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标清版2016年北京理数高考试题文档版(含答案)


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷) 本试卷共 5 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合 A=错误!未找到引用

源。B=错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C) 错误!未找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。

(2)若 x,y 满足错误!未找到引用源。

?2 x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 3 ?x ? 0 ?

,则 2x+y 的最大值为

(A)0 (B)3 (C)4 (D)5 (3)执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)设 a,b 是向量,则“ a ? b ”是“ a ? b ? a ? b ”的

(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知 x,y 错误!未找到引用源。R,且 x 错误!未找到引用源。y 错误!未找到引用源。o,则
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(A)错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。 (D)lnx+lny 错误!未找到引

(-错误!未找到引用源。0

用源。 (6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

(A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)1

(7)将函数错误!未找到引用源。图像上的点 P(错误!未找到引用源。 个单位长度得到点 P′.若 P′位于函数错误!未找到引用源。的图像上,则 (A)t=错误!未找到引用源。 ,s 的最小值为错误!未找到引用源。 用源。 ,s 的最小值为错误!未找到引用源。 (C)t=错误!未找到引用源。 ,s 的最小值为错误!未找到引用源。 用源。 ,s 的最小值为错误!未找到引用源。

,t

)向左平移 s(s﹥0)

(B)t=错误!未找到引

(D)t=错误!未找到引

(8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球, 将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直 到袋中所有球都被放入盒中,则 (A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 (C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 设 a 错误! 未找到引用源。 R, 若复数 (1+i) (a+i) 在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a=_______________。 (10)在错误!未找到引用源。的展开式中,错误!未找到引用源。的系数为__________________.(用数 字作答) (11)在极坐标系中,直线错误!未找到引用源。与圆错误!未找到引用源。交于 A,B 两点, 则 错误!未找到引用源。=____________________.
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(12)已知错误!未找到引用源。为等差数列,错误!未找到引用源。为其前 n 项和,若错误!未找到引 用源。 ,错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。. (13)双曲线 错误!未找到引用源。的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲 线的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=_______________. (14)设函数错误!未找到引用源。 ①若 a=0,则 f(x)的最大值为____________________; ②若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是_________________。 三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题 13 分) 在 ? ABC 中, a ? c ? b ? 2ac
3 3 3

(I)求 ? B 的大小 (II)求 2 cos A ? cos C 的最大值 (16) (本小题 13 分)A、B、C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得 了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时) ; A班 B班 C班 6 6 3 6.5 7 4.5 7 8 6 7.5 9 7.5 8 10 9 11 10.5 12 12 13.5

(I) 试估计 C 班的学生人数; (II) 从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙,假设 所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (III)再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位:小时) , 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记错误!未找到引用源。 ,表格中数据的平均数记为 错误!未找到引用源。 ,试判断 错误!未找到引用源。 和错误!未找到引用源。的大小, (结论不要求 证明) (17) (本小题 14 分) 如 图 , 在 四 棱 PA ? PD



P-ABCD









PAD

?





ABCD



,PA=PD,AB ? AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5 ,

(I)求证:PD ? 平面 PAB; (II)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (II I)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BMll 平面 PCD?若存在,求

AM 的值;若不存在,说明理由。 AP

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(18) (本小题 13 分) 设函数 f(x)=xe e a ? x +bx,曲线 y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4, (I)求 a,b 的值; (I I) 求 f(x)的单调区间。 (19) (本小题 14 分) 已知椭圆 C:

X 2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0) ,△OAB 的面积为 1. 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的方程; (I I)设 P 的椭圆 C 上一点,直线 PA 与 Y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N。 求证:lANl ? lBMl 为定值。 (20) (本小题 13 分) 设数列 A: a1 , a2 ,? aN (N≥2)。如果对小于 n(2≤n≤N)的每个正整数 k 都有 ak < an ,则称 n 是 数列 A 的一个“G 时刻” 。记“G(A)是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合。 (I)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G(A)的所有元素; (I I)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ,则 G(A) ? ? ; (I I I)证明:若数列 A 满足 an - an ?1 ≤1(n=2,3, ?,N),则 G(A)的元素个数不小于 aN - a1 。

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)A (8)B 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ? 1 (10) 60 (11) 2 (12) 6 (13) 2 (14) 2

(??,?1)

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

a 2 ? c2 ? b2 2ac 2 ? ? 解: (Ⅰ)由余弦定理及题设得 cos B ? . 2ac 2ac 2
又因为 0 ? ?B ? ? ,所以 ?B ?

