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圆锥曲线复习课


圆锥曲线复习课

一. 椭



 椭圆的定义

x y x y 1.椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1( 2 ? 2 ? 1) a b b a

2

2

2

2

(a ? b ? c )<

br />2 2 2
B2 A1 F1 O B1 F2 A2

2.椭圆的几何性质

3.椭圆的参数方程

4. 椭圆的第二定义
MF2 MN ? e (离心率, 0 ? e ? 1.)
2

M

N

a 5.  准 线 方 程 :x?? c

F1

F2

b 6.  焦 准 距 p? c

2

8. 焦半径   MF 2 ? a ? ex1 ;  

2b 7. 通径 P1 P2 ? a

2

       MF1 ? a ? ex1 (a ? c ? MF ? a ? c)

9.焦点三角形性质

A
?
F1

1.?范围

M F2

思考1 :M在什么位置时, ?最大?

思考 2 :若存在点 M使?F1MF2 ? 120 ,
0

? ? (0, ?F1 AF2 ]

求e的范围

2. S?MF1F2 ? b tg

2

?
2

11.焦点弦长公式

MN ? 2a ? e( x1 ? x2 )
ME ? 2a ? e( x1 ? x2 )
M F1 F2 N H

E

? y ? kx ? m ? 2 2 y ?x ? ? 1 2 2 ? b ?a

13、直线与椭圆位置关系

消元

一元二次方程 消y 消x
g( y ) ? 0

f ( x) ? 0

??0

??0

??0

相离

相切

相交

14、弦长公式
2

y ? kx ? m
2

? B(x , y )

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

A(x , y )
1 1

?

1 AB ? 1 ? 2 y1 ? y2 k

? B ( x 2 , y2 )

A(x , y )
1 1

?

注意:一直线上的任意两点 都有距离公式和弦长公式

15、面积公式

? y ? kx ? m ? 2 2 y ?x ? ? 1 2 2 ? b ?a
S ?ABC S ?ABC 1 ? AB ? d 2

消元

一元二次方程 消y 消x
g( y ) ? 0

f ( x) ? 0
B O

c
A

1 ? OC ? y1 ? y2 2

椭圆上点到定点、定直线距离的最值
例: 2 2 x y ? 1上的点 1、 求椭圆 ? 9 4 (1)与定点(0, 1 )的最大距离; (2)与直线2 x ? y ? 10 ? 0的最大距离.
2 2

x y 2、A是 椭 圆 ? ? 1上 任 意 一 点 , B为 圆 25 9 2 2 ( x ? 1) ? y ? 1上 任 意 一 点 , 求 | AB | 的 范 围 .

二. 双曲线
1、双曲线定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值是常数2a(a>0且小于|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线.

由定义知||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,

注意:(c>a).

2、图象和性质 定义 ||MF1|—|MF2||=2a(2a<|F1F2|) y 图象 y F2
F1
方程
2

o F2 x
2

o x
F1

x y ? 2 ?1 2 a b
F(±c,0)

(a ? 0, b ? 0)

y x ? ? 1 2 2 a b
F(0,±c)

2

2

焦点
a.b.c的关
系及意义

(1)c最大,a, b大小不定 2 2 2 c =a +b (2)a含在为正的那一项

图象

F1
方程
2

y o F2 x
2

F2

y
o

x
2

x y ? 2 ?1 2 a b
a x?? c b y?? x a
(a ,0), ( ? a ,0)
2

准线
渐近 线 顶点

y x ? 2 ?1 2 a b 2
a y?? c
a y?? x b
(0, a ),(0,?a )

2

F1

e

c a

c a

b 3.  焦 准 距 p ? c

2

4. 通径(最短的焦点弦 ) 2 2b P1 P2 ? a b 5.   k ? (焦点在x轴上) a 2 ? e ? 1; 2 2 x y 6.等轴双曲线 2 ? 2 ? 1 a a
(1)渐近线 x ? y ? 0;

P

(2)e ? 2 .

7、双曲线的第二定义
MF2 ? e(e ? 1) MN
N
F1

?

M F2

思考: 双曲线上那个点离焦点最近?

