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2015步步高高中数学文科文档1.1

时间:2014-10-17


§ 1.1

集合的概念与运算

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 2. 集合间的关系 (1)子集:对任意的 x∈A ,都有 x∈B ,则 A ?B(或 B ?A )

. (2)真子集:若 A ?B ,且 A ≠B ,则 A B (或 B A ). (3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即??A ,? B(B ≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n -1 个. (5)集合相等:若 A ?B ,且 B ?A ,则 A =B . 3.集合的运算 集合的并集 图 形 符 号 A ∪B ={x|x∈A 或 x∈B } A ∩B ={x|x∈A 且 x∈B } ?U A ={x|x∈U,且 x?A} 集合的交集 集合的补集 自然数集 N 正整数集 N* (或 N+) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

4. 集合的运算性质

并集的性质: A ∪?=A ;A ∪A =A ;A ∪B =B ∪A ;A ∪B =A ?B ?A. 交集的性质: A ∩?=?;A ∩A =A ;A ∩B =B ∩A ;A ∩B =A ?A ?B . 补集的性质: A ∪(?U A)=U;A ∩(?U A )=?;?U (?UA )=A .

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)A ={x|y=x +1}={y|y=x +1}={(x,y)|y=x +1}. (2){1,2,3}={3,2,1}. (3)?={0}. (4)若 A ∩B =A ∩C,则 B =C. (5)已知集合 M={1,2,3,4},N={2,3},则 M∩N=N. (6)若全集 U={-1,0,1,2},P ={x∈Z|x <4},则?U P ={2}.
2 2 2 2 2 2

( ( ( ( ( (

× √ × × √ √

) ) ) ) ) )

2.(2013· 广东)设集合 M={x|x +2x=0,x∈R},N={x|x -2x=0,x∈R},则 M∪N 等于 ( A.{0} 答案 解析 D M={x|x=0 或 x=-2}={0,-2},N={0,2}, B.{0,2} C.{-2,0} )

D.{-2,0,2}

∴M∪N={-2,0,2}. 3.(2013· 山东)已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={x-y|x∈A ,y∈A }中元素的个数是( A.1 答案 解析 C x-y∈{-2,-1,0,1,2 }. ) B.3 C.5 D.9 )

4.(2013· 课标全国Ⅱ)已知集合 M={x|(x-1)2 <4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N( A.{0,1,2} C.{-1,0,2,3} 答案 解析 A 化简集合 M 得 M={x|-1<x<3,x∈R},则 M∩N={0,1,2}.
2 2

B.{-1,0,1,2} D.{0,1,2,3}

5.设集合 A ={x|x +2x-3>0},集合 B ={x|x -2ax-1≤0,a>0}.若 A ∩B 中恰含有一个整 数,则实数 a 的取值范围是________. 3 4? 答案 ? ?4,3? 解析 A ={x|x2 +2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},

因为函数 y=f(x)=x2 -2ax-1 的对称轴为 x=a>0,f (0)=-1<0, 根据对称性可知要使 A ∩B 中恰含有一个整数, 则这个整数为 2, 所以有 f (2)≤0 且 f(3)>0,
? ?4-4a-1≤0, 即? 所以 ?9-6a-1>0, ?

, ?a≥3 4 ? 4 ?a<3.

3 4 即 ≤a< . 4 3

题型一 例1

集合的基本概念 (1)已知集合 A ={1,2,3,4,5},B ={(x,y)|x∈A ,y∈A ,x-y∈A},则 B 中所含元素的 ( B.6 C.8 D.10 )

个数为 A.3
? b ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0, ,b?,则 b-a=________. ? ? a

思维启迪 答案 解析

解决集合问题首先要理解集合的含义, 明确元素的特征, 抓住集合的“三性”.

(1)D (2)2 (1)由 x-y∈A ,及 A ={1,2,3,4,5}得 x>y,

当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,有 4 个; 当 y=2 时,x 可取 3,4,5,有 3 个; 当 y=3 时,x 可取 4,5,有 2 个; 当 y=4 时,x 可取 5,有 1 个. 故共有 1+2+3+4=10(个),选 D. ? b ? (2)因为{1,a+b,a}=?0, ,b?,a≠0, ? ? a b 所以 a+b=0,得 =-1, a 所以 a=-1,b=1. 所以 b-a=2. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条

件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;(2)集合中元素的互异性常常容易忽 略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)已知集合 A ={(x,y)|x,y∈R,且 x2 +y2 =1}, B ={(x,y)|x,y∈R,且 y=x}, 则 A ∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

(2)若集合 A ={x|ax2 -3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________.

