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必修1:2.2.2对数函数的图象与性质

时间:2015-10-17


2.2.2对数函数及其性质
第一课时 对数函数的概念与图像

2015年10月17日星期六

1

张家川县一中 数学组李毅

引入新课

指数函数

化成

x=log2y

8=23

如果把x和y的位置互换,那么这个函数应为

y = log2x

对数函数的定义:
一般地,函数 y = loga x (a>0,且a≠ 1 )叫 做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是( 0 , +∞).
注意:1)对数函数定义的严格形式;
2)对数函数对底数的限制条件: a ? 0 ,且 a ? 1.

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log2 x和y ? log1 x 的图象。

作图步骤:

2

①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质
作y=log2x图象

列 表

描 点
连 线

X y=log2x y 2 1
0
11 42

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

1 2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与
性质

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log1 x
2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …



2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 探索发现:认 11 真观察函数 4 x 0 1 2 3 4 y=log2x -1 的图象填写 -2
1 2

下表

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是: 增函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

探索发现:认 真观察函数

y 2

y ? log1
2

x

1 11
42

的图象填写 下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞) R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是:减函数

对数函数y=logax (a>0,且a≠1)

的图象与性质
y
X
x =1

a>1 图 象 性 质
y
x =1
y ? loga x (a ? 1)

0<a<1
(1,0)
O
X

O

(1,0)

y ? loga x (0 ? a ? 1)

( 0,+∞) 定义域 : 值 域 : R 过定点: (1 ,0), 即当x =1时,y=0
增函数 在(0,+∞)上是 减函数 在(0,+∞)上是:

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y 2

y ? log3 x和y ? log1 x 的图象。
3

y ? log2 x

1
0

y ? log3 x
11 42

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

思考:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象随着a

的取值变化图象如何变化?有规律吗?

y 规律:在x轴 2 x 上方图象自左 1 11 向右底数越来 4 2 0 越大! 1 2 3 4 -1 -2

y ? log2 x

y ? log3 x

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

3

讲解范例 例1求下列函数的定义域: 2 y ? log x (1 ) a 解 : 由 x2 ? 0 得 x ? 0 ∴函数 y ? loga x 的定义域是
2

?x | x ? 0?

(2) y ? loga (4 ? x)

解 : 由4 ? x ? 0 得
∴函数 y ? loga (4 ? x)

x?4
的定义域是 ?x | x ? 4?

练习

1.求下列函数的定义域:
(1) y

? log5 (1 ? x)

? (??,1) ? (0,1) ? (1,??)

1 (2 ) y ? log2 x

2.比较下列各组中,两个值的大小: (1) loga5.1与 loga5.9 (2) log23.4与 log28.5 (3) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

(1)解: ①若a>1则函数在区间(0,+∞)上递增.

∵5.1<5.9
∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间(0,+∞)上递减. ∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 > loga5.9

规律
比较两个同底对数值的大小时: 1.观察底数是大于1还是小于1;




( a>1时为增函数0<a<1时为减函数) 2.比较真数值的大小;

3.根据单调性得出结果。

你能口答吗?

变一变还能口答吗?
3、若log3 m ? log3 n,则m___n; <

< log0.5 4 1、 log0.5 6 ______
2、 log1.5 1.6______ > log1.5 1.4

4、若log0.7 m ? log0.7 n 则m___n. >

教 学 总 结
?对数函数的定义 ?对数函数图象作法 对数函数性质

作业: P74.习题2.2

7 ,8


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