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2015年最新高考总复习高三文科数学作业第3篇 第7讲


第7讲

解三角形应用举例

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40° , 灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的 A.北偏东 10° C.南偏东 10° 解析 B.北偏西 10° D.南偏西 10° ( ).

/>
灯塔 A,B 的相对位置如图所示,由已知得∠ACB

=80° ,∠CAB=∠CBA=50° ,则 α=60° -50° =10° ,即 北偏西 10° . 答案 B

2.在某个位置测得某山峰仰角为 α,对着山峰在水平地面上前进 900 m 后测得 仰角为 2α,继续在水平地面上前进 300 3 m 后,测得山峰的仰角为 4α,则 该山峰的高度为 A.300 m C.300 3 m 解析 B.450 m D.600 m ( ).

如图所示,易知,在△ADE 中,∠DAE=2α,∠ADE=180° -4α,

AD=300 3 m,由正弦定理,得 900 300 3 sin 4α= sin 2α , 3 解得 cos 2α= 2 , 1 3 则 sin 2α=2,sin 4α= 2 , 3 所以在 Rt△ABC 中山峰的高度 h=300 3sin 4α=300 3× 2 =450(m). 答案 B

3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两 观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45° ,30° ,在水平面上测得电 视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120° ,甲、乙两地相距 500 m, 则电视塔的高度是 A.100 2 m C.200 3 m 解析 B.400 m D.500 m ( ).

由题意画出示意图,设塔高 AB=h m,在 Rt△ABC

中,由已知得 BC=h m,在 Rt△ABD 中,由已知得 BD= 3 h m ,在△ BCD 中,由余弦定理 BD2 = BC2 + CD2 - 2BC· CDcos∠BCD,得 3h2=h2+5002+h· 500,解得 h= 500(m). 答案 D

4.(2014· 广州调研)如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上, 石堤的倾斜角为 α,则坡度值 tan α 等于 ( ).

231 A. 5 231 C. 16 解析

5 B.16 11 D. 5

由题意,可得在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且

∠α+∠ACB=π. 由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,即 3.52=1.42 5 231 +2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α), 解得 cos α=16, 所以 sin α= 16 , 所以 tan sin α 231 α=cos α= 5 . 答案 A

5. (2013· 哈尔滨模拟)如图, 两座相距 60 m 的建筑物 AB, CD 的高度分别为 20 m,

50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 ( ).

A.30° C.60° 解析

B.45° D.75°

依题意可得 AD=20 10 m,AC=30 5 m,又 CD=50 m,所以在

AC2+AD2-CD2 △ ACD 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 cos ∠ CAD = = 2AC· AD ?30 5?2+?20 10?2-502 6 000 2 = = 2 ,又 0° <∠CAD<180° ,所以∠CAD= 2×30 5×20 10 6 000 2 45° ,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45° . 答案 B

二、填空题 6.在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠CBA=60° , 则 A,C 两点之间的距离为________千米. 解析 得 由已知条件∠CAB=75° , ∠CBA=60° , 得∠ACB=45° .结合正弦定理,

AB AC 2 AC = ,即sin 45° =sin 60° ,解得 AC= 6(千米). sin∠ACB sin∠CBA 6

答案

7.(2013· 杭州一中测试)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯 塔 S 在它的北偏东 30° 处,之后它继续沿正北方向匀速航行, 上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 处,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h. 解析 设航速为 v n mile/h,

1 在△ABS 中,AB=2v,BS=8 2 n mile, ∠BSA=45° ,

1 2v 8 2 由正弦定理,得sin 30° =sin 45° ,∴v=32 n mile/h. 答案 32

8.某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45° ,沿倾斜角为 30° 的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处, 又测得山顶的仰角为 60° , 则山的高度 BC 为________m.

解析

过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=30° ,故∠ADE=150° .

