nbhkdz.com冰点文库

2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题


绝密★启用前

试卷类型:A

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和考生号填写在答题卡指定位 置上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将条形码

横贴在答题卡右上角“条 形码粘贴处” . 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作 答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. 锥体体积公式 V ?

2012.4

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率记为 P( B | A) ,那么

P( AB) ? P( A) P( B | A) .
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.集合 { i | n ?N? } (其中 i 是虚数单位)中元素的个数是
n

A.1

B.2

C.4

D.无穷多个

2.设随机变量 X~N (1 , 32 ) ,若 P( X ? c) ? P( X ? c) ,则 c 等于 A.0 B.1 C.2 D.3

3.已知命题 p : “存在 a , b ? R ? ,使得 lg(a ? b) ? lg a ? lg b ” ;命题 q : “空间两条直线异面的充分必 要条件是它们不同在任何一个平面内” .则它们的真假是 A. p , q 都是真命题 C. p , q 都是假命题 B. p 是真命题, q 是假命题 D. p 是假命题, q 是真命题

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 1 页 共 14 页

4.在学校的一次演讲比赛中,高一、高二、高三分别有 1 名、2 名、3 名同学获奖,将这六名同学排成 一排合影,要求同年级的同学相邻,那么不同的排法共有 A.6 种 B.36 种 C.72 种 D.120 种

5.设 a , b , c , d ? R ,若 a ,1, b 成等比数列,且 c ,1, d 成等差数列,则下列不等式恒成立的是 A. a ? b ? 2cd C. | a ? b | ? 2cd 6.设函数 f ( x) ? ? B. a ? b ? 2cd D. | a ? b | ? 2cd

? x ?2 ? a , x ? 2 , 若 f (x ) 的值域为 R ,则常数 a 的取值范围是 ?x ? a2 , x ? 2 . ?
B. [?1 , 2] D. [?2 , 1]

A. (?? , ? 1] ? [2 , ? ?) C. (?? , ? 2] ? [1 , ? ?)

c
l
O

7.如图 1,直线 l 和圆 c ,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针 方向匀速转动(转动角度不超过 90 ? )时,它扫过的圆内阴影 部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是

图1
S S S S

l0

O

A.

t

O

B.
2

t

O
2

C.

t

O

D.

t

8.如果函数 y ? | x | ?1 的图象与方程 x ? ? y ? 1的曲线恰好有两个不同的公共点, 则实数 ? 的取值范围是 A. (?? , ? 1] ? [0 , 1) B. [?1 , 1) C. {?1 , 0} D. [?1 , 0] ? (1 , ? ?)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题. 9.在实数范围内,方程 | x | ? | x ? 1 |? 1 的解集是 .
12 mm

10.某机器零件的俯视图是直径为 24 mm 的圆(包括圆心) , 主视图和侧视图完全相同(如图 2 所示) .则该机器零件 的体积是
12 mm 12 mm

12 mm

mm 3 (结果保留 ? ) .

图2
. .

11.已知平面向量 a , b 满足条件 a ? b ? (1 , 0) , a ? b ? (?1 , 2) ,则 a ? b ? 12.执行图 3 中程序框图表示的算法,若输入 m ? 5533 , n ? 2012 ,则输出 d ?

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 2 页 共 14 页

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“: ) =”
开始 输入 m , n (m>n) d=m-n


d≠n?




输出 d

结束

n=d

m=n m=d

d>n?


图3

13.一车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.

? 根据收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求得回归方程 y ? 0.67x ? 54.9 .
零件数 x (个) 加工时间 y (min) 10 62 20 30 75 40 81 . 50 89

现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题.

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知直线 l : ? (sin? ? cos? ) ? a 把曲线 C : ? ? 2 cos? 所围成的区域分成面积相等的两部分,则常数 a 的值是 15. (几何证明选讲选做题)如图 4, AB 是圆 O 的直径, 弦 AD 和 BC 相交于点 P ,且 ?APB ? 120 ? , 则
C
P
A
?