?
4

.

第 4 页 共 4 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?A ? ?C ?

3? . 4

2 cos A ? cos C ? 2 cos A ? cos(

3? ? A) 4

? 2 cos A ?
因为 0 ? ?A ?

2 2 2 2 ? cos A ? sin A ? cos A ? sin A ? cos(A ? ) , 2 2 2 2 4

? 3? ,所以当 ?A ? 时, 2 cos A ? cosC 取得最大值 1 . 4 4

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由题意知,抽出的 20 名学生中,来自 C 班的学生有 8 名.根据分层抽样方法, C 班的学生人数估 计为 100 ?

8 ? 40 . 20

(Ⅱ)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人” , i ? 1,2,? ? ?,5 , 事件 C j 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人” , j ? 1,2,? ? ?,8 ,

1 1 , i ? 1,2,? ? ?,5 ; P (C j ) ? , j ? 1,2,? ? ?,8 . 5 8 1 1 1 P( Ai C j ) ? P( Ai ) P(C j ) ? ? , i ? 1,2,? ? ?,5 , j ? 1,2,? ? ?,8 . 5 8 40 设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,
由题意可知, P ( Ai ) ?

E ? A1C1 ? A1C2 ? A2C1 ? A2C2 ? A2C3 ? A3C1 ? A3C2 ? A3C3 ? A4C1 ? A4C2 ? A4C3 ? A5C1 ? A5C2 ? A5C3 ? A5C4
因此

P( E) ? P( A1C1 ) ? P( A1C2 ) ? P( A2C1 ) ? P( A2C2 ) ? P( A2C3 ) ? P( A3C1 ) ? P( A3C2 ) ? P( A3C3 )
? P( A4C1 ) ? P( A4C2 ) ? P( A4C3 ) ? P( A5C1 ) ? P( A5C2 ) ? P( A5C3 ) ? P( A5C4 ) ? 15 ?
(17) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ? AD , 所以 AB ? 平面 PAD . 所以 AB ? PD . 又因为 PA ? PD , 所以 PD ? 平面 PAB . (Ⅱ)取 AD 的中点 O ,连结 PO, CO . 因为 PA ? PD ,所以 PO ? AD . 又因为 PO ? 平面 PAD ,平面 PAD ? 平面 ABCD , 所以 PO ? 平面 ABCD . 因为 CO ? 平面 ABCD ,所以 PO ? CO . 因为 AC ? CD ,所以 CO ? AD .
第 5 页 共 5 页

1 3 ? (Ⅲ) ?1 ? ?0 . 40 8

如图建立空间直角坐标系 O ? xyz .由题意得,

A(0,1,0), B(1,1,0), C (2,0,0), D(0,?1,0), P(0,0,1) .
设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

? ?n ? PD ? 0, ?? y ? z ? 0, 即? ? ? n ? PC ? 0 , ? 2 x ? z ? 0, ?
令 z ? 2 ,则 x ? 1, y ? ?2 . 所以 n ? (1,?2,2) . 又 PB ? (1,1,?1) ,所以 cos ? n, PB ??

n ? PB n PB

??

3 . 3

所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

3 . 3

(Ⅲ)设 M 是棱 PA 上一点,则存在 ? ? [0,1] 使得 AM ? ? AP . 因此点 M (0,1 ? ?, ?), BM ? (?1,??, ?) . 因为 BM ? 平面 PCD ,所以 BM ∥ 平面 PCD 当且仅当 BM ? n ? 0 , 即 (?1,?? , ? ) ? (1,?2,2) ? 0 ,解得 ? ?

1 . 4 AM 1 ? . AP 4

所以在棱 PA 上存在点 M 使得 BM ∥ 平面 PCD ,此时 (18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? xe
a? x

? bx ,所以 f ?( x) ? (1 ? x)ea? x ? b .

