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2016年 普陀二模(文理)

时间:


2016 年普陀区二模
2016.04 一 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分; 1.、若集合 A ? x | y ? 2.、若函数 f ( x ) ? 1 ? 3、 (理)若 sin ? ?

?

x ? 1, x ? R , B

? ?x || x |? 1, x ? R?,则 A ? B ? _______

?

1 ?x ? 0? 的反函数为 f ?1 ( x) ,则不等式 f ?1( x) ? 2 的解集为____ x

3 ?? ? ? 且 ? 是第二象限角,则 cot? ? ? ? ________ 5 ?2 4?

(文)若 sin ? ?

3 ?? ? 且 ? 是第二象限角,则 tan? ? ? ? ? ________ 5 4? ?

) ? _______ 4.、 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 则 f (2016

1? ? 5.、在 ? x 3 ? ? 的展开式中,其常数项的值为_________ x? ?
6、若函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x) ? f ? x ?

8

? ?

??

? ,则函数 g ( x) 的单调递增区间为_______ 6?

? 2 sec ? ?x ? 7、 (理) 设 P 是曲线 ? ( ? 为参数) 上的一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 2 ? y ? tan? ?
的中点,则点 M 的轨迹的普通方程为_______

O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点, (文) 设 P 是曲线 2 x ? y ? 1上的一动点, 则点 M
2 2

的轨迹方程为_______ 8、 (理)在极坐标系中, O 为极点,若 A?1,

? ?? ? 2? ? ? , B? 2, ? ,则△ AOB 的面积为______ ? 6? ? 3 ?

?x ? 3 ? (文)不等式组 ? x ? y ? 0 所表示的区域的面积为________ ?x ? y ? 2 ? 0 ?
9、 (理)袋中装有 5 只大小相同的球,编号分别为 1, 2, 3, 4, 5 ,现从该袋中随机地取出 3 只, 被取出的球中最大的号码为 ? ,则 E? ? _________
1 DSZ

(文)袋中装有 5 只大小相同的球,编号分别为 1, 2, 3, 4, 5 ,若从该袋中随机地取出 3 只, 则被取出的球的编号之和为奇数的概率是__________(结果用最简分数表示) 10、若函数 f ( x) ? log5 x ( x ? 0 ) ,则方程 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 1的解 x ? ________ 11、某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器(底面半径为
2 3 cm , 高为 10 cm ) , 共做了 20 颗完全相同的棒棒糖, 则每个棒棒糖的表面积为_______ cm

(损耗忽略不计) 12.、如图所示,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上, 边 B3C3 上有 10 个不同的点 P 1, P 2 , ?, P 10 ,记 M i ? AB 2 ? AP i ( i ? 1,2,?,10 ) ,则 M 1 ? M 2 ? ? ? M 10 ? ________

?a ? 2? x , x ? 0 13、 设函数 f ( x) ? ? , 记 g ( x) ? f ( x) ? x , 若函数 g ( x) 有且仅有两个零点, ? f ( x ? 1), x ? 0
则实数 a 的取值范围是________
* 14.、已知 n ? N ,从集合 ? 1, 2, 3,?, n?中选出 k ( k ? N , k ? 2 )个数 j1 , j2 ,?, jk ,使

之同时满足下面两个条件: ① 1 ? j1 ? j2 ? ? jk ? n ; ② ji?1 ? ji ? m( i ? 1, 2,?, k ? 1 ) , 则称数组 ? j1 , j2 ,? jk ? 为从 n 个元素中选出 k 个元素且限距为 m 的组合,其组合数记为
? k ,m ? ?2,1? ?3, 2 ? . 例如根据集合 ? 1,2,3? 可得 C3 1,2,3,4,5,6,7?,可得 C7 Cn ? 3 .给定集合 ? ? ______

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、若 a 、 b 表示两条直线, ? 表示平面,下列命题中的真命题为( (A)若 a ? ? , a ? b ,则 b // ? (C)若 a ? ? , b ? ? ,则 a ? b
2



