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2010年温州中学自主招生数学试题(含答案)

时间:2016-04-16


2010 年温州中学自主招生数学试题 2010.4
一、选择题:本大题共 8 题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的的四个选项中,只有 1.已知 a ? b ,则下列结论正确的是 ( A. ) C.

a2 ? b2

B.

a 3 ? b3

1 1 ? a b

D.

a ?1 b

2.用黑白两种颜色的正六边形地面砖拼成若干个图案,规律如下图所示,则第 2010 个图案 中,白色地面砖的块数是

A.8042

B.8038

C.4024

D.6033

3.关于 x 的整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 中,若 a ? b 是偶数, c 是奇数, 则( ) A.方程没有整数根 B.方程有两个相等的整数根 C.方程有两个不相等的整数根 D.不能判定方程整数根的情况 4.如图所示,一个 3 ? 3 的方格中,每一行,每一列,及每一对角线上的三个数之和都相等, 则 x 的值是( ) 7 A.6 B.7 C.8 D.9 9 6 5.若 x ? a1 ? a2 ?10 ? a3 ?100 , y ? a4 ? a5 ?10 ? a6 ?100且 x ? y ? 736 ,其中正整 数 a i 满足 1 ? ai ? 7 ,(i ? 1,2,3,4,5,6) , 则在坐标平面上 ( x, y ) 表示不同的点的个数为( )

x

A.60 B.90 C.110 D.120 6.气象台预报: “本市明天降水概率是 80%” ,但据经验,气象台预报的准确率仅为 80%,则 在此经验下,本市明天降水的概率为( ) A.84% B.80% C.68% D.64% 7.设 M ? 3 ? 2 ?17 ,其中 n 为正整数,则下列结论正确的是(
n n



A.有且仅有一个 n ,使得 M 为完全平方数 B.存在多于一个的有限个 n ,使得 M 为完全平方数 C.存在无数个 n ,使得 M 为完全平方数 D.不存在 n ,使得 M 为完全平方数 8.已知点 A 、 B 分别在 x 轴正半轴、 y 轴正半轴上移动, AB ? 4 ,则以 AB 为直径的圆 . 周 所扫过的区域面积为( ) . A. 4? B. 8? C. 2? ? 4 D. 6? ? 4
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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.若关于 x 的方程 5 ? m ? 1 ? 1 无解,则 m ? ______ x?2 x?2 10.在 Rt△ABC 中,C 为直角顶点,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D,若 AC、BC 为方程

x 2 ? 6 x ? 2 ? 0 的两根,则 AD·BD 的值等于
11.我们规定 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如: [?2.1] ? ?3 , [?3] ? ?3 , [2.2] ? 2 。已 知函数 y ? [ x ? [ x]] ,若 ?1 ? x ? 2 ,则 y 的所有可能取值为 .

12.已知某几何体中的一条边长为 6 ,在该几何体的正视图和侧视图中,这条边的投影分 别是长为 5 和 3 的线段,则在该几何体的俯视图中,这条边的投影长为

13. 如图, 已知锐角△ABC 的外接圆半径等于 2, ∠BAC= 60 , O、 H 分别为△ABC 的外心和垂心, 连接 OH 与 BC 的延长线交 于点 P,则 OH·OP= 14.正整数 n ? 600 ,具有如下性质:从 1,2, ?,600中任取一个 数 m , m 能整除 n 的概率为

?

1 ,则 n 的最大值为 100

三、解答题:本大题共 3 小题,共 28 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题 8 分)解关于 x 的方程 1 ?

1 ? 2x ? 1 ? x ? 1 x

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16. (本小题 10 分)如图,已知点 A 的坐标是(-1,0) ,点 B 的坐标是(4,0) ,以 AB 为直径作⊙O′,交 y 轴的正半轴于点 C,连接 AC、BC,过 A、B、C 三点作抛物线. (1)求抛物线的解析式; (2)点 E 是 AC 延长线上一点,∠BCE 的 平分线 CD 交⊙O′于点 D, 连结 BD, 求直线 BD 的解析式; (3)若 M 为直线 AC 上的一动点, 求△MBD 周长的最小值.

17. (本小题 10 分)如图,在△ABC 中,AB>AC,L、M、N 分别为边 BC、AC、AB 的中 点,D、E 分别为边 BC、AB 上的点且满足 AB+BD=AC+CD,CA+AE=CB+BE,D 关于 L 的对称点为 P,E 关于 N 的对称点为 Q,LM 交 PQ 于点 F,求证:AF 平分∠BAC

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一、 (本题 15 分)圆周上有 2010 个数,将每个数染成红色或蓝色。若每个红色数等于相邻 两数的和,每个蓝色数等于相邻两数和的一半。试问,所有红色数之和是否为定值?若是, 求出此定值;若不是,说明理由.

二、 (本题 15 分)如图,已知 C 是线段 AB 的中点,过点 A、C 的圆 O1 与过点 B、C 的圆 O2 交于 C、D 两点,P 是圆 C1 上的弧 AD 的中点,Q 是圆 C2 上的弧 BD 的中点. 求证:PQ⊥CD

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