D

CD 等于 AB



O

B

图4 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? (1)求 f (x) 的最大值; (2)设△ ABC 中,角 A 、 B 的对边分别为 a 、 b ,若 B ? 2 A 且 b ? 2a f ( A ?

?
6

),x?R.

?
6

) ,求角 C 的大小.

17. (本小题满分 12 分) 深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过的球) 个 ,3 是旧球(即至少用过一次的球) .每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 3 页 共 14 页

18. (本小题满分 14 分) 如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形 A ' B 'C ' D ' ,其中 .

A 与 A ' 重合,投影线 BB '? DD '? CC ' .
(1)证明 AD '// 平面 BB 'C 'C ,并指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状; (2)如果四边形 AB 'C ' D ' 中, AD'? 2 , AB'? 5 ,正方形 ABCD 的边长为 6 , 求平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值.
C

D B

C'
D'

B'

A(A ')

图5
19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an ? 2 ? (2 ? cosn? )(an ? 1) ? 3 , n ? N ? . (1)求通项公式 an ; (2)设 {an } 的前 n 项和为 Sn ,问:是否存在正整数 m 、 n ,使得 S2 n ? mS2 n ?1 ? 若存在,请求出所有的符合条件的正整数对 (m , n) ,若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 如图 6,已知动圆 M 过定点 F (0 , 1) 且与 x 轴相切,点 F 关于圆心 M 的对称点为 F ' ,动点 F ' 的轨 迹为 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 A( x0 , y0 ) 是曲线 C 上的一个定点,过点 A 任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线 C 相交 于另外两点 P 、 Q . ① 证明:直线 PQ 的斜率为定值; ② 记曲线 C 位于 P 、 Q 两点之间的那一段为 L .若点 B 在 L 上,且点 B 到直线 PQ 的距离最大, 求点 B 的坐标.
2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题 第 4 页 共 14 页

y

F? '
?

M
?

F

O

x

图6
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ln x , g ( x) ? f ( x) ? xf ?(a) ,其中 a 为正常数. (1)求 g (x) 的单调区间; (2)对任意的 x1 , x2 ? R ? ,且 x1 ? x2 ,证明:

( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) ;
(3)对任意的 n ? N ? ,且 n ? 2 ,证明:

1 1 1 1 ? f (n ? 1) ? ??? ? . ln 2 ln 3 ln n ln 2 ? ln n

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 5 页 共 14 页

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)参考答案及评分标准
题目要求的. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 D 8 B

2012.4

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题. 9. [?1 , 0] 10. 2880 ? 11. ? 1 12. 503 13. 68

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题) ? 1 15. (几何证明选讲选做题)

1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解: (1) f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?
6

) ? sin x ?

3 1 cos x ? sin x 2 2

????????2 分

? 3 ? ? ? 1 ? 3? sin x ? cos x ? ? 3 sin( x ? ) . (注:也可以化为 3 cos( x ? ) ) ?4 分 ? 2 ? 6 3 2 ? ?
所以 f (x) 的最大值为 3 . ??????????????????????6 分 (注:没有化简或化简过程不全正确,但结论正确,给 4 分) (2)因为 b ? 2a f ( A ?

?

6 2 2 又 B ? 2 A ,所以 sin 2 A ? 2 3 sin A ,即 sin A cos A ? 3 sin A ,

) ,由(1)和正弦定理,得 sin B ? 2 3 sin 2 A .??????7 分
??????9 分

而 A 是三角形的内角,所以 sin A ? 0 ,故 cos A ? 3 sin A , tan A ? 所以 A ?

?
6

, B ? 2A ?

?
3

,C ? ? ? A ? B ?

?
2

3 , ??????11 分 3



??????????????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1) ? 的所有可能取值为 0,1,2. ???????????????1 分

设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ? ? i ) ”为事件 Ai ( i ? 0,1,2) .因为集训前共有 6 个篮球, 其中 3 个是新球,3 个是旧球,所以

P( A0 ) ? P(? ? 0) ? P( A2 ) ? P(? ? 2) ?