(B)若 a // ? , a ? b ,则 b ? ? (D)若 a // ? , b // ? ,则 a // b

16、过抛物线 y ? 8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A 、 B 两点,且这两点的横坐标 之和为 9 ,则满足条件的直线( (A)有且只有一条 (B)有两条 ) (C)有无穷多条 (D)必不存在 )条件 (D)既非充分又非必要
DSZ

17、若 z ? C ,则“ Re z ? 1, Im z ? 1 ”是“ | z |? 1 ”成立的( (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要
2

18、对于正实数 ? ,记 M ? 是满足下列条件的函数 f ( x) 构成的集合:对于任意的实数 都有 ? ? ?x2 ? x1 ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?x2 ? x1 ? 成立.下列结论中正确 x1, x2 ? R 且 x1 ? x2 , 的是( )

(A)若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1 ?? 2 (B)若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 且 g ( x) ? 0 ,则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

(C)若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1 ?? 2 (D)若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1 ?? 2 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19、 (本题满分 12 分) (文)在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 1 ,体积为 2 ,

E 为 AB 的中点;证明: A1 E 与 C1 B 是异面直线,并求出它们所成
的角的大小(结果用反三角函数值表示)

(理)在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 1 , C1 B 与 底面 ABCD 所成的角的大小为 arctan 2 ,如果平面 BD1C1 与底面

ABCD 所成的二面角是锐角,求出此二面角的大小(结果用反三角
函数值)

3

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20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (理)已知函数 f ( x) ? 2 sin ? x ?

? ?

??

? ? cos x 3?
2

(文)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos x (1)若 0 ? x ?

?
2

,求函数 f ( x) 的值域;

(2)设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A 为锐角且 f ( A) ?

3 , 2

b ? 2 , c ? 3 ,求 cos(A ? B) 的值;

4

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21、 (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分, 某企业参加 A 项目生产的工人为 1000 人, 平均每人每年创造利润 10 万元.根据现实的需要, 从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润 10? a ? 元( a ? 0 ) , A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高 0.2 x % ; (1)若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1000 名工人创造的年总利润, 则最多调出多少人参加 B 项目从事售后服务工作? (2)在(1)的条件下,当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的 40 % 时,才能使得 A 项 目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润, 求实数 a 的取值范 围;

? ?

3x ? ?万 500 ?

5

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22、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 第 3 小题满分 6 分. 已知椭圆 ? : 公共点 M ; (1)若 k ? 1 且点 M 在第二象限,求点 M 的坐标; (2)若经过 O 的直线 l1 与 l 垂直,求证:点 M 到直线 l1 的距离 d ?

x2 y2 ? ? 1 的中心为 O ,一个方向向量为 d ? (1, k ) 的直线 l 与 ? 只有一个 5 4

5 ? 2;

(3)若点 N 、 P 在椭圆上,记直线 ON 的斜率为 k 1 ,且 d 为直线 OP 的一个法向量,且

k1 4 2 2 ? ,求 ON ? OP 的值; k 5

6

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23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知各项不为零的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , S n ? (1)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (2)设数列 ?bn ? 满足: bn ? 2 正整数 k 的值; (3)若 m 、 k 均为正整数,且 m ? 2 , k ? m ,在数列 ?ck ? 中, c1 ? 1 , 求 c1 ? c2 ? ? ? cm ;
an ?2 an ?1

1 a n ? a n ?1 ( n ? N * ) ; 2

,且 lim?bk bk ?1 ? bk ?1bk ? 2 ? ? ? bn bn ?1 ? ?
n ??

1 ,求 384

ck ?1 k ? m , ? ck ak ?1

7

DSZ

2015 学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细 则
二 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ? 1? 2. ?1 ,?

? 3? ? 2?

3.【理科】 2 【文科】 ? 7 4. 0 5. 28 6. ?k? ?

? ?

