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广东数学高考文科立体几何大题汇总


【立体几何高考复习专题】

1. (本小题满分 13 分) 如图 4, 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB, AC 边上的点,AD ? AE ,F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

2 A ? BCF ,其中 BC ? . 2

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ;
A

A

G

E

2 (3) 当 AD ? 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
【解析】 (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE
D G E

D F C

?

AD AE ? , 在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中 DB EC

B

F 图 4

C

B

也成立,? DE / / BC ,

DE ? 平面 BCF ,

图 5

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ?

1 . 2

2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2

BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324
【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平 面几何的内容.

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【立体几何高考复习专题】

2. (本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2

(1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB.

解: (1)

? PH为?P AD中的高 ? PH ? AD 又AB ? 面P AD, PH ? 平面P AD ? PH ? AB AB ? AD ? A 所以P H ? 平面ABCD

(2):过 B 点做 BG

BG ? CD,垂足为G ;

连接 HB, 取 HB 中点 M,连接 EM,则 EM 是 ?BPH 的中位线

?由(1)知:PH ? 平面ABCD

? EM ? 平面ABCD ?EM ? 平面BCF
即 EM 为三棱锥 E - BCF 底面上的高

EM=

1 1 PH ? 2 2

S ?BCF ?

1 1 2 FC ? BG = ? 1 ? 2 ? 2 2 2

1 VE ? BCF ? ? S BCF ? EM 3 1 2 1 ? ? ? 3 2 2 2 ? 12

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【立体几何高考复习专题】

(3) :取 AB 中点 N,PA 中点 Q,连接 EN,FN, EQ,DQ
? AB // CD , CD ? 平面P AD ? AB ? 平面P AD , PA ? 平面P AD ? AB ? PA 又 ? EN是?P AB 的中位线 ? EN // PA ? AB ? EN 1 又 ? DF ? AB 2 ?四边形NADF是距形 ? AB ? FN EN ? FN ? N

? AB ? 平面NEF 又EF ? 平面NEF ? EF ? AB

3. (本小题满分 13 分) 图 5 所示的集合体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆 柱沿过轴的平面切开后, 将其中一半沿切面向右水平平移

?四边形NADF是距形 后得到的.A,A′, B, B′分别为 CD , C ' D' , DE , D' E ' 的 ? AB ? NF ' O1 , O1' , O2,O2 中点, 分别为 CD, C ' D ', DE, D ' E ' 的中点. NF ? NE ? N ? AB ? 平面NEF
(1)证明: O1' , A' , O2 , B 四点共面;

' ' ' ' ' (2) 设 G 为 A A′中点, 延长\ AO 使得 O1' H ' ? AO 证明:BO2 ? 平面H ' B'G' 1 到 H′, 1.

证明: (1) 点,

A, A?分别为CD, C?D? 中

? O1? A? / / O1 A
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【立体几何高考复习专题】

连接 BO2 直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到

? AO1 / / BO2
? O1? A? / / BO2 ? O1? , A?, O2 , B 共面。
(2)将 AO1 延长至 H 使得 O1 H=O1 A,连接 HO1? , HB, H ?H // ?由平移性质得 O1?O2? =HB

? BO2? / / HO1?

? A?G ? H ?O1? , H ?H ? A?H ?, ?O1? H ?H ? ?GA?H ? ? 2
? ?GA?H ? ? ?O1? H ?H

? ?H ?O1? H ? GH ?A ?
? O1? H ? H ?G ? BO2? ? H ?G

?
2

O1?O2? ? B ?O2? , O1?O2? ? O2?O2 , B ?O2? ? O2?O2 ? O2? ? O1?O2? ? 平面B ?BO2 O2? ? O1?O2? ? BO2? ? BO2? ? H ?B ?

H ?B? ? H ?G ? H ?
? BO2? ? 平面H ?B ?G.

4.(本小题满分 14 分)

w _w . k#s w 5_u c o* . m

如图 4, 弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径, 点E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, 平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ;
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【立体几何高考复习专题】

(2)求点 B 到平面 FED 的距离.

w _w *w . k_ s _5u c *o . *m

5. (本小题满分 14 分) (1)证明 : ∵点 E 为 AC 的中点,且 AB ? BC , AC 为直径 ∴ EB ? AC

FC ? 平面BED
,且 BE ? 平面BED ∴ FC ? BE ∵FC∩AC=C ∴BE⊥平面 FBD ∵FD∈平面 FBD ∴EB⊥FD ( 2 )解:∵ FC ? 平面 BED, 且 BD ? 平面BED ∴ FC ? BD 又∵ BC ? DC ∴ FD ? FB ? 5a ∴VF ? EBD ?

1 1 1 2a 3 S FED EB ? 2a 5a 2 ? a 2 a ? 3 3 2 3

∵ EB ? 平面BDF , 且FB ? 平面BDF

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【立体几何高考复习专题】

6.(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF

? cm ?
2

? PO ? HF

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;
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【立体几何高考复习专题】

7. (本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 P

BD 是圆的直径, ?ABD ? 60 , ?BDC ? 45 , △ ADP ∽△BAD .
(1)求线段 PD 的长; (2)若 PC ? 11R ,求三棱锥 P ? ABC 的体积. .解: (1) A B C 图5 D

BD 是圆的直径

??BAD ? 90 ,又 △ ADP ∽△BAD ,

3 AD ( BD sin 60 ) 4 ? 3R DP ? ? ? AD DP 1 BA ( BD sin 30 ) ? ? 2R ? BA AD , 2 ;
2 2

4R2 ?

(2)在 Rt△BCD 中, CD ? BD cos 45 ?

2R

PD2 ? CD2 ? 9R2 ? 2R2 ? 11R2 ? PC 2

? PD ? CD ,又 ?PDA ? 90
? PD ? 底面 ABCD

S△ ABC ?

1 1 AB BC sin(60 ? 45 ) ? R 2 2

? 3 2 1 2? 3 ?1 2 2R ? ? ? ? ? R ? ? 2 ? 2 2 2 ? 4 ?

三棱锥 P ? ABC 的体积为

VP ? ABC ?

1 1 S△ ABC PD ? 3 3

3 ?1 2 3 ?1 3 R 3R ? R 4 4

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