C32 1 ? , 2 C6 5 C32 1 ? . 2 C6 5

??3 分 P( A1 ) ? P(? ? 1) ? ???7 分

1 1 C3C3 3 ? , ??5 分 2 C6 5

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 6 页 共 14 页

所以 ? 的分布列为(注:不列表,不扣分)

?
P

0

1

2

1 5 1 3 1 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5

3 5

1 5
??????????????8 分

(2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B . 因为“第一次训练时,从 6 个球中任意取出 2 个球”就是事件 A0 ? A1 ? A2 , 所以“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 ( A0 ? A1 ? A2 ) B . 而 ( A0 ? A1 ? A2 ) B ? A0 B ? A1B ? A2 B ,事件 A0 B 、 A1B 、 A2 B 互斥, 所以, P(( A0 ? A1 ? A2 ) B) ? P( A0 B ? A1B ? A2 B) ? P( A0 B) ? P( A1B) ? P( A2 B) . 由条件概率公式,得

1 C1C1 1 3 3 P( A0 B) ? P( A0 ) P( B | A0 ? ? 3 2 3 ? ? ? , ) 5 C6 5 5 25

?????????????9 分

3 C1C1 3 8 8 , ?????????????10 分 P( A1 B) ? P( A1 ) P( B | A1 ? ? 2 2 4 ? ? ? ) 5 C6 5 15 25 1 C1C1 1 1 1 P( A2 B) ? P( A2 ) P( B | A2 ? ? 1 2 5 ? ? ? . ) 5 C6 5 3 15
所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 ?????????????11 分

P(( A0 ? A1 ? A2 ) B) ?
18. (本小题满分 14 分)

3 8 1 38 ? ? = . 25 25 15 75

???????????????12 分

C

证明: (1)依题意, BB '? 平面 AB 'C ' D ' ,

CC '? 平面 AB 'C ' D ' ,
DD '? 平面 AB 'C ' D ' ,
所以 BB '// CC '// DD ' . ?????2 分

D
E

(法 1)在 CC ' 上取点 E ,使得 CE ? DD ' , 连结 BE , D ' E ,如图 5-1. 因为 CE // DD ' ,且 CE ? DD ' , 所以 CDD ' E 是平行四边形, D ' E // DC ,且 D 'E ? DC . 又 ABCD 是正方形, DC // AB ,且 DC ? AB , 所以 D ' E // AB ,且 D ' E ? AB ,故 ABED ' 是平行四边形,

B

C'
D'

B'

A(A ')

图5 ?1
????????????4 分

从而 AD '// BE ,又 BE ? 平面 BB 'C 'C , AD '? 平面 BB 'C 'C , 所以 AD '// 平面 BB 'C 'C . ????????????????????????6 分

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 7 页 共 14 页

四边形 AB 'C ' D ' 是平行四边形(注:只需指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状,不必证明) .??7 分 (法 2)因为 DD '// CC ' , CC '? 平面 BB 'C 'C , DD '? 平面 BB 'C 'C , 所以 DD '// 平面 BB 'C 'C . 因为 ABCD 是正方形,所以 AD // BC ,又 BC ? 平面 BB 'C 'C , AD ? 平面 BB 'C 'C , 所以 AD // 平面 BB 'C 'C . ????????????????????????4 分

而 DD '? 平面 ADD ' , AD ? 平面 ADD ' , DD ' ? AD ? D , 所以平面 ADD '// 平面 BB 'C 'C ,又 AD '? 平面 ADD ' ,所以 AD '// 平面 BB 'C 'C . ????6 分 四边形 AB 'C ' D ' 是平行四边形(注:只需指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状,不必证明) .??7 分 解: (2)依题意,在 Rt△ ABB ' 中, BB '? 在 Rt△ ADD ' 中, DD '?

