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人教版高数必修三第6讲:分层抽样(教师版)

时间:2018-04-25


分层抽样

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1.理解分层抽样的概念,掌握其实施步骤,培养学生发现问题和解决问题的能力; 2.掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系,提高学生的总结和归纳能力,让学生领 会到客观世界的普遍联系性.

1.简单随机抽样和系统抽样两种抽样方法都适合总体中个体分布较为均匀的总体的抽样问题, 简单随机抽样适合个体_______的总体的抽样,而系统抽样适合个体______的总体的抽样. 但是,当总体中的个体之间差异较大,分成具有明显差异的几部分时,如果利用上述两种抽样 的方法都不能保证抽出的样本具有很好的代表性,这就迫切需要一种更为合理的抽样方法,就是本 节要学习的______抽样.在学习过程中,一是要把握分层抽样方法的特点;二是要与前面的两种抽 样方法对比学习,加深对三种抽样方法的理解. 较少 较多 分层 2.分层抽样 (1)定义: 一般地, 在抽样时, 将总体分成_________的层, 然后按照一定的______, 从各层______ 地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体_________作为样本,这种抽样的方法是一种分层抽样. (2)步骤: ①分层:按_________将总体分成若干部分(层); ②按_________确定每层抽取个体的个数; ③各层分别按______________或___________的方法抽取样本; ④综合每层抽样,组成样本. 互不交叉 比例 独立 合在一起 某种特征 抽样比 简单随机抽样 系统抽样 3. 分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求: (1)分层: 将相似的个体归入一类, 即为一层, 分层要求每层的各个个体互不交叉, 遵循不重复、 不遗漏的原则.
1

(2)分层抽样为保证每个个体都等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样或系统抽样,每 层样本数量与每层个体数量的比和样本容量与总体容量的比相等. (3)当总体由差异明显的几部分组成时,往往采用分层抽样. 4.三种抽样方法的区别与联系 为了方便使用,这里以表格的形式给出三种抽样方法的对比: 类别 简单随机抽样 共同点 (1) 抽 样 过 程 中每个个体被 抽到的可能性 系统抽样 相等. (2) 每 次 抽 出 个体后不再将 分层抽样 它放回,即不 放回抽样. 将总体均分成几部分, 按预先确定的规则分别 在各部分抽取. 将总体分成几层,在各 层中按同一抽样比抽 样. 在起始部分抽样 时,采用简单随机 抽样. 在各层抽样时,采 用简单随机抽样或 系统抽样. 各自特点 从总体中逐个抽取 相互联系 适用范围 总体中的个体 数较少. 总体中的个体 数较多. 总体由差异明 显的几部分组 成.

类型一 分层抽样的概念 例 1:(1)如果采用分层抽样,从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本,那么每个个体 被抽到的可能性为( 1 A. ) B. 1

N

n

C.

n N

D. )

N n

(2)下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是( A.从 10 名同学中抽取 3 人参加座谈会

B.某社区有 500 个家庭,其中高收入的家庭 125 个,中等收入的家庭 280 个,低收入的家庭 95 个,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 的样本 C.从 1000 名工人中,抽取 100 名调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量 [解析] (1)根据每个个体都等可能入样,所以其可能性为样本容量与总体容量比,即为 . (2)A 中总体个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样;C 和 D 中总体个体无明显差异 且个数较多,适合用系统抽样;B 中总体个体差异明显,适合用分层抽样. [答案] (1)C (2)B 练习 1:某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中 任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查,这种抽样方法是( A.简单随机抽样法 [答案] D 练习 2:对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层
2

n N

) D.分层抽样法

B.抽签法

C.随机数表法

抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2、p3,则( A.p1=p2<p3 [答案] D ) B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3

)

练习 3:某学校有男、女学生各 500 名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存 在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( A.抽签法 [答案] D B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法

类型二 分层抽样各层中样本容量的计算 例 2:一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初 级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容 量为 40 的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是( A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 [解析] 由题意, 各种职称的人数比为 ) D.8,16,10,6 = , 所以抽取的具有高、