5? ?? ,k? ? ? , 12 12 ?

k ? z 7. 8x 2 ? 4 y 2 ? 1 .
8.【理科】1 .【文科】16 9.【理科】 【文科】

9 2

2 5

10. 4 .

11. 9? .

12.

180
13. a ? ?2 14. 10

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

题号 答案

15 C

16 B

17 B

18 C

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 【文科】 【解】根据已知条件, C1C 为正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的高 底面四边形 A1 ABB 1 是正方形,且面积为 1 , 故由 V ? sh ? 2 ,可得 C1C ? 2 .……2 分 假设 A1 E 与 C1B 不是异面直线,则它们在同一平面内 由于点 A1 、 E 、 B 在平面 A1 ABB 1 内,则点 C1 也在平 面 A1 ABB 1 E 与 C1B 是异面直线.…………5 分 1 内,这是不可能的,故 A

8

DSZ

取 A1 B1 的中点为 E ,连接 BE , EC1 ,所以 BE // A1 E , ?EBC1 或其补角,即为异面直线

A1 E 与 C1B 所成的角.……7 分
在 ?BEC1 , BC1 ? 5 , BE ?

17 5 , EC1 ? ,……9 分 2 2

17 5 ? 4 4 ? 8 85 ? 0 ,即 ?EBC ? arccos8 85 由余弦定理得, cos?EBC1 ? 1 85 85 17 2 5? 2 5?
所以异面直线 A1 E 与 C1B 所成的角的大小为 arccos

8 85 .……12 分 85

【理科】 【解】根据题意,可得 C1C ? 底面 ABCD , 所以 BC 是 C1 B 在平面 ABCD 上的射影,故 ?C1BC 即为直线 C1 B 与 底面 ABCD 所成的角,即 ?C1BC ? arctan 2 .……2 分 在 RT?C1BC 中, C1C ? BC ? tan?B1BC ? 2 ……3 分 以 D 为坐标原点,以射线 DA, DC, DD1 所在的直线分别为 x, y , z 轴, 建立空间直角坐标系,如图所示: 由于 D1 D ? 平面 ABCD ,故 DD1 是平面的一个法向量,且 DD1 ? ?0,0,2? ……5 分

B?1,1,0?, D1 ?0,0,1? , C1 ?0,1,2? ,故 BD1 ? ??1,?1,2?, BC1 ? ??1,0,2?……7 分
设 n ? ?x, y, z ? 是平面 BD1C1 的一个法向量, 所以 ?

? ?n ? BD1 ? 0 ? ?n ? BC1 ? 0

,即 ?

?x ? y ? 2z ? 0 , ?x ? 2 z ? 0

不妨取 z ? 1 ,则 ?

?x ? 2 ,即 n ? ?2,0,1? ……9 分 ?y ? 0

设平面 BD1C1 与底面 ABCD 所成的二面角为 ? ,则

cos? ?

n ? DD1 n ? DD1

?

2 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 2? 5

?

5 , 5

9

DSZ

即 ? ? arccos

5 ……11 分 5 5 .……12 分 5

所以平面 BD1C1 与底面 ABCD 所成的二面角大小为 arccos

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 20.【解】 (1) f ( x) ? sin x ? 3 cos x cos x ? sin x cos x ? 3 cos x
2

?

?

?

1 3 3 ?? 3 ? …………2 分 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin? 2 x ? ? ? 2 2 2 3? 2 ?

由0 ? x ?

?
2

得,

?
3

? 2x ?

?
3

?

4? 3 ?? ? ,? ? sin? 2 x ? ? ? 1 …………4 分 3 2 3? ?

? 3? ?? 3 3 ? ,所以函数 f ( x) 的值域为 ?0, 1 ? 0 ? sin? 2 x ? ? ? ? 1? ? ………6 分 2 3? 2 2 ? ? ?
(2)由 f ( A) ? sin ? 2 A ? 又由 0 ? A ? 分

? ?

??
?
3

?? 3 3 ? 得, sin? 2 A ? ? ? 0 ? ?? 3? 3? 2 2 ?
? 2A ?