于是∠ADB=360° -150° -60° =150° .又∠BAD=45° -30° =15° , 故∠ABD=15° ,由正弦定理得 AB= = 1 000sin 150° sin 15° =500( 6+ 2)(m). ADsin∠ADB sin∠ABD

所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 45° =500( 3+1)(m). 答案 500( 3+1)

三、解答题 9.如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个 测点 C 与 D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ,求塔高 AB.



在△BCD 中,∠CBD=π-α-β, BC CD = , sin∠BDC sin∠CBD

由正弦定理得 所以 BC=

CDsin∠BDC s· sin β = , sin∠CBD sin?α+β?

在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=

stan θsin β . sin?α+β?

10. (2014· 石家庄模拟)已知岛 A 南偏西 38° 方向,距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉 私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22° 方向行驶, 问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 小时能截住该走私船? ? 5 3 3 3? ?参考数据:sin 38° = 14 ,sin 22° = 14 ? ? ?



如图,设缉私艇在 C 处截住走私船,D 为岛 A 正

南方向上一点,缉私艇的速度为每小时 x 海里,则 BC =0.5 x,AC=5 海里,依题意,∠BAC=180° -38° - 22° =120° , 由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 120° , 所以 BC2=49,BC=0.5 x=7,解得 x=14. AC· sin∠BAC 又由正弦定理得 sin∠ABC= = BC 3 5× 2 5 3 = 7 14 ,

所以∠ABC=38° ,又∠BAD=38° ,所以 BC∥AD, 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5 小时截住该走 私船. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高 度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北 偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的

高度是 A.50 m C.120 m 解析

(

).

B.100 m D.150 m

设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,

AB=100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° , 即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 答案 A

2.如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° ,测得湖中之影 的俯角为 45° ,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m) ( ).

A.2.7 m C.37.3 m 解析 在△ACE 中,

B.17.3 m D.373 m

CM-10 CE CM-10 tan 30° = AE = AE .∴AE= tan 30°(m). DE CM+10 在△AED 中,tan 45° = AE = AE , CM+10 CM-10 CM+10 ∴AE= tan 45°(m),∴ tan 30°= tan 45°, ∴CM= 答案 10? 3+1? =10(2+ 3)≈37.3(m). 3-1

C

二、填空题 3.如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条 索道 AC.小明在山脚 B 处看索道 AC, 此时张角∠ABC=120° ; 从 B 处攀登 200 米到达 D 处,回头看索道 AC,此时张角∠ADC=150° ;从 D 处再攀登 300 米到达 C 处.则石竹山这条索道 AC 长为________米.

解析

在△ABD 中,BD=200 米,∠ABD=120° .

因为∠ADB=30° ,所以∠DAB=30° . 由正弦定理,得 BD AD = , sin∠DAB sin∠ABD

200 AD 所以sin 30° =sin 120° . 所以 AD= 200×sin 120° sin 30° =200 3(米).

在△ADC 中,DC=300 米,∠ADC=150° , 所以 AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC=(200 3)2+3002-2×200 3 ×300×cos 150° =390 000,所以 AC=100 39(米).故石竹山这条索道 AC 长 为 100 答案 39米. 100 39

三、解答题 4.(2014· 武汉二模)如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 千米/ 时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向 ),汽车开动的同时,在 距汽车出发点 O 点的距离为 5 千米、 距离公路线的垂直距离为 3 千米的 M 点 的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人 至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多 少千米?



作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3 千米,

4 ∵OM=5 千米,∴OI=4 千米,∴cos∠MOI=5.设骑摩托车的人的速度为 v

千米/时,追上汽车的时间为 t 小时. 4 由余弦定理,得(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×5, 25 400 ?1 ? 即 v2= t2 - t +2 500=25? t -8?2+900≥900, ? ? 1 ∴当 t=8时,v 取得最小值为 30, 30 15 ∴其行驶距离为 vt= 8 = 4 千米. 故骑摩托车的人至少以 30 千米/时的速度行驶才能实现他的愿望,此时他驾 15 驶摩托车行驶了 4 千米.


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