4 8 5 3 中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为 40× =8,40× =16,40× =10,40× =6. 20 20 20 20 [答案] D 练习 1:某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方 法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( A.100 [答案] A 练习 2:甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量 为 80 的样本进行质量检测,若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 ________件. [答案] 1800 练习 3:有一批产品,其中一等品 10 件,二等品 25 件,次品 5 件,用分层抽样从这批产品中 抽出 8 件进行质量分析,则抽样比为________. [答案] 2:5:1 类型三 分层抽样的操作步骤 例 3:一个单位有职工 160 人,其中有业务人员 112 人,管理人员 16 人,后勤服务人员 32 人, 为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本,写出用分层抽样的方法抽取样本的过 程. [解析] 分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配, 确定各层抽取的个体数之后, 可 采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体. [答案] 三部分所含个体数之比为 112:16:32=7:1:2,设三部分各抽个体数为 7x,x,2x, 则由 7x+x+2x=20 得 x=2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为 14,2 和 4. 对 112 名业务人员按系统抽样分成 14 个部分,其中每个部分包括 8 个个体,对每个部分利用简 单随机抽样抽取个体.若将 160 名人员依次编号为 1,2,3,…,160.那么在 1~112 名业务人员中第一 部分的个体编号为 1~8.从中随机取一个号码,如它是 4 号,那么可以从第 4 号起,每隔 8 个抽取 1 个 号 码 , 这 样 得 到 112 名 业 务 人 员 被 抽 出 的 14 个 号 码 依 次 为 4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.
3

)

B.150

C.200

D.250

再用签法可抽出管理人员和服务人员的号码. 将以上各层抽出的个体合并起来,就得到容量为 20 的样本. 练习 1:某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年 级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取________名学生. [答案] 60 练习 2: 某政府机关有在编人员 100 人, 其中科级以上干部 10 人, 科员 70 人, 办事员 20 人. 上 级机关为了了解他们对政府机构改革的看法,要从中抽取一个容量为 20 的样本,试确定用何种方法 抽取,并写出具体的抽样过程. [答案] 因为个体差异较大,而且机构改革关系到各人的不同利益,故采用分层抽样法抽取. 抽样过程如下: 20 1 第一步,确定抽样比: = . 100 5 第二步,确定各层抽取的人数: 1 从科级以上干部中抽取 10× =2(人); 5 1 从科员中抽取 70× =14(人); 5 1 从办事员中抽取 20× =4(人). 5 第三步, 在各层中分别用简单随机抽样抽取, 抽取科级以上干部 2 人, 科员 14 人, 办事员 4 人. 第四步,将所抽取的个体组合在一起构成样本. 类型四 三种抽样方法的比较 例 4: (2013· 新课标全国Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取 部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 ) D.系统抽样

[解析] 由于该地区的中小学生人数比较多,不能采用简单随机抽样,所以排除选项 A;由于该 地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,可采取按照学段进行分层抽样,而男 女生视力情况差异不大,不能按照性别进行分层抽样,所以排除 B 和 D. [答案] C 练习 1:在一批电视机中,有甲厂生产的 56 台, 乙厂生产的 42 台,用分层抽样的方法从中抽 取一个容量为 14 的样本. [答案] (1)确定各厂被抽取电视机的台数. 14 1 抽样比为 = . 56+42 7 1 故从甲厂抽取 56× =8(台), 7 1 从乙厂抽取 42× =6(台). 7
4

(2)用简单随机抽样抽取各厂作为样本的电视机. (3)合成每层抽样,组成样本. 练习 2:某社区有 700 户家庭,其中高收入家庭 225 户,中等收入家庭 400 户,低收入家庭 75 户.为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 户的样本,记作①;某中学高二 年级有 12 名篮球运动员,要从中选出 3 人调查投篮命中率情况,记作②;从某厂生产的 802 辆轿车 中抽取 40 辆测试某项性能,记作③.为完成上述三项抽样,则应采取的抽样方法是( A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①分层抽样,②简单随机抽样,③系统抽样 C.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 [答案] B 练习 3:某单位有老、中、青年人各 32 人,50 人,20 人,现用分层抽样从三个群体中共抽取 20 人进行某项调查,问:老、中、青每组应各抽取多少人?每人被抽中的机会是否相等? [答案] 先从老年人中随机剔除 2 人,余下的三个群体人数比为 分别为 6 人,10 人,4 人.每人被抽中的机会相等. ,从三组中各抽取人数 )

1.某市为了了解职工家庭生活状况,先把职工按所从事的行业分为 8 类(每类家庭数不完全相 同),再对每个行业抽取的职工家庭进行调查,这种抽样方法是( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.不属于以上几类抽样 [答案] C 2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法 在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽 取的人数为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 [答案] B 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件.为了解 它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从 丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( ) A.9 B.10 C.12 D.13 [答案] D 4.从某地区 15 000 位老人中按性别分层抽取一个容量为 500 的样本,调查其生活能否自理的 情况如下表所示.