答案 解析

9 (1)C (2)0 或 8 (1)集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆,集合 B 表示的是直线 y=x,据此画出图象,

可得图象有两个交点,即 A ∩B 的元素个数为 2. (2)∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3 9 当 a≠0 时,Δ=(-3)2 -4a×2=0,∴a= . 8 9 故 a=0 或 . 8 题型二 例2 集合间的基本关系 (1)已知集合 A ={x|x -3x+2=0,x∈R},B ={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A ?C? ( C.3 D.4 )
2

B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2

(2)已知集合 A ={x|-2≤x≤7},B ={x|m+1<x<2m-1},若 B ?A ,则实数 m 的取值范围 是________. 思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集, 可按含元素的个数依次写出; B ?A 不要忽略

B =?的情形. 答案 解析 (1)D (2)(-∞,4] (1)用列举法表示集合 A ,B ,根据集合关系求出集合 C 的个数.

由 x2 -3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A ={1,2}. 由题意知 B ={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)当 B =?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B ≠?时,若 B ?A ,如图.

m+1≥-2 ? ? 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1

,解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为 m≤4. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则

会造成漏解;(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的 关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、 V enn 图来直观解决这类问题. (1)设 M 为非空的数集,M?{1,2,3},且 M 中至少含有一个奇数元素,则这样的 集合 M 共有 A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 ( )

(2)已知集合 A ={x|log2 x≤2},B =(-∞,a),若 A ?B ,则实数 a 的取值范围是(c,+∞),

其中 c=________. 答案 解析 (1)A (2)4 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有 2 =8(个),集合{2}的所有子集共有 2 个,故满足要求
3

的集合 M 共有 8-2=6(个). (2)由 log2 x≤2,得 0<x≤4,

即 A ={x|0<x≤4}, 而 B =(-∞,a), 由于 A ?B ,如图所示,则 a>4,即 c=4. 题型三 例3 等于 A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} (2)(2012· 天津)已知集合 A ={x∈R||x+2|<3},集合 B ={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A ∩B =(- 1,n),则 m=________,n=________. 思维启迪 答案 解析 集合的运算问题可先对集合进行化简,然后结合数轴或 V enn 图计算. 1 集合的基本运算
? 1 ? 2 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R, 集合 A =?x|? ?x≤1?, B ={x|x -6x+8≤0 }, 则 A ∩(?RB ) ? 2 ?

(

)

(1)C (2)-1

(1)A ={x|x≥0},B ={x|2≤x≤4}

∴A ∩(?R B)={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2} ={x|0≤x<2 或 x>4}. (2)先求出集合 A ,再根据集合的交集的特点求解. A ={x|-5<x<1},因为 A ∩B ={x|-1<x<n}, B ={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 V enn 图表示;集合中的元素若是

连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关 系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. ? ? ? ?x+1≥0,? ? ? ,B ={x∈Z|x-2>0},则 A ∩B =( (1)设集合 A =?x∈R|? ? ?x-3≤0 ? ? ? ? A.{x|2<x≤3} C.{2,3} B.{3} D.{x|-1≤x<2}

)

(2)设 U=R,集合 A ={x|x2 +3x+2=0},B ={x|x2 +(m+1)x+m=0}.若(?UA )∩B =?,则 m

的值是________. 答案 解析 (1)B (2)1 或 2 (1)A ={x|-1≤x≤3},B ={x∈Z|x>2},

∴A ∩B ={x∈Z|2<x≤3}={3}. (2)A ={-2,-1},由(?UA )∩B =?,得 B ?A , ∵方程 x +(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1) -4m=(m-1) ≥0,∴B ≠?. ∴B ={-1}或 B ={-2}或 B ={-1,-2}. ①若 B ={-1},则 m=1; ②若 B ={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)· (-2)=4,这两式不能同 时成立,∴B ≠{-2}; ③若 B ={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)· (-2)=2,由这两 式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2. 题型四 例4 集合中的新定义问题 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ],即[k ]=
2 2 2

{5n+k |n∈Z},k =0,1,2,3,4. 给出如下四个结论: ①2 014∈[4]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a, b 属于同一‘类’” 的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 思维启迪 答案 解析 C 因为 2 014=402×5+4, B.2 C.3 D.4 ( )

解答本题要充分理解[k ]的意义,然后对选项逐一验证.

