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2009年高考第一轮复习数学:2.7 指数与指数函数

时间:2015-05-26


2.7
●知识梳理 1.指数 (1)n 次方根的定义

指数与指数函数

若 xn=a,则称 x 为 a 的 n 次方根, “n

”是方根的记号.

在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0 的奇次方 根是 0;正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数,0 的

偶次方根是 0,负数没有偶 次方根. (2)方根的性质 ①当 n 为奇数时, n a n =a.

?a ②当 n 为偶数时, n a n =|a|= ? ?? a
(3)分数指数幂的意义
m n

(a ? 0), (a ? 0).

①a = n a m (a>0,m、n 都是正整数,n>1). ②a
? m n

=

1 a
m n

=

1
n

am

(a>0,m、n 都是正整数,n>1).

2.指数函数 (1)指数函数的定义 一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数. (2)指数函数的图象

1 O x



y

x y = a a > 1 (

x y y = a ( 0 < a < 1 )

1 O

x

底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称. (3)指数函数的性质 ①定义域:R. ②值域: (0,+∞). ③过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1. ④当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数. ●点击双基 1. 3 a · 6 ? a 等于 A.- ? a B.- a

C. ? a
1 1

D.
1 1 ? 6

a
1

解析: 3 a · 6 ? a =a 3 · (-a) 6 =-(-a) 3 答案:A
x

=-(-a) 2 .

2.(2003 年郑州市质量检测题)函数 y=2 3 的图象与直线 y=x 的位置关系是
y y

O

x

O

x

y

A

y

B

O

x

O

x

C
x

D

解析:y=2 3 =( 3 2 )x. ∵ 3 2 >1,∴不可能选 D. 又∵当 x=1 时,2 >x,而当 x=3 时,2 <x,∴不可能选 A、B. 答案:C 3.(2004 年湖北,文 5)若函数 y=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过二、三、四象限, 则一定有 A.0<a<1 且 b>0 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b<0 D.a>1 且 b<0 x 解析:作函数 y=a +b-1 的图象. 答案:C 4.(2004 年全国Ⅱ,理 6)函数 y=-ex 的图象 A.与 y=ex 的图象关于 y 轴对称 B.与 y=ex 的图象关于坐标原点对称 - - C.与 y=e x 的图象关于 y 轴对称 D.与 y=e x 的图象关于坐标原点对称 解析:图象法. 答案:D 5.(2004 年湖南,文 16)若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个 公共点,则 a 的取值范围是___________________. 解析:数形结合.由图象可知 0<2a<1,0<a< 答案:0<a< 6.函数 y=(
x 3 x 3

1 . 2

1 2

1 x 2 ?2 x ? 2 ) 的递增区间是___________. 2

解析:∵y=(

1 x ) 在(-∞,+∞)上是减函数,而函数 y=x2-2x+2=(x-1)2+1 的 2

递减区间是(-∞,1] ,∴原函数的递增区间是(-∞,1]. 答案: (-∞,1] ●典例剖析 【例 1】 下图是指数函数(1)y=ax, (2)y=bx, (3)y=cx, (4)y=dx 的图象,则 a、b、 c、d 与 1 的大小关系是
y (1) (2) (3) (4)

1 O x

A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 剖析:可先分两类,即(3) (4)的底数一定大于 1, (1) (2)的底数小于 1,然后再从 (3) (4)中比较 c、d 的大小,从(1) (2)中比较 a、b 的大小. 解法一:当指数函数底数大于 1 时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近于 y 轴;当底数大于 0 小于 1 时,图象下降,底数越小,图象向右越靠近于 x 轴.得 b<a<1<d <c. 解法二:令 x=1,由图知 c1>d1>a1>b1, ∴b<a<1<d<c. 答案:B 【例 2】 已知 2 x 解:∵2 x
2 2

?x

≤(

1 x-2 - ) ,求函数 y=2x-2 x 的值域. 4
-x

?x

≤2

-2(x-2)

,∴x2+x≤4-2x,即 x2+3x-4≤0,得-4≤x≤1.又∵y=2x-2
- -

是[-4,1]上的增函数,∴2 4-24≤y≤2-2 1.故所求函数 y 的值域是[-

255 3 , ]. 16 2

【例 3】 要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 解:由题意,得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,即 a>-

1? 2x 在 x∈(- 4x

∞,1]上恒成立.又∵-

1? 2x 1 1 1 1 1 =-( )2x-( )x=-[ ( )x+ ]2+ ,当 x∈(-∞, x 2 2 2 2 4 4

1]时值域为(-∞,-

3 3 ] ,∴a>- . 4 4

评述:将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法. ●闯关训练 夯实基础 1.已知 f(x)=ax,g(x)=-logbx,且 lga+lgb=0,a≠1,b≠1,则 y=f(x)与 y=g(x) 的图象 A.关于直线 x+y=0 对称 B.关于直线 x-y=0 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称

解析:lga+lgb=0 ? ab=1. ∴g(x)=-logbx=-loga-1x=logax. ∴f(x)与 g(x)的图象关于 y=x 对称. 答案:B 2.下列函数中值域为正实数的是 A.y=-5x B.y=(

1 1-x ) 3

1 C.y= ( ) x ? 1 2
解析:∵y=( 答案:B 3.化简

D.y= 1 ? 2 x

1 x 1 - ) 的值域是正实数,而 1-x∈R,∴y=( )1 x 的值域是正实数. 3 3

a 3 b 2 3 ab 2
1 1 (a 4 b 2 ) 4

b ?3 a

(a>0,b>0)的结果是___________________.

