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高二 等差、等比数列


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高二数学

等差、等比数列 ). D.18

1.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 =( A.12 【答案】D B.14 C.16

【解析】 d ? a3 ? a2 ? 2 , a1 ? a2 ? d

? 0 ,则 a10 ? a1 ? 9d ? 18 .

2.{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于 ( ). 答案:C 解析:由题设,代入通项公式 an=a1+(n-1)d,即 2 005=1+3(n-1),∴

n=699.
A.667 B.668 C.669 D.670

3、在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4 +a5=( A.33 答案:C 解析:本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得 a1+a2+a3=21, 即 a1(1+q+q2)=21,又 a1=3,∴1+q+q2=7. 解得 q=2 或 q=-3(不合题意,舍去), ∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×22×7=84. 4、等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A.81 答案:B 解析:∵a2=9,a5=243,
a5 243 =q3= =27, a2 9

). B.72 C.84 D.189

). D.192

B.120

C.168

∴q=3,a1q=9,a1=3, ∴S4=
3-3 5 240 = =120. 1-3 2

5.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2=( A.-4 答案:B 解析:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6,
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).

B.-6

C.-8

D. -10

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又由 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8, ∴a2=-8+2=-6. 6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 答案:A
9(a1 ? a9 ) 9 ? a5 S9 9 5 2 解析:∵ = = = · =1,∴选 A. 5(a1 ? a5 ) 5 ? a3 S5 5 9 2
a5 S 5 = ,则 9 =( a3 S5 9

). D.
1 2

B.-1

C.2

7.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列, 则
a2 ? a1 的值是( b2

). B.-
1 2

A.

1 2

C.- 或

1 2

1 2

D.

1 4

答案:A 解析:设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q4, ∴d=-1,q2=2, ∴
a2 ? a1 d 1 = 2= . b2 ?q 2

8、已知等比数列{an}中, (1)若 a3·a4·a5=8,则 a2·a3·a4·a5·a6= (2)若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6= (3)若 S4=2,S8=6,则 a17+a18+a19+a20= 答案: (1)32; (2)4; (3)32.
2 解析: (1)由 a3·a5= a4 ,得 a4=2,

. . .

5 ∴a2·a3·a4·a5·a6= a4 =32.

(2) ?

?a1 ? a2 ? 324
2 ?(a1 ? a2 )q ? 36

? q2 ?

1 , 9

∴a5+a6=(a1+a2)q4=4. (3) ? ?
?S 4=a1+a2+a3+a4=2
4 ? ?S8=a1+a2+? ? ? +a8=S 4+S 4 q

? q 4=2 ,

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∴a17+a18+a19+a20=S4q16=32. 9.在 和 为 . 答案:216. 解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而 中间数必与 , 积为 ×
8 3 8 3
8 27 27 同号,由等比中项的中间数为 ? =6,? 插入的三个数之 3 2 2

8 3

27 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积 2

27 ×6=216. 2

10.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项之和 为 . 答案:26. 解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10, ∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4, ∴S13=
13 (a1+a13 ) 13 (a4+a10 ) 13? 4 = = =26. 2 2 2

11.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= 答案:-49. 解析:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10
7(a4+a10 ) 2 7 (a -d+a5+5d ) = 5 2

.



=7(a5+2d) =-49. 12、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列。 分析: 判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其 前一项差为常数. 证明:当 n=1 时,a1=S1=3-2=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,

n=1 时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*).
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首项 a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*), ∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6. 13.设{an}是公比为 q (1)求 q 的值; (2)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (1)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1 或- .
n(n-1) n 2+3n = . 2 2 (n- 1)(n+2) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= >0,故 Sn>bn. 2 1 2

的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列.