8、焦半径公式
F1

M
F2
2

(x0,y0)

左加,右减

MF1 ? a ? ex0

a x? 左支 ? a ? ex0 c
右支

MF2 ? a ? ex0

a ? ex0 左支 a ? ex0 右支 ex0 ? a

9.焦点三角形性质

1.?范围
? ? (0,? )

?
F1

M

2.S?MF1F2 ? b ctg
2

?
2

10. 共渐近线双曲线系方程

x y 如 ? ?1 4 3

2

2

11. 直线与双曲线的交点问题

? y ? kx ? m ? 2 2 y ?x ? ? 1 2 2 ? b ?a
2 2 2 2

消元

(b ? a k ) x ? 2kma x ? a m ? a b ? 0
2 2 2 2 2

b ?a k ? 0
2 2 2

? a 2 m 2 ? a 2b 2 x? 2kma2

一交点

b ?a k ? 0
2 2 2

A C D B

??0
相交 两交点

??0
相切
一交点

??0
相离
无交点

求下列双曲线的标准方 程 例1、
1 (1) e ? 4, 一 条 准 线 方 程 为 x? 2

4, ? 10 ) (2) e ? 2 , 过点(

(3) 与椭圆4 x 2 ? y 2 ? 1有相同的焦点 , 一条渐
进线方程是y ? 2 x .

(4) 两准线间距离为 3,两渐近线夹角为 600,焦点
在x轴上

x y 例2、 在 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的 右 支 上 存 在 a b 与 右 焦 点 和 左 准 线 距相 离等 的 点 , 求 e的 取 值 范围
2 y2 3

2

2

已知点 A( 3,2), F ( 2,0), 在 双 曲 线 x ? 例 3、 上求一点 P, 使 | PA | ? 1 2 | FP | 最 小

?1

三. 抛物线
1、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
l N
M

即:

|MF| 当 |MN|=1时点M的轨迹是抛物线

· · F

思考: 若定点在定直线上,轨迹图形是什么
过定点与定直线垂直的直线上

2、四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点坐标
?p ? ? ,0 ? ?2 ?
? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

准线方程
x?? p 2

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

p x? 2

x2 ? 2 py

? p ? 0?

? p? ? 0, ? ? 2?

p y?? 2

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

y A1 A(x1,y1)

3、焦点弦长公式
2

(1) AB ? 1 ? k x1 ? x2
? 1 ? k12 y1 ? y2
O

y ? 2 px( p ? 0)
2

(2) AB ? x1 ? x2 ? p

? 1 ? 2p (3) AB ? 2 p ?1 ? 2 ? ? 2 ? k ? sin ?
(2)(3)只适用于焦点弦

P F( ,0) 2

x

(?是直线AB的倾斜角 )

B1

B(x2,y2)

p x?? 2

y

4、焦点弦性质
p (1) x1 ? x2 ? 4
2

A1

A(x1,y1)

y ? 2 px( p ? 0)
2

(2) y1 ? y2 ? ? p

2

2 1 1 (3) ? ? p m n
(设AF=m, BF=n)
B1

O

P F( ,0) 2

x

B(x2,y2)

(4) A、O、B1 三点共线

p x?? 2

y A1 A(x1,y1)

(5) 以AB为直径的圆 与准线相切
思考: 椭圆呢? 以AB为直径的圆 与准线相离 双曲线呢?
O

y ? 2 px( p ? 0)
2

P F( ,0) 2

x

B1

B(x2,y2)

以AB为直径的圆 p 与准线相交 x??
2

y A1 A(x1,y1)

(6)三个Rt?
Rt?ANB, Rt?A1 FB1 , Rt?NFM ,
N K O M

P F( ,0) 2

x

B1

B(x2,y2)

p x?? 2

y ? 2 px( p ? 0)
2

5.通 径 P1 P2 ? 2 p
6.定长弦中点性质 若 AB ? l (定长) l ? 2 P (通径)
AB过焦点时,弦的中点到 准线最近

P1

P2

y N
O

A M x

. F
B

7、中点弦公式(点差法)
y ? 2 px
2

K AB ? y0 ? p

A
? M ( x0 , y0 )

y ? ?2 px
2

K AB ? y0 ? ? p

B

x ? 2 py
2

x ? ?2 py
2

1 ? x0 ? p K AB

1 ? x0 ? ? p K AB

8、 已 知 抛 物 线 y ? 2 px, 过 顶 点 O
2

作 弦OA ? OB, 则 直 线 AB必 经 过 定 点 : G(2 p,0).
B

A

G(2P,0)

9、直线与抛物线的位置关系

? y ? kx ? m ? 2 ? y ? 2 px

k x ? (2km ? 2 p) x ? m ? 0
2 2 2

k?0

相离

相切

相交

??0

??0

? ? 0 一次方程 (k=0)

(直线平行于对称轴)

讨论:
2

过(0,2)且与抛物线 y ? 4 x有唯一公共点 的直线有几条? .