又因为[4]={5n+4|n∈Z}, 所以 2 014∈[4],故①正确; 因为-3=5×(-1)+2,所以-3∈[2],故②不正确; 因为所有的整数 Z 除以 5 可得的余数为 0,1,2,3,4,所以③正确; 若 a,b 属于同一“类”,则有 a=5n1 +k ,b=5n2 +k , 所以 a-b=5(n1 -n2)∈[0], 反过来,如果 a-b∈[0], 也可以得到 a,b 属于同一“类”,故④正确. 故有 3 个结论正确. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义

的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以 使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 设 U 为全集,对集合 X ,Y,定义运算“ 任意集合 X ,Y,Z,X A.(X ∪Y)∪(?U Z) B.(X ∩Y)∪(?U Z) C.[(?U X )∪(?U Y)]∩Z D.(?U X )∪(?U Y)∪Z 答案 解析 所以 X D 因为 X (Y Y=(?U X )∪Y,所以 Y Z=(?U Y)∪Z, Z)=(?UX )∪(Y Z)=(?U X )∪(?U Y)∪Z,故选 D. Y Z) = ”,满足 X Y=(?U X )∪Y,则对于 ( )

遗忘空集致误

典例:(5 分)若集合 P ={x|x +x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P ,则由 a 的可取值组成 的集合为__________. 易错分析 规范解答 解析 P ={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S?P ; 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=- , a 1 1 为满足 S?P 可使- =-3 或- =2, a a 1 1 ? 1 1? 即 a= 或 a=- . 故所求集合为?0, ,- ?. ? 3 2 3 2? ? 1 1? 答案 ?0, ,- ? ? 3 2? 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住 从集合的关系看,S?P ,则 S=?或 S≠?,易遗忘 S=?的情况.

2

集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集 1 的讨论,如 a=0 时,S=?;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3 或 2. 因此,在解答 a 此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.

方法与技巧

1. 集合中的元素的三个特征, 特别是无序性和互异性在解题时经常用到. 解题后要进行检验, 要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求 其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 V enn 图.这是数形结合思想的又 一体现. 失误与防范 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进 行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4. V enn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示 法要特别注意端点是实心还是空心. 5.要注意 A ?B 、A ∩B =A 、A ∪B =B 、?UA ??U B 、A ∩(?UB )=?这五个关系式的等价性.

A组 一、选择题

专项基础训练

1.(2013· 重庆)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A ={1,2},B ={2,3},则?U(A ∪B)等于( A.{1,3,4} C.{3} 答案 解析 D 因为 A ∪B ={1,2,3},全集 U={1,2,3,4},所以?U (A ∪B )={4},故选 D. ( B.{3,4} D.{4}

)

2.下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 解析 B

)

选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集,集合 N 表示由点(2,3)所组成的

单点集, 故集合 M 与 N 不是同一个集合. 选项 C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上的所 有点组成的集合, 集合 N 表示由直线 x+y=1 上的所有点的纵坐标组成的集合, 即 N={y|x +y=1}=R, 故集合 M 与 N 不是同一个集合. 选项 D 中的集合 M 有两个元素, 而集合 N 只含有一个元素,故集合 M 与 N 不是同一个集合.对选项 B,由集合元素的无序性,可

知 M,N 表示同一个集合. 3.已知全集 S={1,2,a2 -2a+3},A ={1,a},?SA ={3},则实数 a 等于 A.0 或 2 C.1 或 2 答案 解析 D 由题意,知?
? ?a=2, ?a -2a+3=3, ?
2

(

)

B.0 D.2

则 a=2. ( )

4.设集合 P ={3,log2 a},Q={a,b},若 P ∩Q={0},则 P ∪Q 等于 A.{3,0} C.{3,0,1} 答案 解析 C 由 P ∩Q={0},得 log2 a=0,所以 a=1,从而 b=0, B.{3,0,2} D.{3,0,1,2}

P ∪Q={3,0,1}. 5.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P =M∩N,则 P 的子集共有 A.2 个 答案 解析 B ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. B.4 个 C.6 个 ( D.8 个 )

∴M∩N 的子集共有 22 =4 个. 6.已知集合 A ={x|x2 -x-2<0},B ={x|-1<x<1},则 A.A B C.A =B 答案 解析 B 因为 A ={x|x -x-2<0},
2

(

)

B.B A D.A ∩B =?

所以 A ={x|-1<x<2}. 又 B ={x|-1<x<1},画出数轴,可得 B A . 7.(2013· 辽宁)已知集合 A ={x|0<log4 x<1},B ={x|x≤2},则 A ∩B 等于 A.(0,1) 答案 解析 D A ={x|1<x<4},B ={x|x≤2},∴A ∩B ={x|1<x≤2}.
2

(

)

B.(0,2]

C.(1,2)

D.(1,2]

8. 设全集 U 为整数集,集合 A ={x∈N|y= 7x-x -6},B ={x∈Z|- 1<x≤3},则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 A.3 答案 解析 C 因为 A ={x∈N|y= 7x-x2 -6}={x∈N|7x-x2 -6≥0}={x∈ N|1≤x≤6}, B.4 C.7 ( ) D.8