(2)若 q=1,则 Sn=2n+

- n 2+9 n n(n-1) 1 (- )= . 4 2 2 (n- 1)(10-n) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= , 4

若 q=- ,则 Sn=2n+

1 2

故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,

Sn<bn.
14、数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 求证:数列{
Sn }是等比数列. n n+2 Sn, n n?2 Sn(n=1,2,3…). n

证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1) Sn, 所以 故{
S n+1 2S = n. n+1 n

Sn }是以 2 为公比的等比数列. n

15、已知等差数列 ?an ? 的公差 d =1,前 n 项和为 Sn 。 (I)若 1, a1, a3成等比数列,求 a1 ; (II)若 S5 ? a1a9,求a1的取值范围。

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16.设 {an } 为等差数列, 公差 d ? ?2 , s n 为其前 n 项和 , 若 S10=S11, 则 a1 ?( A.18 B.20 C.23 D.24



广东高考题分析: 1 ( 2013 年 11 题 ) . 设 数 列 {an } 是 首 项 为 1 , 公 比 为 ?2 的 等 比 数 列 , 则

a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |?
【解析】基础题,记好公式,答案为 15
1 1 2 2. (2013 年 12 题)若等比数列 {an } 满足 a 2 a 4 ? ,则 a1a3 a5 ? _ 4 ____. 2

2. (2011 年 20 题) 设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ≤ b n ?1 ? 1 . (1)解:∵ an ?
nban ?1 an ?1 ? n ? 1 nban ?1 (n ≥ 2) . an ?1 ? n ? 1



an ban ?1 ? n an ?1 ? n ? 1 n 1 n ?1 1 ? ? ? an b an?1 b n n ?1 n ? ? 1 ,则 { } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数 an an?1 an



① 当 b ? 1 时, 列

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n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,即 an ? 1 an n 1 1 n ?1 1 ? ? ( ? ) an 1 ? b b an?1 1 ? b

② 当 b ? 0 且 b ? 1 时,

当 n ? 1 时,

n 1 1 ? ? an 1 ? b b(1 ? b)

∴{

1 1 n 1 为首项, 为公比的等比数列 ? } 是以 b b(1 ? b) an 1 ? b



n 1 1 1 ? ? ? ( )n an 1 ? b 1 ? b b

n 1 1 1 ? bn ∴ ? ? ? an (1 ? b)bn 1 ? b (1 ? b)bn
n(1 ? b)b n ∴ an ? 1 ? bn

? n(1 ? b)b n ,  b ? 0且b ? 1 ? 综上所述 an ? ? 1 ? b n ?1,   b ? 1    ?
(2)证明:① 当 b ? 1 时, 2an ? bn?1 ?1 ? 2 ; ② 当 b ? 0 且 b ? 1 时, 1 ? bn ? (1 ? b)(1 ? b ? 要证 2an ? b 即证
n?1

? bn?2 ? bn?1 )

2n(1 ? b)b n ? b n ?1 ? 1 , ? 1 ,只需证 n 1? b

2n(1 ? b) 1 ?b? n n 1? b b 2n 1 ?b? n 即证 n?2 n ?1 1? b ? ? b ? b b 1 即证 (b ? n )(1 ? b ? ? b n ? 2 ? b n ?1 ) ? 2n b 1 1 1 1 即证 (b ? b 2 ? ? b n ?1 ? b n ) ? ( n ? n ?1 ? ? 2 ? ) ? 2n b b b b 1 1 1 1 ∵ (b ? b 2 ? ? b n ?1 ? b n ) ? ( n ? n ?1 ? ? 2 ? ) b b b b 1 1 1 1 ? (b ? ) ? (b 2 ? 2 ) ? ? (b n ?1 ? n ?1 ) ? (b n ? n ) b b b b
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1 1 ? 2 b ? ? 2 b2 ? 2 ? b b
成立

? 2 bn?1 ?

