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安徽省皖南八校2013届高三第三次联考试题(扫描版)数学理


数学理科试卷参考答案和评分标准
说明: 1、本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进

行评分。 2、评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考 生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视 影响程度决定后面部分的

给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 如果有较严重的概念性错 误,就不给分。 一、选择题 1.(C) 2.(D) 3.(A) 4.(B) 5.(D) 部分题简解: 解9 ? 6.(B) 7.(C) 8.(B) 9.(C) 10.(A)

?
2

? x ?? , ?

?

??
2

?
4

? x ? ?

? ? ?. ? 4 4

?

?

? ? ?? ? ? 2 ? 4 ? 2 k? ? 2 , 1 5 ? 考察函数 y ? sin x 的单调性,知 ? ( k ? Z ),解得 ? ? ? . 2 4 ??? ? ? ? 2k? ? 3? . ? ? 4 2
? 选择(C).
解 10 依据题意,可设 P (5cos ? , 4sin ? )(0 ? ? ?

?
2

), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,于是,可得

切线 PA : x1 x ? y1 y ? 16 ;切线 PB : x2 x ? y2 y ? 16 .因点 P 是两切线的公共点,故

? x1 ? 5cos ? ? y1 ? 4sin ? ? 16, 换言之 AB : x ? 5cos ? ? y ? 4sin ? ? 16 . ? ? x2 ? 5cos ? ? y2 ? 4sin ? ? 16.
所以 S?MON ?

1 4 16 64 64 ? ? ? ? ? (当? ? 时,"="成立) . 2 sin ? 5cos ? 5sin 2? 5 4

因此,选择(A).

二、填空题 11. m ? 10 ; 12.必要非充分;

13. 3 ; 14. 10
21

15. (3),(4),(5). 三、解答题 16.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. 解(1)∵ f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ,
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)( x ? R) .

5分

∴函数 f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图像按如下方式变换得到: ①将函数 y ? sin x 的图像向右平移 分 ②将函数 y ? sin( x ? 函 7分 ③将函数 y ? sin(2 x ? 到 像. 函 数

? ? 个单位,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图像; 6 6

6

?
6

) 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 y?s x? i 6

?

1 倍(纵坐标不变), 得到 2

n的

( 图

2



) ;

?
6

) 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得


f ( x) ? 2sin(2 x ? )( x ? R) 6
8分

?





(说明:横坐标先放缩,再平移也可.即将函数 y ? sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到 原来的

1 ? 倍(纵坐标不变),得到函数 y ? sin 2 x ,再将函数 y ? sin 2x 的图像向右平移 个 2 12

单位,得到函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图像,最后将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像上所有点的纵坐 6 6

?

标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)由(1)知, f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

?
6

)( x ? R) ,故 g ( x) ?| f ( x ?

?

6

)( x ? R) 的图像.) ) |? 2 | sin 2 x | ( x ? R) . k? k? ? , ? ]( k ? Z ) ; 2 2 4
间 是

12

所 以 , 函 数 g ? x? 的 单 调 递 增 区 间 是 [ 10 分 单 调 递 减 区

[

k? ? k? ? ? , ? ](k ? Z ) . 2 4 2 2

12 分

17.(本题满分 12 分)
3 解 ⑴随机取出 3 张卡片的所有可能结果为 C8 ? 56 种,而取出的 3 张卡片中有 2 个数字和一个 2 1 1 2 字母或 1 个数字和 2 个字母的可能结果为 C6 ? C2 ? C6 ? C2 .

因此,所求概率为 P ? 分

2 1 1 2 C6 C 2 ? C6 C 2 9 = . 3 14 C8

4

⑵依据题意知,ξ 的取值为 0,2,4,5,6,7,8.

??????????6 分

当ξ =0 时,即三张卡片中有一个字母和二个不同数字,或二个字母一个数字,得
1 1 1 2 1 C2 C32 C2 C2 ? C2 C6 15 .同样可求出: P(? ? 0) ? ? 3 28 C8
2 1 C2 C2 2 C 2 C1 ? C 2 C 1 4 1 2 ? ? ; P(? ? 4) ? 2 2 3 2 2 ? ? ; 3 C8 56 28 C8 56 28 2 1 2 1 C2 C2 ? C2 C2 4 C 2C1 ? C1C1C1 10 5 2 ; P(? ? 6) ? 2 2 3 2 2 2 ? ? ? ? ; 3 C8 56 28 C8 56 28

P(? ? 2) ?

P(? ? 5) ?

2 1 2 1 2 1 C2 C2 ? C2 C2 4 C2 C2 2 2 1 . P(? ? 7) ? ? ? ; P(? ? 8) ? 3 ? ? 3 C8 56 28 C8 56 28

∴ξ 的分布列为:

-----------------

-------10 分

∴E ? ? 0 ?