?
2

得,

?
3

?

4? ? ? ,只有 2 A ? ? ? ,故 A ? .…………8 3 3 3

a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos 在 ?ABC 中, 由余弦定理得,
2 2 2

?
3

? 7,

故a ?

7 …………10 分
a b b sin A 21 ? ? ,所以 sin B ? sin A sin B a 7

由正弦定理得,

由于 b ? a ,所以 cos B ?

2 7 …………12 分 7

cos? A ? B? ? cos A cos B ? sin A sin B ?

1 2 7 3 21 5 7 ? ? ? ? ……14 分 2 7 2 7 14

10

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21.(本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分, 【解】 (1)根据题意可得, ?1000? x??10 ? 10? 0.2 x%? ? 1000 ? 10 ……3 分 展开并整理得, x ? 500x ? 0 ……5 分
2

解得 0 ? x ? 500 ,最多调出的人数为 500 人……6 分 (2) ?

?0 ? x ? 500 ,解得 0 ? x ? 400 ……7 分 ? x ? 1000? 40%

3x ? ? 对于任意的 x ? ?0, 400? 恒成立……9 分 10? a ? ? ? x ? ?1000? x ? ? ?10 ? 10 ? 0.2 x%? , 500? ?
即 10ax ?

3x 2 ? 1000?10 ? 20x ? 10x ? 2 x 2 % 50

即 ax ?

x2 ? x ? 1000对于任意的 x ? ?0, 400? 恒成立……10 分 250

当 x ? 0 时,不等式显然成立; 当 0 ? x ? 400 时, a ?

x 1000 1 ? 250000? ? ?1 ? ?x? ? ? 1 ……11 分 250 x 250? x ?
250000 ,可知函数 f ( x) 在区间 ?0, 400? 上是单调递减函 x
x 1000 ? ? 1 ? 5.1 ……13 分 250 x

令函数 f ( x) ? x ? 数……12 分

故 f ( x) min ? f ?400? ? 1025,故

故 0 ? a ? 5.1 ,所以实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 5.1 ……14 分

22.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 第 3 小题满分 6 分. 【解】 (1)设直线 l : y ? x ? m ,根据题意可得:……1 分

?y ? x ? m ? 2 2 2 ,消去 y 并整理得 9 x ? 10bx ? 5 m ? 4 ? 0 ……①…………2 分 ?x y2 ?1 ? ? 4 ?5

?

?

2 ? ? ?10b? ? 4 ? 9 ? 5 b 2 ? 4 ? 0 ,解得 m 2 ? 9 ,因为 M 在第二象限,故

?

?

m ? 3 ,……3 分
11 DSZ

2 代入①得 9 x ? 30x ? 25 ? 0 ,解得 x ? ?

5 4 ? 5 4? ,进而 y ? ,故 M ? ? , ? .……4 分 3 3 ? 3 3?

(2)根据题意可得,直线 l1 : x ? ky ? 0 ……5 分

? y ? kx ? m ? 设直线 l : y ? kx ? m ( m ? 0 ) ,则 ? x 2 ……5 分 y2 ? ?1 ? 4 ?5
消去 y 得 4 ? 5k 2 x 2 ? 10kmx? 5 m 2 ? 4 ? 0 ……6 分
2 ? ? ?10km? ? 20 4 ? 5k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,解得 5k 2 ? m 2 ? 4 ? 0 ,即 m 2 ? 5k 2 ? 4 ……

?

?

?

?

?

??

?

7分 且x ?

? 5km 4m 4m ? ? ? 5km ,y? ,故 M ? 2 , 2 ? ……8 分 2 2 5k ? 4 5k ? 4 ? 5k ? 4 5k ? 4 ?

点 M 到直线 l1 的距离 d ?

? 5km 4km ? 2 2 5k ? 4 5k ? 4 1? k 2

?

km 5k 2 ? 4 1? k 2

?