? f (2) ? 2e ? 2, ?2ea?2 ? 2b ? 2e ? 2, 依题设, ? 即? a ?2 ? f ?(2) ? e ? 1, ? ? e ? b ? e ? 1,
第 6 页 共 6 页

解得 a ? 2, b ? e . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? xe2? x ? ex . 由 f ?( x) ? e2? x (1 ? x ? e x?1 ) 即 e
2? x

? 0 知, f ?( x ) 与 1 ? x ? e x ?1 同号.

令 g ( x) ? 1 ? x ? e x?1 ,则 g ?( x) ? ?1 ? e x?1 . 所以,当 x ? (??,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (??,1) 上单调递减; 当 x ? (1,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (1,??) 上单调递增. 故 g (1) ? 1 是 g ( x) 在区间 (??,??) 上的最小值, 从而 g ( x) ? 0, x ? (??,??) . 综上可知, f ?( x) ? 0 , x ? (??,??) ,故 f ( x) 的单调递增区间为 (??,??) . (19) (共 14 分)

? c 3 ? , ? 2 ? a ? 1 解: (Ⅰ)由题意得 ? ab ? 1, 解得 a ? 2, b ? 1 . ? 22 2 2 ?a ? b ? c , ? ?
x2 ? y2 ? 1 . 所以椭圆 C 的方程为 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, A(2,0), B(0,1) ,
2 2 设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 4 y0 ? 4.

当 x0 ? 0 时,直线 PA 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) . x0 ? 2

令 x ? 0 ,得 yM ? ?

2 y0 2 y0 .从而 BM ? 1 ? yM ? 1 ? . x0 ? 2 x0 ? 2 y0 ? 1 x ? 1. x0

直线 PB 的方程为 y ?

令 y ? 0 ,得 xN ? ?

x0 x0 .从而 AN ? 2 ? xN ? 2 ? . y0 ? 1 y0 ? 1
第 7 页 共 7 页

所以 AN ? BM ? 2 ?

x0 2 y0 ? 1? y0 ? 1 x0 ? 2

2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 8 ? ? x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2 x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

? 4.
当 x0 ? 0 时, y0 ? ?1 , BM ? 2, AN ? 2, 所以 AN ? BM ? 4 . 综上, AN ? BM 为定值. (20) (共 13 分) 解: (Ⅰ) G ( A) 的元素为 2 和 5 . (Ⅱ)因为存在 an 使得 an ? a1 ,所以 i ? N ? 2 ? i ? N , ai ? a1 ? ? . 记 m ? min i ? N ? 2 ? i ? N , ai ? a1 , 则 m ? 2 ,且对任意正整数 k ? m, ak ? a1 ? am . 因此 m ? G( A) ,从而 G( A) ? ? . (Ⅲ)当 a N ? a1 时,结论成立. 以下设 a N ? a1 . 由(Ⅱ)知 G( A) ? ? . 设 G( A) ? n1 , n2 ,? ? ?, n p , n1 ? n2 ? ? ? ? ? n p ,记 n0 ? 1. 则 an0 ? an1 ? an2 ? ? ? ? ? an p .
? 对 i ? 0,1,? ? ?, p ,记 Gi ? k ? N ni ? k ? N , ak ? ani .

?

?

?

?

?

?

?

?

如果 Gi ? ? ,取 mi ? minGi ,则对任何 1 ? k ? mi , ak ? ani ? ami . 从而 mi ? G( A) 且 mi ? ni ?1 . 又因为 n p 是 G ( A) 中的最大元素,所以 Gp ? ? . 从而对任意 n p ? k ? n , ak ? an p ,特别地, aN ? an p .

第 8 页 共 8 页

对 i ? 0,1,? ? ?, p ?1, ani?1 ?1 ? ani . 因此 ani?1 ? ani?1 ?1 ? (ani?1 ? ani?1 ?1 ) ? ani ? 1 . 所以 aN ? a1 ? an p ? a1 ?

? (a
i ?1

p

ni

? ani?1 ) ? p .

因此 G ( A) 的元素个数 p 不小于 aN ? a1 .

第 9 页 共 9 页


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