AB 2 ? AB '2 ? ( 6 ) 2 ? ( 5 ) 2 ? 1 ,

AD 2 ? AD '2 ? ( 6 )2 ? ( 2 )2 ? 2 ,

所以 CC '? BB '? DD '? AA '? 1 ? 2 ? 0 ? 3 . (注:或 CC '? CE ? EC '? DD '? BB '? 2 ? 1 ? 3 ) 连结 AC , AC ' ,如图 5-2, 在 Rt△ ACC ' 中, AC '? ???????????????8 分 C

AC 2 ? CC '2 ? (2 3 ) 2 ? 32 ? 3 .

2 2 2 所以 AC ' ? B 'C ' ? AB ' ,故 AC '? B 'C ' .??10 分

(法 1)延长 CB , C 'B ' 相交于点 F , 则

D B

FB ' BB ' 1 3 ? ? ,而 B 'C '? 2 ,所以 FC '? 2. FC ' CC ' 3 2
连结 AF ,则 AF 是平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D '

C'
D'

B'

F

的交线. 在平面 AB 'C ' D ' 内作 C 'G ? AF ,垂足为 G , 连结 CG .

G

A(A ')

图5 ? 2

因为 CC '? 平面 AB 'C ' D ' , AF ? 平面 AB 'C ' D ' ,所以 CC '? AF . 从而 AF ? 平面 CC 'G , CG ? AF . 所以 ?CGC ' 是平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的一个锐二面角. ??????????12 分

C ' A ? C 'F 在 Rt△ AC ' F 中, C 'G ? ? AF

3 2 3 5 2 , ? 2 5 ?3 ? ( 3)2 ? ? 2? ?2 ? 3?
2 2

?3 5 ? 3 30 ? 在 Rt△ CC 'G 中, CG ? CC ' ?C 'G ? 3 ? ? ? 5 ? ? 5 . ? ?
2 2

所以 cos? ? cos?CGC '?

C 'G 6 ? , CG 6
第 8 页 共 14 页

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

即平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值为

6 .????????14 分 6
z
C

(法 2)以 C ' 为原点, C ' A 为 x 轴, C 'B ' 为 y 轴, C 'C 为 z 轴, 建立空间直角坐标系(如图 5-3) , 则平面 AB 'C ' D ' 的一个法向量 n ? (0 , 0 , 1) . 设平面 ABCD 的一个法向量为 m ? ( x , y , z ) , 因为 A( 3 , 0 , 0) , B(0 , 所以 AB ? (? 3 ,

2 , 1) , C (0 , 0 , 3) ,

D B

2 , 1) , BC ? (0 , ? 2 , 2) ,
C'
D'


而 m ? AB , m ? BC , 所以 m ? AB ? 0 且 m ? BC ? 0 , 即?

B'

y

?? 3x ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? ? 2 y ? 2z ? 0

A(A ') x 图5 ? 3

取 z ? 1 ,则 y ? 2 , x ?

3 ,所以平面 ABCD 的一个法向量为 m ? ( 3 , 2 , 1) .

(注:法向量不唯一,可以是与 m ? ( 3 ,

2 , 1) 共线的任一非零向量)????????12 分

cos? ?| cos ? m, n ?|?

|m ? n| | 3 ? 0 ? 2 ? 0 ? 1? 1 | 6 ? ? . 2 2 2 2 2 2 | m || n | 6 ( 3) ? ( 2 ) ? 1 ? 0 ? 0 ? 1

所以平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值为

6 . ???????14 分 6

(法 3)由题意,正方形 ABCD 在水平面上的正投影是四边形 A ' B 'C ' D ' , . 所以平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值 ?

S AB'C ' D ' . ???????12 分 S ABCD 6 , 6

而 S ABCD ? ( 6 )2 ? 6 , S AB'C ' D' ? B 'C ' ? AC '? 2 ? 3 ? 6 ,所以 cos? ? 所以平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值为 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 n 是奇数时, cos n? ? ?1 ;当 n 是偶数时, cos n? ? 1 .