?1 ? k ??4 ? 5k ?
2 2

k

① 当 k ? 0 时, d ? 0 ;……9 分 ② 当 k ? 0 时, d ?

1 5k 2 ? 4 ?9 k2

? 5 ? 2 ,当且仅当 k ? ?4

4 时等号成立. 5

综上①②可得,点 M 到直线 l1 距离 d ?

5 ? 2 .……10 分
1 ,……11 分 k

(3)根据条件可得直线 OP 的斜率 k 2 ? ? 由于

k1 4 4 ? ,则直线 ON 的斜率的 k1 ? k ……12 分 5 k 5

? x2 y2 ? ?1 ? 4 25 ?5 2 4 于是直线 ON 的方程为 y ? kx ,由 ? ,可得 x ? ……13 分 5 5 ? 4k 2 ? y ? 4 kx ? 5 ?
设点 P( x1 , y1 ) ,则 OP ? x1 ? y1 ? ?1 ?
2 2 2

? ?

16 2 ? 2 25 ? 16k 2 ……14 分 k ? x1 ? 25 ? 5 ? 4k 2

同理 ON

2

2 2 ? x2 ? y2 ?

20?1 ? k 2 ? ……15 分 5 ? 4k 2
12 DSZ

OP ? ON

2

2

?

25 ? 16k 2 20?k 2 ? 1? 45 ? 36k 2 ? ? 9 ……16 分 ? 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 【解】 (1)当 n ? 1 时, S1 ? 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1

1 a1 a 2 ? 1 , a1 ? 1 ,故 a2 ? 2 ;……1 分 2 1 1 ? a n ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n 2 2

变形得 2an ? an ? ?an?1 ? an?1 ? ,由于 an ? 0 ,所以 an?1 ? an?1 ? 2 ……2 分 所以 a2n?1 ? 2n ? 1 , a 2 n ? 2n , n ? N ,于是 a n ? n , n ? N .……3 分
* *

由于 an?1 ? an ? 1,所以数列 ?an ? 是以 1 首项,1 为公差的等差数列.…………4 分 (2)由(1)得 an ? n ,所以 bn ? 2
an ?2 an ?1

?2

n ? 2( n ?1)

1 ?1? ? ? ? ? ……5 分 4 ? 2?

n

?1? bn ? bn?1 ? ? ? ?2?

2 n ?5

,且 b1b2 ?

bb 1 1 ,当 n ? 2 时, n n ?1 ? …………7 分 128 bn ?1bn 4

故数列 ? bn bn?1 ? 是以

1 1 为首项, 为公比的等比数列.……8 分 128 4

于是 lim?bk bk ?1 ? bk ?1bk ? 2 ? ? ? bn bn ?1 ? ?
n ??

bk bk ?1 1 ,即 bk ? bk ?1 ? 2 ?9 ……9 分 ? 1 384 1? 4

bk ? bk ?1

1 ?1? ? ? ? ? 2 ?5?2k ,故 2?5 ? 2 k ? 2?9 ,解得 k ? 2 .…………10 分 32 ? 4 ?
ck ?1 k ? m k ? m c c c ? , ck ? k ? k ?1 ? ? ? 2 ……12 分 ? k ?1 ck ak ?1 ck ?1 ck ?2 c1

k

(3)则由(1)得 a k ? k ,

c k ? ?? 1?

k ?1

?

(m ? k ? 1)(m ? k ? 2) k ?1 1 k ? ?? 1? ? C m …………14 分 k ? (k ? 1) ? ? 2 ? 1 m

1 1 m ?1 m 2 3 Cm ? Cm ? Cm ? ? ? ?? 1? Cm …………16 分 m 1 1 m 0 1 2 m ? 1 ? Cm ? Cm ? Cm ? ? ? ?? 1? C m ? m m 1 故 c1 ? c2 ? ? ? cm ? .……18 分 m

c1 ? c2 ? ? ? cm ?

?

?

? ?

??

13

DSZ


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