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( A.60 B.100 C.1 500

)

D.2 000

[答案] A 5.一个单位有职工 160 人,其中业务人员 120 人,管理人员 16 人,后勤服务人员 24 人.为了 了解职工的家庭收入情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本,请确定抽样方法,并简述抽样过程.
5

[答案] 用分层抽样抽取样本,步骤是: (1)分层,分成三层:业务人员 120 人,管理人员 16 人,后勤服务人员 24 人. 20 1 (2)确定各层抽取的样本个数,抽样比为 = . 160 8 1 则从业务人员中抽取 120× =15(人). 8 1 从管理人员中抽取 16× =2(人). 8 1 从后勤服务人员中抽取 24× =3(人). 8 (3)在各层中分别用简单随机抽样或系统抽样抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本.

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基础巩固 一、选择题 1.分层抽样适合的总体是( A.总体容量较多 C.总体中个体有差异 [答案] C 2.某学院有四个饲养房,分别养有 18、54、24、48 只白鼠供试验用,某项试验需抽取 24 只白 鼠,你认为最合适的抽样方法为( A.在每个饲养房中各抽取 6 只 B.把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈,用随机抽样的方法确定 24 只 C.在四个饲养房分别随手抽取 3、9、4、8 只 D.先确定在这四个饲养房应分别抽取 3、9、4、8 只,再由各饲养房自己加号码颈圈,用简单 随机抽样法确定各自要抽取的对象 [答案] D [解析] 依据公平性原则, 根据实际情况确定适当的取样方法是本题的灵魂. A 中对四个饲养房 平均摊派,但由于各饲养房所养数量不一,反而造成了各个个体被入选几率的不均衡,是错误的方 法; B 中保证了各个个体被入选几率的相等, 但由于没有注意到在四个不同环境中会产生不同差异, 不如采取分层抽样可靠性高,且统一编号统一选择加大了工作量;C 中总体采用了分层抽样,但在
6

) B.样本容量较多 D.任何总体

)

每个层次中没有考虑到个体的差异(如健壮程度,灵活程度),貌似随机,实则各个个体被抽取到的几 率不等,故选 D. 3.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解 该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容 量为( A.7 C.25 [答案] B [解析] 由题意知,青年职工人数 中年职工人数 老年职工人数=350:250:150=7:5:3. ) B.15 D.35

由样本中的青年职工为 7 人,得样本容量为 15. 4.(2015· 北京师大附中月考)某橘子园有平地和山地共 120 亩,现在要估计平均亩产量,按一定 的比例用分层抽样的方法共抽取 10 亩进行调查,如果所抽山地的亩数是平地亩数的 2 倍多 1,则这 个橘子园的平地与山地的亩数分别为( A.45,75 C.36,84 [答案] C [解析] 本题考查分层抽样方法.根据条件知所抽山地的亩数为 7,所抽平地的亩数为 3,则橘 子园中山地的亩数为 84,平地的亩数为 36,故选 C. 5.问题:①有 1 000 个乒乓球分别装在 3 个箱子内,其中红色箱子内有 500 个,蓝色箱子内有 200 个,黄色箱子内有 300 个,现从中抽取一个容量为 100 的样本;②从 20 名学生中选出 3 名参加 座谈会. 方法:Ⅰ.简单随机抽样;Ⅱ.系统抽样;Ⅲ.分层抽样.其中问题与方法能配对的是( A.①Ⅰ,②Ⅱ C.①Ⅱ,②Ⅲ [答案] B [解析] 对于①,由于箱子颜色差异较为明显,可采用分层抽样法抽取样本;对于②,由于总体 容量、样本容量都较小,宜采用简单随机抽样. 6.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、 20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则 抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( A.4 C.6 [答案] C 1 [解析] 四类食品的比例为 4:1:3:2,则抽取的植物油类的数量为 20× =2,抽取的果蔬类 10 ) B.5 D. 7 B.①Ⅲ,②Ⅰ D.①Ⅲ,②Ⅱ ) ) B.40,80 D.30,90