6 . ???????14 分 6

所以,当 n 是奇数时, an ? 2 ? an ? 2 ;当 n 是偶数时, an ? 2 ? 3an . ????????2 分 又 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,所以 a1 , a3 , a5 ,?, a2 n ?1 ,?是首项为 1,公差为 2 的等差数列; ????????4 分 a2 , a4 , a6 ,?, a2 n ,?是首项为 2,公比为 3 的等比数列. n为奇数 ?n , ? 所以, an ? ? . ??????????????????6 分 n ?1 ?2 ? 3 2 , n为偶数 ? (2)由(1) ,得 S2n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2n )

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 9 页 共 14 页

? [1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)] ? (2 ? 6 ? ? ? 2 ? 3n ?1 )
? 3n ? n2 ? 1,

S2n ?1 ? S2n ? a2n ? 3n ? n2 ? 1 ? 2 ? 3n ?1 ? 3n ?1 ? n2 ? 1.
所以,若存在正整数 m 、 n ,使得 S2 n ? mS2 n ?1 ,则

?????????8 分

m?

2 ? 3n ?1 S2 n 3n ? n2 ? 1 2 ? 3n ?1 ? 1 ? n ?1 ? 3 . ??????9 分 ? n ?1 ? 1 ? n ?1 3 S2 n ?1 3 ? n2 ? 1 3 ? n2 ? 1

显然,当 m ? 1 时, S2n ? 3n ? n2 ? 1 ? 1? (3n ?1 ? n2 ? 1) ? S2n ?1 ; 当 m ? 2 时,由 S2n ? 2S2n ?1 ,整理得 3 显然,当 n ? 1 时, 3
1?1
n ?1

? n2 ? 1 .

? 1 ? 0 ? 12 ? 1 ;

2 ?1 2 当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 2 ? 1 ,

所以 (2 , 2) 是符合条件的一个解.

???????????11 分

1 2 当 n ? 3 时, 3n ?1 ? (1 ? 2)n ?1 ? 1 ? Cn ?1 ? 2 ? Cn ?1 ? 22 ? ?
1 2 ? 1 ? 2Cn?1 ? 4Cn ?1 ? 2n2 ? 4n ? 3

? (n ? 2)2 ? n2 ? 1
? n2 ? 1 .
当 m ? 3 时,由 S2n ? 3S2n ?1 ,整理得 n ? 1 , 所以 (3 , 1) 是符合条件的另一个解. 综上所述,所有的符合条件的正整数对 (m , n) ,有且仅有 (3 , 1) 和 (2 , 2) 两对. ??14 分 (注:如果仅写出符合条件的正整数对 (3 , 1) 和 (2 , 2) ,而没有叙述理由,每得到一组正确的解,给 2 分, 共 4 分) 20. (本小题满分 14 分) 解: (法 1)设 F '( x , y ) ,因为点 F (0 , 1) 在圆 M 上, (1) 且点 F 关于圆心 M 的对称点为 F ' , 所以 M ( ??????????12 分

y

F? '
?

x y ?1 , ), 2 2

????1 分

M
?

且圆 M 的直径为 | FF '|?

x 2 ? ( y ? 1) 2 .????2 分
E

F

由题意,动圆 M 与 y 轴相切,

N

O

x

| y ?1| 所以 ? 2

x 2 ? ( y ? 1)2 2 ,两边平方整理得: x ? 4 y , 2
2

图 6 ?1

所以曲线 C 的方程为 x ? 4 y .

?????5 分

(法 2)因为动圆 M 过定点 F (0 , 1) 且与 x 轴相切,所以动圆 M 在 x 轴上方, 连结 FF ' ,因为点 F 关于圆心 M 的对称点为 F ' ,所以 FF ' 为圆 M 的直径.

