) ①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x 2 , y1 ? ? y 2 ,由 m ? n ? 0 得

?? ?

x1 ?
2

y1 4

2

? 0 ? y 1 ? 4 x1 ????????8 分
2 2

又 A ( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 x ?
2 1

4 x1 4

2

? 1 ? x1 ?

2 2

, y1 ?

2

s?

1 2

x1 y 1 ? y 2 ?

1 2

x1 2 y1 ? 1 所以三角形的面积为定值????????9 分

②当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b
? y ? kx ? b ? 2 ? (k ?y 2 ? x ?1 ? ? 4
y1 y 2 4

2

? 4 ) x ? 2 kbx ? b
2

2

? 4 ? 0 得到 x 1 ? x 2 ?

? 2 kb k
2

? 4

x1 x 2 ?

b k

2 2

?4 ?4

x1 x 2 ?

? 0 ? x1 x 2 ?

( kx 1 ? b )( kx 2 ? b ) 4

? 0 代入整理得

:

2b ? k
2

2

? 4

S ?

1 2

b 1? k
2

AB ?

1 2

|b |

( x 1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

|b |

4 k ? 4b ? 16
2 2

k ?4
2

?

4b

2

?1

2|b|

所以三角形的面积为定值.-------------------------------------------------12 分.
( 21.解: 1 ) 定 义 域 是 ( 0 + ? ) . . . . . . . . . . 1 分 f ( x) ?
'

1 ? ln x x
2

令 f ( x ) ? 0 得 x ? e ,0 < x < e 时 f ( x ) > 0 , x > e f ( x )< o
' ' '

故 ( 0 e ) 上 单 调 递 增 , ( e + ? ) 单 调 递 减 ? .........4 分 ( 2 ) 有 ( 1 ) 知 当 0 < 2 m ? e时 即 0 < m ? 当 m ? e 在 ? m , 2 m ? 递 减 f ( x )m ax ? f ( m ) = 当 e 2 < m < e f ( x )m ax ? f ( e ) = 1 e 1 e 1 e 所 以 ln 1? n n < 1 1? n e n
e

e 2

在 ? m , 2 m ? 递 增 f ( x )m ax ? f ( 2 m ) = ?1

ln 2 m 2m

?1

ln m m

? 1  . . . . . . . . 8 分 ?. ? 1在 ( 0 + ? ) 上 恒 有 x因 为 ln x x 1? n ?1 ? 1 e ? 1即 ln x x ? 1 e

(3) 有 ( 1 ) 知 f ( x )m ax ? f ( e ) =

且 x ? e时 = 成 立 , 即 ? x ? 0 + ? ) 恒 有 ln x ? (

1? n >0   ?e n n

1? n ?1? n ? 即 ln ? ? .........1 2 分 ? ? n ? n ?

22.解: (1)? ? CPD ? ? ABC , ? D ? ? D ,
? ? DPC ~ ? DBA ,?

PC AB PD

?

PD BD

? AC BD ? ? ACD ? ? APC , ? CAP ? ? CAP , (2)
? ? APC ~ ? ACD ?

又? AB ? AC ,?

PC

(5 分)

AP AC

?

AC AD

, (10 分)

? AC

2

? AP ? AD ? 9

23.解:即 | x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?
? | 2m ? 1 | ? | 1 ? m | |m | ?

| 2m ? 1 | ? | 1 ? m | |m |

恒成立 (2 分)

| 2m ? 1 ? 1 ? m | |m |

?1

? 只需 | x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |? 1

(1)当 x ? ? (2)当 ?
3

3 2

时,原式 1 ? x ? 2 x ? 3 ? 3 ,即 x ? ? 3 ? x ? ? 3

(5 分)

? x ? 1 时,原式 1 ? x ? 2 x ? 3 ? 1 ,即 x ? ? 1 ? ? 1 ? x ? 1 (7 分) 2 (3)当 x ? ? 1 时,原式 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 1 ,即 x ? ? 5 ? x ? 1 (9 分) 综上 x 的取值范围为 ( ?? , ? 3 ] ? [ ? 1, ?? ) (10 分)


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