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2012年第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案


29 届全国中学生物理竞赛决赛试题及解答
一、(15 分) 如图,竖直的光滑墙面上有 A 和 B 两个钉子,二者处于同一水平高度,间距为 l ,有一原长为 l 、劲度 系数为 k 的轻橡皮筋,一端由 A 钉固定,另一端系有一质量为 m=

kl 的小 4g

球,其中 g 为重力加速度.钉子和小球都可视为质点,小球和任何物体碰 撞

都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连.现将小球水平向右拉伸到与 A 钉 距离为 2 l 的 C 点,B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触.初始时 刻小球获得大小为 v0 ?

gl 、方向竖直向下的速度,试确定此后小球沿 2

竖直方向的速度为零的时刻. 二、(20 分) 如图所示,三个质量均为 m 的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点 A、B 和 C 处.AD ⊥BC,且 AD=BD=CD=a,小球可视为质点,整个杆球体系置于水平桌面上,三个小球和桌面接触,轻质杆架 悬空.桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ ,在 AD 杆上距 A 点 a/4 和 3a/4 两处分别施加一垂直于此杆的推力,且两推力大小相等、方向相反. 1.试论证在上述推力作用下,杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时, 三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力; 2.如果在 AD 杆上有一转轴,随推力由零逐渐增加,整个装置将从静止开始绕 该转轴转动.问转轴在 AD 杆上什么位置时,推动该体系所需的推力最小,并求出 该推力的大小. 三、(20 分) 不光滑水平地面上有一质量为 m 的刚性柱体,两者之间的摩擦因数记为μ .柱体 正视图如图所示,正视图下部为一高度为 h 的矩形,上部为一半径为 R 的半圆形.柱 体上表面静置一质量同为 m 的均匀柔软的链条,链条两端距地面的高度均为 h/2, 链条和柱体表面始终光滑接触.初始时,链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑.试 求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中, 当题中所给参数满足什么关系 时, 1.柱体能在地面上滑动; 2.柱体能向一侧倾倒; 3.在前两条件满足的情形下,柱体滑动先于倾倒发生. 四、(20 分) 如图所示,在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球,两球半径均为 a,A 球质 量为 m,所带电荷量为 Q,B 球质量为 4m,所带电荷量为-4Q.在初始时刻,两球球心距为 4a,各有一定的 初速度,以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞,且都不会从圆桌面掉落.现要求在此前提下尽量减 小桌面面积,试求 1.两球初速度的方向和大小; 2.圆桌面的最小半径. 假设两球在运动过程中, 其所带电荷量始终保持均匀分 布:桌面也不发生极化效应.已知两个均匀带电球之间的静 电相互作用力, 等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相 互作用力;静电力常量为 ke.

五、(20 分) 如图所示,一半径为 R 的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置,可绕过圆盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由 转动.一半径为 a 的轻质小圆线圈(a<<R)固定在盘面上,圆线圈与圆盘共轴.在盘边缘处等间隔地固定 4 个质量均为 m 的带正电的金属小球,每个小球所带电荷量均为 q.此装置处在一磁感应强度大小为 B0、方 向竖直向上的均匀强磁场中.初始时圆盘静止,圆线圈中通有恒定电流 I.方向沿顺时针方向(从上往下 看).若切断圆线圈中的电流,则圆盘将发生转动.求薄圆盘稳定转动后,圆盘在水平方向对每个金属球 小的作用力的大小.假设金属小球可视为质点,不计小圆线圈的自感和 带电金属小球因运动所产生的磁场. 已知固定在圆盘面上的半径为 a、通有电流 I 的圆线圈在圆盘面内、 距线圈圆心的距离为 r 处 (r>>a) 产生的磁场的磁感应强度的大小为

2?a 2 I B= k m ,式中 km 为已知常量,当线圈中的电流沿顺时针方向时, r3
磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上.静电力常量为 ke.


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