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 10 页 共 14 页

过点 M 作 MN ? x 轴,垂足为 N ,过点 F ' 作 F ' E ? x 轴,垂足为 E (如图 6-1) . 在直角梯形 EOFF ' 中, | F ' F |? 2 | MF |? 2 | MN |?| F ' E | ? | FO |?| F ' E | ?1 , 即动点 F ' 到定点 F (0 , 1) 的距离比到 x 轴的距离大 1. ????????????????3 分 又动点 F ' 位于 x 轴的上方(包括 x 轴上) , 所以动点 F ' 到定点 F (0 , 1) 的距离与到定直线 y ? ?1 的距离相等. 故动点 F ' 的轨迹是以点 F (0 , 1) 为焦点,以直线 y ? ?1 为准线的抛物线. 所以曲线 C 的方程为 x 2 ? 4 y . ??????????????????5 分

(2)①(法 1)由题意,直线 AP 的斜率存在且不为零,如图 6-2. 设直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,则直线 AQ 的斜率为 ? k . ???????????6 分 因为 A( x0 , y0 ) 是曲线 C : x ? 4 y 上的点,
2

x2 x2 所以 y0 ? 0 ,直线 AP 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? x0 ) . 4 4

y

P
F? '

?x2 ? 4 y ? 由? , x2 y ? 0 ? k ( x ? x0 ) ? 4 ?
? x ? x0 ? x ? ? x0 ? 4k ? ? 2 解之得 ? x0 或 ? (? x0 ? 4k ) 2 , y? y? ? ? 4 ? 4 ?
(? x0 ? 4k ) 2 ), 4 ( x0 ? 4k ) 2 ). 以 ? k 替换 k ,得点 Q 的坐标为 (? x0 ? 4k , 4
所以点 P 的坐标为 (? x0 ? 4k ,

A

?

M
?

F

Q

O

x

图6 ? 2

????????????8 分

所以直线 PQ 的斜率 k PQ

( x0 ? 4k ) 2 (? x0 ? 4k ) 2 ? 16kx0 x 4 4 ? ? ? ? 0 为定值.??????10 分 (? x0 ? 4k ) ? (? x0 ? 4k ) ? 32k 2

2 x0 x2 , A( x0 , 0 ) . 4 4 2 2 x x 2 又点 P 、 Q 在曲线 C : x ? 4 y 上,所以可设 P ( x1 , 1 ) , Q ( x2 , 2 ) , ????6 分 4 4

2 (法 2)因为 A( x0 , y0 ) 是曲线 C : x ? 4 y 上的点,所以 y0 ?

而直线 AP , AQ 的倾斜角互补,
2 2 2 x12 x0 x2 x0 ? ? 4 ?? 4 4 ,整理得 x ? x ? ?2x . 所以它们的斜率互为相反数,即 4 1 2 0 x1 ? x0 x2 ? x0 2 x2 x12 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? x0 为定值. ? 4 x2 ? x1 4 4 2

????8 分

所以直线 PQ 的斜率 k PQ

??????10 分

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 11 页 共 14 页

②(法 1)由①可知, P (? x0 ? 4k ,

k PQ

(? x0 ? 4k ) 2 ( x ? 4k ) 2 ) , Q (? x0 ? 4k , 0 ), 4 4 x (? x0 ? 4k ) 2 x ? ? 0 ,所以直线 PQ 的方程为 y ? ? ? 0 ( x ? x0 ? 4k ) , 2 4 2
??????????????11 分

2 整理得 2x0 x ? 4 y ? x0 ? 16k 2 ? 0 .

设点 B( x ,

x2 ) 在曲线段 L 上,因为 P 、 Q 两点的横坐标分别为 ? x0 ? 4k 和 ? x0 ? 4k , 4

所以 B 点的横坐标 x 在 ? x0 ? 4k 和 ? x0 ? 4k 之间,即 ? x0 ? 4 | k |? x ? ? x0 ? 4 | k | , 所以 ? 4 | k |? x ? x0 ? 4 | k | ,从而 ( x ? x0 )2 ? 16k 2 .