由题意,知题图中阴影部分表示的集合为 A ∩B ={1,2,3},

所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 二、填空题 9.已知集合 A ={1,3,a},B ={1,a -a+1},且 B ?A ,则 a=__________. 答案 解析 -1 或 2 由 a -a+1=3,得 a=-1 或 a=2,经检验符合.由 a -a+1=a,得 a=1,由
2 2 2

于集合中不能有相同元素,所以舍去.故 a=-1 或 2. 10.已知集合 A ={(0,1),(1,1),(-1,2)},B ={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A ∩B = __________. 答案 解析 {(0,1),(-1,2)} A 、B 都表示点集,A ∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合,

代入验证即可. 11.已知集合 A ={x||x|≤2},B ={x|x≤1},则 A ∩B =________. 答案 解析 {x|-2≤x≤1} 易知 A ={x|-2≤x≤2},∴A ∩B ={x|-2≤x≤1}.

12. 已知集合 A ={x|1≤x<5}, C={x|-a<x≤a+3}. 若 C∩A =C, 则 a 的取值范围是________. 答案 解析 (-∞,-1] 因为 C∩A =C,所以 C?A .

3 ①当 C=?时,满足 C?A ,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 -a<a+3, ? ? ②当 C≠?时,要使 C?A ,则?-a≥1, ? ?a+3<5, B组 3 解得- <a≤-1. 2

专项能力提升 )

1. 设集合 A ={1,2,3,4,5,6}, B ={4,5,6,7,8}, 则满足 S?A 且 S∩B ≠?的集合 S 的个数是( A.57 答案 解析 B B.56 C.49 D.8

集合 S 的个数为 26 -23 =64-8=56. x 2 2.已知集合 M={x| ≥0,x∈R},N={y|y=3x +1,x∈R},则 M∩N 等于( x-1 A.? C.{x|x>1} 答案 解析 C 由
?x≠1, ? x ≥0,得? x-1 ?x?x-1?≥0, ?

)

B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0}

∴x>1 或 x≤0,∴M={x|x>1 或 x≤0},N={y|y≥1}, M∩N={x|x>1}.

9 6 3.已知 U={x∈Z|y= ln ? -1?},M={x∈Z||x-4|≤1},N={x∈ N| ∈ Z},则集合{4,5}等于 ?x ? x ( A.M∩N C.N∩(?U M) 答案 解析 B B.M∩(?U N) D.(?U M)∪(?U N) )

9 集合 U 为函数 y=ln? -1?的定义域内的整数集, ?x ? 9-x 9 由 -1>0,即 >0,解得 0<x<9, x x 又 x∈Z,所以 x 可取 1,2,3,4,5,6,7,8, 故 U={1,2,3,4,5,6,7,8} . 集合 M 为满足不等式|x-4|≤1 的整数集, 解|x-4|≤1,得 3≤x≤5, 又 x∈Z, 所以 x 可取 3,4,5,故 M={3,4,5}. 6 集合 N 是使 为整数的自然数集合, x 6 显然当 x=1 时, =6; x 6 当 x=2 时, =3; x 6 当 x=3 时, =2; x 6 当 x=6 时, =1. x 所以 N={1,2,3,6}. 显然 M?U,N?U. 而 4∈M, 4∈U, 4?N, 5∈M, 5∈U, 5?N, 所以 4∈M, 4∈?U N, 5∈M, 5∈?U N, 即{4,5}=M∩(?U N). 二、填空题 1 4.已知 U={y|y=log2 x,x>1},P ={y|y= ,x>2},则?U P =________. x 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析 ∵U={y|y=log2 x,x>1}={y|y>0}, 1 1 P ={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2 1 1 ? ∴?U P ={y|y≥ }=? ?2,+∞?. 2 5.已知集合 A ={x|y=lg(x-x2 )},B ={x|x2 -cx<0,c>0},若 A ?B ,则实数 c 的取值范围是 ________.

答案 解析

[1,+∞) A ={x|y=lg(x-x2 )}={x|x-x2 >0}=(0,1),B ={x|x2 -cx<0,c>0}=(0,c),

因为 A ?B ,画出数轴,如右图所示,得 c≥1. 6.已知集合 A ={(x,y)|y=a},B ={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集 合 A ∩B 只有一个真子集,则实数 a 的取值范围是________. 答案 解析 (1,+∞) 由于集合 B 中的元素是指数函数 y=bx 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数

图象上的所有点,要使集合 A ∩B 只有一个真子集,那么 y=bx+1(b>0,b≠1)与 y=a 的 图象只能有一个交点,所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).


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2015步步高高中数学理科文档第十三章 13.1

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2015步步高高中数学理科文档第五章 5.1

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