15 1 2 2 5 2 1 18 ? 2? ? 4? ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? -------12 分 28 28 28 28 28 28 28 7

18.(本题满分 12 分) (1)证明 取 DE 中点 N ,连结 MN , AN .在△ EDC 中, M , N 分别为 EC, ED 的中 点,

1 1 CD .由已知 AB ∥ CD , AB ? CD , 2 2 因此, MN ∥ AB ,且 MN ? AB .所以,四边形 ABMN 为平行四边形. 于是, BM ∥ AN .又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF , 所以 BM ∥平面 ADEF . ?????????????????????4
则 MN ∥ CD ,且 MN ?

分 (2)证明 在正方形 ADEF 中, ED ? AD .又平面 ADEF ? 平面 ABCD ,平面

ADEF ? 平面 ABCD ? AD ,知 ED ? 平面 ABCD .所以 ED ? BC .
在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,算得 BC ? 2 2 . 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2 2, CD ? 4 ,可得 BC ? BD .故 BC ? 平面 BDE . 又因 为 BC ? 平面 BCE , 所以, 平面 BDE ? 平面 BEC . ?????????????? 8分
z E F N M

D C A B x y

解 ( 3 ) 按 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 点 D 与 坐 标 原 点 O 重 合 . 设 M ( x , y, z ) , 则

EM ? ( x, y, z ? 2)





EC ? (0,4,?2)





???? ? ??? ? EM ? ? EC(0 ? ? ? 1)





x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? ,即 M (0,4? ,2 ? 2? ) .
设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BDM 的法向量,则

OB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 , OM ? n ? 4?y1 ? (2 ? 2? )z1 ? 0 .
取 x1 ? 1 ,得 y1 ? ?1, z1 ? 10 分 由题可知, OA ? (2,0,0) 是平面 ABF 的一个法向量.

2? 2? ,即得平面 BDM 的一个法向量为 n ? (1,?1, ). 1? ? 1? ?

??? ? ? ??? ? ? | OA ? n | ? ? ? 因此, | cos ? OA, n ?|? ??? | OA | ? | n |

2 2 2? 4? 2 (1 ? ? ) 2

?

1 1 ,? ? , 2 6

即点 M 为 EC 中点.此时, S ?DEM ? 2 , AD 为三棱锥 B ? DEM 的高, 所 12 分 19.(本题满分 12 分) 解 ⑴ 2分 以 ,

VM ?BDE ?

VB?DEM ?

1 4 ? 2? 2 ? 3 3

.

f ?( x) ? ( x2 ? ax ?1)ex ? ex (2x ? a) ? ( x2 ? (a ? 2) x ? a ? 1)e x ? ( x ? a ? 1)( x ? 1)e x .

?a ? 0,

∴ ?a ? 1 ? ?1 . ∴当 x ? ? ??, ?a ?1? 时, f ?( x) ? 0 ; x ? ? ?a ?1, ?1? 时, f ?( x) ? 0 ; x ? ? ?1, ?? ? 时, 当 当

f ?( x) ? 0 .
所 以 , f ( x ) 单 调 递 增 区 间 为 ? ??, ?a ?1? 和 ? ?1, ?? ? , 单 调 递 减 区 间 为 ? ?a ?1, ?1? . 4分 且当 x ? ?1 时, f ( x ) 有极小值 (2 ? a)e?1 ,当 x ? ?a ? 1 时, f ( x ) 有极大值 (a ? 2)e? a?1 . 6分 ⑵由(1)知, f ?( x) ? ( x ? a ?1)( x ?1)e x ,令 g ( x) ? f ' ( x) , 则 g ?( x) ? [ x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 3]e x . 假设 f ( x ) 有“致点”为 x0 则 x0 首先应是 f ( x ) 的极值点,即 f ' ( x0 ) ? 0 。∴ x0 ? ?1或x0 ? ?a ?1 当 a=0 时,-a-1=-1,此时 f ' ( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 无极值。 ∴要使 f ( x ) 有极值,须 a ? 0 分
' 2 ? ? 若 x0 ? ?1 ,则由题意可知 g (?1) ? 0 ,∴ 1 ?( a ?4) ? a 3 0 解得:a ? 0 与 a ? 0 矛盾,

7分

8

即 10 分

-1





f ( x)











' 1 ( 4( 若 x0 ? ?a ? 1 , g (?a ?) ? , (a ?) ? a?) 则 1 0 即

a) 2? 3? 0? 1 ? a

解得:a ? 0 与 a ? 0

矛盾,即-a-1 也不是 f ( x ) “致点”。 ∴函数 f ( x ) 无 “致点” 分 12

20.(本题满分 13 分)

? 解⑴由题知, 2 F F2 ? MF ? MF2 ,即 2 ? 2c ? 2a, 得 a ? 2c, e ? 1 1
分 又由

1 . 2

2

a2 ? c ? 3 ,解得 c ? 1, a ? 2, b ? 3 . c x2 y 2 ? ? 1. 4 3
4

? 椭圆 E 的方程为:


⑵假设存在以原点为圆心,r为半径的圆满足条件.