解析:原式=

1 1 3 2 3 2 2 a b ? [( ab ) ] 1 b ab 2 ? ( ) 3

=

1 1 3 2 a b ? a 6b3 2 7 a 3b 3

=

10 4 a 6 b3 2 7 a 3b 3

=

a . b

a

答案:

a b
2

4.满足条件 m m >(mm)2 的正数 m 的取值范围是___________________. 解析:∵m>0,∴当 m>1 时,有 m2>2m,即 m>2; 当 0<m<1 时,有 m2<2m,即 0<m<1. 综上所述,m>2 或 0<m<1. 答案:m>2 或 0<m<1 5.(2004 年湖北,理 7)函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的 和为 a,则 a 的值为 A.

1 4 1 . 2

B.

1 2

C.2

D.4

解析: ( f x) 在 [0, 1] 上是单调函数, 由已知 ( f 0) +( f 1) =a ? 1+loga1+a+loga2=a ? loga2= -1 ? a=

答案:B 6.已知 9x-10·3x+9≤0,求函数 y=(

1 x-1 1 ) -4( )x+2 的最大值和最小值. 4 2 1 ) 2

解:由 9x-10·3x+9≤0 得(3x-1) (3x-9)≤0,解得 1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令(
x

=t,则

1 1 1 ≤t≤1,y=4t2-4t+2=4(t- )2+1.当 t= 即 x=1 时,ymin=1;当 t=1 即 x=0 时, 4 2 2

ymax=2.

培养能力

1 1 ·ax- ≤0(a>0 且 a≠1) ,求 y=2a2x-3·ax+4 的值域. 2 2 1 1 1 解:由 a2x+ ·ax- ≤0(a>0 且 a≠1)知 0<ax≤ . 2 2 2 1 令 ax=t,则 0<t≤ ,y=2t2-3t+4.借助二次函数图象知 y∈[3,4). 2
7.若 a2x+ 8.(2004 年全国Ⅲ,18)解方程 4x+|1-2x|=11. 解:当 x≤0 时,1-2x≥0. 原方程 ? 4x-2x-10=0 ? 2x= 1 知 x>0(无解). 当 x>0 时,1-2x<0. 原方程 ? 4x+2x-12=0 ? 2x=-

41 41 41 1 1 1 ± <0(无解)或 2x= + > ? 2x= - 2 2 2 2 2 2

1 7 ± ? 2x=-4(无解)或 2x=3 ? x=log23(为原方程 2 2

的解). 探究创新 - - 9.若关于 x 的方程 25 |x+1|-4·5 |x+1|-m=0 有实根,求 m 的取值范围. - 解法一:设 y=5 |x+1|,则 0<y≤1,问题转化为方程 y2-4y-m=0 在(0,1]内有实根. 设 f(y)=y2-4y-m,其对称轴 y=2,∴f(0)>0 且 f(1)≤0,得-3≤m<0. - 解法二:∵m=y2-4y,其中 y=5 |x+1|∈(0,1] ,∴m=(y-2)2-4∈[-3,0). ●思悟小结 1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算,从而简化计算过程. 2.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质受 a 的影响,要分 a>1 与 0<a<1 来研 究.
1

3.指数函数的定义重在“形式” ,像 y=2·3x,y=2 x ,y=3

x?2

,y=3x+1 等函数都不符合

形式 y=ax(a>0,a≠1) ,因此,它们都不是指数函数. ●教师下载中心 教学点睛 1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用 .对于含有字母参数的两个函数式比较 大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时, 必须对字母参数或自变量取 值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性,是解决这一类问题的关键. 2.对可化为 a2x+b·ax+c=0 或 a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元 法解决,但应提醒学生注意换元后“新元”的范围. 拓展题例
1? a ?b

【例 1】 若 60a=3,60b=5.求 12 2(1?b ) 的值. 解:a=log603,b=log605, 1-b=1-log605=log6012, 1-a-b=1-log603-log605=log604,

log 60 4 1? a ? b = =log124, log 60 12 1? b

12

1? a ?b 2 (1?b )

1

=12 2

log12 4

=12 log12 2 =2.

【例 2】 方程 2x=2-x 的解的个数为______________. 解析:方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数 图象(如下图).
y 2 1 O 1 2 x

由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1 评述:无法直接求解的方程问题,常用作图法来解,注意数形结合的思想.


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