点 B 到直线 PQ 的距离 d ?

| 2 x0 x ? 4 ?

x2 2 ? x0 ? 16k 2 | 2 | x 2 ? 2 x0 x ? x0 ? 16k 2 | 4 ? 2 2 4 x0 ? 16 2 x0 ? 4
?? 1
2 2 x0 ? 4

?
当 x ? ? x0 时, d max ?

| ( x ? x0 ) 2 ? 16 k 2 |
2 2 x0 ? 4

( x ? x0 ) 2 ?

16 k 2
2 2 x0 ? 4

. ???12 分

16 k 2
2 2 x0 ? 4


2 x0 ) 在曲线段 L 上. 4

注意到 ? x0 ? 4 | k |? ? x0 ? ? x0 ? 4 | k | ,所以点 (? x0 , 所以,点 B 的坐标是 (? x0 ,

2 x0 ) . ???????????????????????14 分 4 x y (法 2)由①可知, k PQ ? ? 0 ,结合图 6-3 可知, 2 P 若点 B 在曲线段 L 上,且点 B 到直线 PQ 的距离最大, F? ' l 则曲线 C 在点 B 处的切线 l // PQ . ??????11 分

x0 ? x0 ?y ? ? x ? b 设 l : y ? ? x ? b ,由方程组 ? , 2 2 2 ?x ? 4 y ?
消去 y ,得 x ? 2x0 x ? 4b ? 0 .
2
2 x0 .??12 分 4

A

?

M
?

B

F

Q

O

x

令△ ? (2x0 )2 ? 4 ?1? (?4b) ? 0 ,整理,得 b ? ? 代入方程组,解得 x ? ? x0 , y ? 所以,点 B 的坐标是 (? x0 ,
2
2 x0 . 4

图6 ? 3

2 x0 ) . ???????????????????????14 分 4

(法 3)因为抛物线 C : x ? 4 y 关于 y 轴对称, 由图 6-4 可知,当直线 AP 的倾斜角大于 0? 且趋近于 0? 时,直线 AQ 的倾斜角小于180 ? 且趋近于

180 ? ,即当直线 AP 的斜率大于 0 且趋近于 0 时,直线 AQ 的斜率小于 0 且趋近于 0.

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 12 页 共 14 页

从而 P 、 Q 两点趋近于点 A( x0 ,

2 x0 x2 ) 关于 y 轴的对称点 A '(? x0 , 0 ) . ??????11 分 4 4

由抛物线 C 的方程 x 2 ? 4 y 和①的结论, 得y?

y

x x x , y? |x ? ? x0 ? ? ? 0 ? kPQ . 4 2 x ? ? x0 2

2

P1
F? '

l
P2

x2 所以抛物线 C 以点 A '(? x0 , 0 ) 为切点的切线 l // PQ . 4
????????12 分 所以曲线段 L 上到直线 PQ 的距离最大的点就是点 A ' ,

A

?M

P3 B Q3 Q2
?

即点 B 、点 A ' 重合.

F

Q1

x2 B 的坐标是 (? x0 , 0 ) . ?????14 分 所以,点 4
21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ' ( x) ? ? ln x , g ( x) ? x ? x ln x ? x ln a ,

O

x

图6 ? 4

a g ?( x) ? f ?( x) ? f ?(a) ? ? ln x ? ln a ? ln . x

?????2 分

所以, x ? (0 , a) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 单调递增;

x ? (a , ? ?) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 单调递减.
所以, g (x) 的单调递增区间为 (0 , a] ,单调递减区间为 [a , ? ?) . (2) (法 1)对任意的 x1 , x2 ?R ? ,且 x1 ? x2 , 取 a ? x1 ,则 x2 ? ( x1 , ? ?) ,由(1)得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 即 g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? x1 f ?( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 f ?( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) ??①; 取 a ? x2 ,则 x1 ? (0 , x2 ) ,由(1)得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 即 g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? x1 f ?( x2 ) ? f ( x2 ) ? x2 f ?( x2 ) ? g ( x2 ) , 所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ??②. 综合①②,得 ( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) . (法 2)因为 f ' ( x) ? ? ln x , 所以,当 x ? (0 , 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1 , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 故 f (x) 在 (0 , 1] 上单调递增,在 [1 , ? ?) 上单调递减. 所以,对任意的 x1 , x2 ?R ? ,且 x1 ? x2 ,有 f ? 1 ? ? f (1) , f ? 2 ? ? f (1) . ?????6 分 ?x ? ?x ? ? 2? ? 1? 由 f ? 1 ? ? f (1) ,得 2 ? 2 ln 2 ? 1 ,即 x2 ? x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 0 , ?x ? x1 x1 x1 ? 2? 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) ? x2 ? x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 0 .
2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题 第 13 页 共 14 页