7

2 的数量为 20× =4,二者之和为 6,故选 C. 10 二、填空题 7.防疫站对学生进行身体健康调查.红星中学共有学生 1 600 名,采用分层抽样法抽取一个容 量为 200 的样本.已知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是________. [答案] 760 200 1 1 1 [解析] 设该校的女生人数是 x,则男生人数是 1 600-x,抽样比是 = ,则 x= (1 600- 1 600 8 8 8 x)-10,解得 x=760. 8.某地有居民 100000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户.从普通家庭中以简 单随机抽样方式抽取 990 户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 100 户进行调查,发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通家庭 50 户,高收入家庭 70 户.依据这些数据并结 合所掌握的统计知识, 你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________. [答案] 5.7% 50 70 [解析] 该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭可以估计有 99 000× +1 000× =5 700 户, 990 100 所以所占比例的合理估计是 5 700÷ 100 000=5.7%. 三、解答题 9.一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取一 个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取 什么样的方法?并写出具体过程. [探究] 采用分层抽样的方法. [解析] 因为疾病与地理位置和水土均有关系, 所以不同乡镇的发病情况差异明显, 因而应采用 分层抽样的方法.具体过程如下: (1)将 3 万人分成 5 层,一个乡镇为一层. (2)按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本: 3 2 300× =60(人),300× =40(人), 15 15 5 2 300× =100(人),300× =40(人), 15 15 3 300× =60(人). 15 各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为 60,40,100,40,60. (3)将抽取的这 300 人组到一起,即得到一个样本. 10.为了对某课题进行讨论研究,用分层抽样的方法从三所高校 A、B、C 的相关人员中,抽取 若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) 高校 A 相关人数 x
8

抽取人数 1

B C (1)求 x,y;

36 54

y 3

(2)若从高校 B 相关的人中选 2 人作专题发言,应采用什么抽样法,请写出合理的抽样过程. x 1 36 [解析] (1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的,所以有: = ?x=18, = 54 3 54 y ?y=2,故 x=18,y=2. 3 (2)总体容量和样本容量较小,所以应采用抽签法,过程如下: 第一步,将 36 人随机的编号,号码为 1,2,3,…,36; 第二步,将号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签; 第三步, 将号签放入一个不透明的容器中, 充分搅匀, 依次抽取 2 个号码, 并记录上面的编号; 第四步,把与号码相对应的人抽出,即可得到所要的样本. 能力提升 一、选择题 1.(2015· 石家庄高一检测)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、 150 个销售点. 公司为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调查为①;在丙地区有 10 个特大型销售点,要从中抽取 7 个销售点调查其销售收入和售后服 务等情况,记这项调查为②,则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次为( A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 [答案] B [解析] 由调查①可知个体差异明显,故宜用分层抽样;调查②中个体较少,故宜用简单随机抽 样. 2.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表所示: 一年级 女生 男生 373 377 二年级 380 370 三年级 y z ) )

现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( A.24 C.16 [答案] C B.18 D.12

[解析] 一年级的学生人数为 373+377=750,二年级的学生人数为 380+270=750,于是三年 级的学生人数为 2000-750-750=500,那么三年级应抽取的人数为 500×
9

64 =16. 2000

3.(2015· 河北衡水中学高一调研)某初级中学有 270 人,其中七年级 108 人,八、九年级各 81 人.现在要抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,将学 生按年级从低到高的顺序依次统一编号为 1,2,…,270.如果抽得的号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 则下列结论正确的是( )

A.②③都不可能为系统抽样 B.②④都不可能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都能为分层抽样 [答案] D [解析] 因为一、二、三年级的人数之比为 108:81:81=4:3:3,又因为共抽取 10 人,根据 系统抽样和分层抽样的特点可知,①②③都可能为分层抽样,②④不可能为系统抽样,①③可能为 系统抽样,故选 D. 4.在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作为样本. ①采用随机抽样法,将零件编号为 00,01,…,99,抽签取出 20 个; ②采用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后每组中随机抽取 1 个; ③采用分层抽样法,从一级品中随机抽取 4 个,从二级品中随机抽取 6 个.从三级品中随机抽 取 10 个,对于上述抽样方式,下面说法正确的是( )

1 A.不论哪一种抽样方法,这 100 个零件中每一个个体被抽到的概率都是 5 1 B.①②两种抽样方法中,这 100 个零件每一个个体被抽到的概率为 .③并非如此 5 1 C.①③两种抽样方法中,这 100 个零件中每一个个体被抽到的概率为 ,②并非如此 5 D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的 [答案] A [解析] 虽然三抽样方式、方法不同,但最终每个个体被抽取的机会是均等的,这正说明了三种 抽样方法的科学性和可行性. 二、填空题 5.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样 法,将全体职工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号,6~10 号…,196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则 40 岁 以下年龄段应抽取________人.
10