10 若 圆 的 切 线 的 斜 率 存 在 , 并 设 其 方 程 为 : y ? kx ? m , 则

m2 r? ,r ? 2 . k ?1 k 2 ?1 m
2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 由 ?4 消 去 y , 整 理 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 3) ? 0 . 设 3 ? y ? kx ? m. ?

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,有
8km ? ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 , ??? ??? ? ? ? 又 OA ? OB ? 0, x1x2 ? y1 y2 ? 0 , ? 2 ? x x ? 4(m ? 3) . ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
2 2 2 2 2 2 2 算得 4(1 ? k )(m ? 3) ? 8k m ? 3m ? 4k m ? 0 ,化简得 m ?
2

12 2 (k ? 1) . 7

进一步解得 r ?
2

12 . 7
2 2

所求圆的方程为: x ? y ?

??? ??? ? ? 20 当 AB 的斜率不存在时, A( x1 , y1 ), B( x1, ? y1 ) , OA ? OB ? 0 ,有

12 . 7

7分

x12 -y12 =0 ,x12 ? y12 ,代入


12 x12 y12 12 ? ? 1, 得x12 ? .此时仍有 r2 ? x12 ? . 7 4 3 7

9

综上,总存在以原点为圆心的圆: x ? y ?
2 2

12 满足题设条件. 7

⑶ 因 点 A 在 椭 圆 上 , 故 设 A( O A o s c ?

,O A?s i, 代) 入 椭 圆 方 程 , 得 n

cos 2 ? sin 2 ? ? ? . 2 4 3 OA 1
又 由 于 OA ? OB , 可 设 B ( OB cos(? ?

??? ?

??? ?

?

), OB sin(? ? )) , 同 理 , 得 2 2

?

1 OB
2

?

sin 2 ? cos 2 ? ? . 4 3 1 ? 1 OB
2

所以,

OA

2

?

sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 1 7 ? ? ? ? 为定值.-----------13 分 4 3 4 3 12

21.(本题满分 14 分) 解 (1)? Sn ? kan?1 ,

? Sn?1 ? kan (n ? 2, n ? N * ) .
此两式相减,得 Sn ? Sn?1 ? kan?1 ? kan ,化简得 an ?1 ? 分

k ?1 an (n ? 2, n ? N * ) . k

2

a (? 0) , k k ?1 ,首项为 a2 的等比数列. ? a2 , a3 , a4 ,?, an ?是公比为 k a k ? 1 n?2 ? an ? ( ) ( n ? 2, n ? N * ). k k
又 a1 ? a, 0 ?| k |? 1, a2 ? 分 又 n ? 1 时, an ? a1 ,

4

?









?a, (n ? 1) ? an ? ? a k ? 1 n?2 * ? k ( k ) .(n ? 2, n ? N ) ?

5分 (2)?m 是正整数,

? m ? 1 ? 2, am?1 ?

a k ? 1 m?1 a k ?1 m a k ? 1 m?1 ( ) , am? 2 ? ( ) , am?3 ? ( ) . k k k k k k

又 am?1 , am?2 , am?3 按从小到大顺序调整后可以构成等差数列,

? 公差 dm ? 0 .

---------------------------------------------------------7 分

1 10 若 2am?1 ? am?2 ? am?3 ,解得 k ? ? .于是, dm ?| am?2 ? am?1 |? 9a ? 2m?1 (m ? N * ) . 3
20 若 2am?2 ? am?1 ? am?3 ,此时方程无解,即不符合题意.

2 9 1 30 若 2am?3 ? am?1 ? am?2 ,解得 k ? ? .于是, d m ?| am ? 2 ? am ?3 |? a ? ( ) m (m ? N * ) . 3 4 2 1 2 9 1 m * 综上,若 k ? ? ,则 dm ? 9a ? 2m?1 (m ? N * ) ;若 k ? ? ,则 d m ? a ? ( ) (m ? N ) .---10 3 3 4 2
分 (3)因为 Tm ? d1 ? d2 ? ? ? dm ,

10 若 dm ? 9a ? 2m?1 (m ? N * ) ,则 Tm ?
由 Tm ? 90 ,即 a ?
m

9a 1 2 (2 ? 2 ? ? ? 2m ) ? 9a(2m ? 1) . 2

10 对一切正整数 m 成立,故 a ? 0 .这与 a 是正整数矛盾. 2 ?1 所以, 此时不存在满足条件的 a . ----------12 分 9a 1 m 9a 1 ? ( ) (m ? N * ) ,则 Tm ? (1 ? m ) . 20 若 d m ? 4 2 4 2 40 40 由 Tm ? 90 ,即 a ? 对一切正整数 m 成立,得 a ? 40(40 ? ? 80) . 1 1 1? m 1? m 2 2
所以, amax ? 40 . 分 综上,可知存在满足条件的正整数 a ,且 a 的最大值为 40. 14


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