1 1 ? 2 bn ? n ? 2n ,∴原不等式 n ?1 b b

∴对于一切正整数 n , 2an ≤ b n ?1 ? 1 . (2012 年 19 题,本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 s n , 数列 ?sn ? 的前 n 项和为 ?Tn ? , 满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N * . (1) 求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.
2 解: (1)由 Tn ? 2S n ? n 令 n ? 1



T1 ? 2S1 ? 12 , 又 T1 ? S1 ? a1 a1 ? 2a1 ? 12
a1 ? 1
○ 1
2

? ?
(2) 有

2 由 Tn ? 2S n ? n

Tn?1 ? 2S n?1 ? ?n ? 1?

○ 2

由○ 1 -○ 2有

S n ? 2an ? ?2n ? 1?

○ 3 ○ 4

?S

n?1

? 2an?1 ? ?2?n ? 1? ? 1?

由○ 3 -○ 4有

an ? 2an ? 2an?1 ? 2

?

an ? 2an?1 ? 2 即 an ? 2 ? 2?an?1 ? 2?
an ? 2 ?2 n ?1 ? 2
n

?a ?a ?a

即 ?an ? 2?为等比数列

? 2 ? ?a1 ? 2?? 2n?1 = 3 ? 2 n ?1 ? 3 ? 2 n?1 ? 2

n

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3、 (2013 年 19 题,本小题满分 14 分)
2 ? 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1,n ? N , 且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.
(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 ? . an an ?1 2

2 2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 , an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 解得 a2 ? 3 , a2 , a5 , a14 构成等比数列, ?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.

(3)

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
点评:已知 Sn 与 an ,或 Sn 与n有关系,用两步便可求 an ,本题需要用到完 全平方公式, 这是初中与高中链接知识内功的体现,所以不要忽略初升高知识链 接的学习,最后一道题需要更深的内功。第(3)问只需裂项求和即可。. 本题易错点在分成 n ? 1 , n ? 2 来做后,不会求 a1 ,没有证明 a1 也满足通项

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公式.有的学生不用 a2 , a5 , a14 构成等比数列这个条件也能求出通项, 肯定被扣分。 所以学得好不如考得好,平时要注意如何避免被扣分。 (2014 年 19 题,本小题满分 14 分)
2 19. 设各项均为正数的数列?an ?的前n项和为S n , 且S n 满足S n ? (n 2 ? n ? 3) S n ? 3(n 2 ? n) ? 0, n ? N ? .

(1)求a1的值;

(2)求数列?an ?的通项公式;

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

解 : (1)令n ? 1得 : S12 ? (?1) S1 ? 3 ? 2 ? 0, 即S12 ? S1 ? 6 ? 0,? ( S1 ? 3)( S1 ? 2) ? 0, S1 ? 0,? S1 ? 2, 即a1 ? 2.
2 2 (2)由S n ? (n 2 ? n ? 3) S n ? 3(n 2 ? n) ? 0, 得 : ( S n ? 3) ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ? 0,

an ? 0(n ? N ? ),? S n ? 0, 从而S n ? 3 ? 0,? S n ? n 2 ? n,
2 ?当n ? 2时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? ? ?(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 2 n,

又a1 ? 2 ? 2 ?1,? an ? 2n(n ? N ? ). (3)当k ? N ?时, k 2 ? k k 3 1 3 ? k 2 ? ? ? (k ? )(k ? ), 2 2 16 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 1 ak (ak ? 1) 2k (2k ? 1) 4 k (k ? ) 4 (k ? )(k ? 3 ) 2 4 4 ? ? ? 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ?? ? 1 1? 1 ? 1? 4 ? 4 ? k ? ( k ? 1) ? (k ? ) ? ?(k ? 1) ? ? ? 4 4? 4 ? 4? ? 1 1 ? ? a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) ? 1 an (an ? 1)

? ? ? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? ? ? 1 1 1 1? 4 ? 1? 1 2 ? 1 2? 3? n? (n ? 1) ? ? ? 4 4 4 4 4 4? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? . 4 1 ? 1 (n ? 1) ? 1 3 4n ? 3 3 4 4

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