[答案] 37

20

[解析] 由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,所以第 8 组抽出的号码 为 22+(8-5)×5=37. 40 40 岁以下年龄段的职工数为 200×0.5=100,则应抽取的人数为 ×100=20 人. 200 6.一工厂生产了某种产品 16 800 件,它们来自甲、乙、丙 3 条生产线.为检查这批产品的质 量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙 3 条生产线抽取的个体数分别是 a,b, c,且 2b=a+c,则乙生产线生产了________件产品. [答案] 5600 [解析] 设甲、乙、丙 3 条生产线各生产了 T 甲、T 乙、T 丙件产品,则 a:b:c=T 甲:T 乙:T 丙, 即 a b c = = =k.又因为 2b=a+c, T甲 T乙 T丙
? ?T甲+T丙=2T乙, 16800 所以? ,所以 T 乙= =5600. 3 ?T甲+T乙+T丙=16800 ?

三、解答题 7.某单位有 2000 名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中, 如下表所示: 人数 老年 中年 青年 小计 管理 40 80 40 160 技术开发 40 120 160 320 营销 40 160 280 480 生产 80 240 720 1040 小计 200 600 1200 2000

(1)若要抽取 40 人调查身体情况,则应该怎样抽样? (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人? (3)若要抽 20 人调查对巴西世界杯筹备情况的了解,则应怎样抽样? [解析] (1)因为身体状况主要与年龄段有关,所以应按老年、中年、青年分层,采用分层抽样

法进行抽样,要抽取 40 人,应在老年、中年、青年职工中分别抽取 4,12,24 人. (2)因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门,所以应按部门分层,采用分层抽样的方法 进行抽样,要抽取 25 人,应在管理、技术开发、营销、生产各部门的职工中分别随机抽取 2,4,6,13 人. (3)对巴西世界杯筹备情况的了解与年龄、 部门关系不大, 可以用系统抽样或简单随机抽样进行. 8.为了考察某校的教学水平,将对这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考察, 为了全面地反映实际情况,采取以下三种方式进行抽查:(已知该校高三年级共有 20 个教学班,并
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且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同) (1)从全年级 20 个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取 20 人,考察他们的学习成绩; (2)每个班都抽取 1 人,共计 20 人,考察这 20 个学生的成绩; (3)把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从其中共抽取 100 名学生进行考察.(已知若 按成绩分,该校高三学生中优秀生共 150 人,良好生共 600 人,普通生共 250 人) 根据上面的叙述,试回答下列问题. (1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什么?每一种抽取方式抽取的样本中,其 样本容量分别是多少? (2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法? (3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤. [探究] 本题目主要考查数理统计中一些基本的概念和基本方法. 做这种题目时, 应该注意叙述 的完整和条理. [解析] (1)这三种抽取方式中,其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩,个体都是

指高三年级每个学生本年度的考试成绩. 其中第一种抽取方式中样本为所抽取的 20 名学生本年度的 考试成绩,样本容量为 20;第二种抽取方式中样本为所抽取的 20 名学生本年度的考试成绩,样本 容量为 20;第三种抽取方式中样本为所抽取的 100 名学生本年度的考试成绩,样本容量为 100. (2)上面三种抽取方式中,第一种方式采用的方法是简单随机抽样法;第二种方式采用的方法是 系统抽样法和简单随机抽样法;第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法. (3)第一种方式抽样的步骤如下: 第一步,首先在这 20 个班中用抽签法任意抽取一个班. 第二步,然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取 20 名学生,考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下: 第一步,首先在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取某一学生,记其学号为 a. 第二步,在其余的 19 个班中,选取学号为 a 的学生,共计 19 人. 第三种方式抽样的步骤如下: 第一步,分层. 因为若按成绩分,其中优秀生共 150 人,良好生共 600 人,普通生共 250 人,所以在抽取样本 时,应该把全体学生分成三个层次. 第二步,确定各个层次抽取的人数. 因为样本容量与总体的个体数比为 150 600 250 , , ,即 15,60,25. 10 10 10 第三步,按层次分别抽取: 在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人; 在良好生中用系统抽样法抽取 60 人; 在普通生中用简单随机抽样法抽取 25 人.
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,所以在每个层次抽取的个体数依次为

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