????????4 分

?????????6 分

?????????8 分

?x ?

?x ?

?x ?

x

x

x

故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) .??①; 由 f ? 2 ? ? f (1) ,同理可证 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) .??②. ?x ? ? 1? 综合①②,得 ( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) . (3)对 k ? 1 , 2 , ? , n ? 2 ,令 ? k ( x ) ? ?????????8 分

?x ?

ln( x ? k ) ( x ? 1) ,则 ln x

ln x ln( x ? k ) ? x ln x ? ( x ? k ) ln( x ? k ) x ? k ' ( x) ? x ? k ? , 2 (ln x) x( x ? k )(ln x) 2
显然 1 ? x ? x ? k , 0 ? ln x ? ln(x ? k ) ,所以 x ln x ? ( x ? k ) ln(x ? k ) , 所以 ?k ' ( x) ? 0 , ?k (x) 在 (1 , ? ?) 上单调递减. 由 n ? k ? 2 ,得 ?k (n ? k ) ? ?k (2) ,即

ln n ln(2 ? k ) ? . ln(n ? k ) ln 2
???????????10 分

所以 ln 2 ln n ? ln(2 ? k ) ln(n ? k ) , k ? 1 , 2 , ? , n ? 2 . 所以 2?

? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ??? ? ??? ??? ? ln 3 ? ln(n ? 1) ? ? ? ? ? ln n ? ln 2 ? ? ln n ? ? ln 2 ln n ? ? ? ln 2 ln 3 ? ? ?
?
?

ln n ? ln 2 ln(n ? 1) ? ln 3 ln 2 ? ln n ? ??? ln 2 ln n ln 3 ln(n ? 1) ln n ln 2
ln n ? ln 2 ln( n ? 1) ? ln 3 ln 2 ? ln n ? ??? ln 2 ln n ln 2 ln n ln 2 ln n
????????????12 分

? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ? 2? ?. ln 2 ln n ? ?

又由(2)知 f (n ? 1) ? f (n) ? f ' (n) ? ? ln n ,所以 ln n ? f (n) ? f (n ? 1) .

ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? f (1) ? f (2) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? f (n ? 1) ? f (1) ? f (n ? 1) ? 1 ? f (n ? 1) .
所以,

1 1 1 ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n 1 ? f (n ? 1) ? ??? ? ? .????????14 分 ln 2 ln 3 ln n ln 2 ln n ln 2 ln n

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第 14 页 共 14 页


广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)

广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科) 1.复数 z 满足 (1 ? i...

广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)试题(解析版)

广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)试题(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科) 1.复数 z ...

2012年深圳市高三二模试题理科数学及答案

2012年深圳市高三二模试题理科数学及答案 2012年深圳市高三年级第二次调研考试2012年深圳市高三年级第二次调研考试隐藏>> 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学...

2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 78份文档 不...

2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)

绝密★启用前 试卷类型:A 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科) 本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷...

2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)

0 , ,若不存在,说明理由. 2011 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的...

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)

a ? 1 ,求证: f ( 2 (3)当 f ( x) 存在三个不同的零点时,求 a 的取值范围. 精品试卷 2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)试题参考...

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题及参考答案

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题及参考答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题及参考答案绝密...

2012年深圳市高三年级第二次调研考试

2012年深圳市高三年级第二次调研考试_数学_高中教育_教育专区。2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科) 2012.4 本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 ...