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数学人教A版必修4第二章教案:2.4.3《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》


第 9 课时 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的: ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复

习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫a与b 的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积.C 4.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0

3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或

| a |? a ? a
a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

4? cos? =

5.平面向量数量积的运算律 交换律:a ? b = b ? a 数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 分配律:(a + b)?c = a?c + b?c

-1-

二、讲解新课: ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b . 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位向量,那么 a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y 2 j 所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j )(x2 i ? y 2 j ) ? x1 x2i 2 ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j 2 又 i ? i ? 1 , j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 ,所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2. 平面内两点间的距离公式 一、 设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

x2 ? y2 .

(2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,那么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)
二、 向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 三、 两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? =

a ?b ? | a |?| b |

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

四、 讲解范例: 五、 设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a· 及 a、b 间的夹角θ (精确到 1o) b 例 2 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC 的形状,并给出证明. 例 3 已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4 的向量 x. 解:设 x = (t, s), 由

x?a ? 9 ? 3t ? s ? 9 ?t?2 ?? ?? x ? b ? ?4 ?t ? 2s ? ?4 ?s ? ?3

∴x = (2, ?3)

例 4 已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是多少? 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a·b 及|a|·|b|,再结合夹角θ 的范围确定其值.

-2-

解:由 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) 有 a·b= 3 +1+ 3 ( 3 -1)=4,|a|=2,|b|=2 2 .

记 a 与 b 的夹角为θ ,则cosθ =

a ?b 2 ? a?b 2

又∵0≤θ ≤π ,∴θ =

? 4

评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定. 例 5 如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,求点 B 和向量 AB 的坐 标. 解:设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2) ∵ OB ? AB ∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2 即:10x + 4y = 29

又∵| OB | = | AB |

? 7 3 ? ? x 2 ? y 2 ? 5 x ? 2 y ? 0 ? x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? ?? 或 由? 3 ? 7 ?10x ? 4 y ? 29 ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 ? 2 ?
∴B 点坐标 ( ,? ) 或 ( , ) ; AB = ( ?

7 2

3 2

3 7 2 2

3 7 7 3 ,? ) 或 (? , ) 2 2 2 2

例 6 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角, 求 k 值. 解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k = ?

3 2

当 B = 90?时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =

11 3
∴k =

当 C = 90?时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0 六、 课堂练习:

3 ? 13 2

-3-

1.若 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a| -4a·b=( A.23 B.57 C.63



) D.83 ) D.不等边三角形 )

2.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC 为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

3.已知 a=(4,3),向量 b 是垂直 a 的单位向量,则 b 等于( A. ( , ) 或 ( , ) ? C. ( ,? ) 或 (?

3 4 5 5

4 3 5 5

B. ( , ) 或 (? ,? ) D. ( ,? ) 或 (? , ) .

3 4 5 5

3 5

4 5

3 5

4 5

4 3 , )? 5 5

3 5

4 5

3 4 5 5

4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)= 5.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,-

1 )在线段 AB 的中垂线上,则 x= 2

.

6.已知 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a= BC ,b= CA ,则 a 与 b 的夹角为 七、 小结(略) 八、 课后作业(略) 九、 板书设计(略) 十、 课后记: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

.

-4-


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