关于轨迹问题
求轨迹问题的常用方法 一、直接法(五个步骤)

二、定义法
三、几何意义

四、转移法
五、参数法

圆锥曲线知识应用 一、确定圆锥曲线基本元素问题

二、弦长、面积问题
三、中点、对称问题 四、对定点张直角问题

五、最值问题
六、其它综合问题

圆锥曲线典型例题 例1、 2 2 x y (1) 经过点P (0,3)作直线L,若L与双曲线 ? ? 1
4 3 只有一个公共点 .问这样的直线有几条? 2 2 x y l交 双 曲 线 (2) 过 双 曲 线 ? ? 1的 右 焦 点 作 一 直 线 4 8 于A,B两 点 , 若AB ? 8, 则 这 样 的 直 线 l有 几 条 ?
2 2

直线y ? kx ? 2与双曲线 x ? y ? 6的右支交于 例2、 两个不同的点 , 求实数 k的取值范围 。

例 3、

(1)求抛物线y2 = 2x过点(-2,0)的弦的中点轨迹.
x2 y2 ? ? 1 的一组斜率为2的平行弦 (2)求椭圆 3 4 中点轨迹 2
2

y (3) 求 双 曲 线 x ? ? 1被 点p( 2,1)平 分 的 弦 PQ所 在 2 直线方程。

例4、(1)抛物线y = x2上存在两点关于直线L:
y=m(x-3)对称,求m的范围. (2)抛物线y2 = x的弦PQ被直线: x+ y –2=0 垂直平分,求三角形OPQ面积.

x y 例5. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1, 其长轴长是短轴长的 2倍, a b 4 3. 右准线方程是 x ? 3 x2 ? y2 ? 1 (1)求该椭圆的方程;
4

2

2

(2)如过点(0, m)且倾斜角为 的直线交椭圆于 A, B 4 O为原点? 两点, 当?AOB? 面积最大时, 求m的值.
10 m?? ,s ?1 2

?

焦点在 x轴 上 的 椭 圆 C的 一 顶 点 B(0,?1), 右 焦 点 例6、 到直线 m : x ? y ? 2 2 ? 0的 距 离 为 3 (1) 求C的 方 程 . (2) 是 否 存 在 斜 率 k ? 0的 直 线 与 C交 于 两 点 M,N, 说明理由 .

使 BN ? BM ? 若 存 在 , 求 k的 取 值 范 围 ; 若 不 存 , 在

x y 例7 椭圆 、 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)与x轴,y轴正方向 2 a b 交于A,B两点, 在劣弧AB上取一点C , 使四边形 OACB的面积最大.求最大面积 .
B o

2

2

y

C

A

x

已知直线 y ? ax ? 1与 双 曲 线 3 x ? y ? 1交 于A, 例8、
2 2

B两 点 , (1) 若 以 AB为 直 径 的 圆 过 原 点 , 实 求 数a的 值

(2) 是 否 存 在 这 样 的 实 a 数 ,使双曲线上能找 求a的 范 围 .

到两点 M,N关 于 直 线 y ? ax ? 1对 称 ? 若 存 在

2 2 2 2 抛物线 y ? 4 ax 与圆 ( x ? a ? r ) ? y ? r 例9、

r ( 2a ? )的上半部分交于 M , N两点, 抛物线 2 的焦点为F .求证 : FM ? FN 的值与a无关.

已知抛物线P:y ? ax(a ? 0), 直线L:y ? x ? 4. 例10、 问是否存在矩形 ABCD,它的一条对角线 AC在直 线L上,顶点B,D在抛物线P上.且直线AC到直线 arctan BD的角等于arctg 3. 3
2

是 否 存 在 同 时 满 足 下条 列件 的 双 曲 线 , 例11、 若 存 在 , 求 出 其 方 程若 ;不 存 在 , 说 明理由 . (1)渐 近 线 方 程 为 x ? 2 y ? 0及x ? 2 y ? 0 最 小 值 为 6. ( 2)点A?5, 0?到 双 曲 线 上 动 点 P的 距 离 的


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