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2014年高中数学 1.1.1正弦定理学案 新人教A版必修5

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1.1.1 正弦定理
学习目标 1.掌握正弦定理的推导过程; 2. 理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用; 3.能应用正弦定理解斜三角形 要点精讲
王新敞
奎屯 新疆

1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即
a b c = = = 2R(R 为△ABC 外接圆半径) s iA n sin

B sin C a b ,sinB= , sinC=1 c c

(1)直角三角形中:sinA= 即 ∴ c=

a b , c= , sin A sin B

c=

c . sin C

a b c = = sin A sin B sin C

(2)斜三角形中 证明一: (等积法)在任意斜△ABC 当中 S△ABC=
1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

1 a b c 两边同除以 abc 即得: = = 2 sin A sin B sin C

C

a b
A O B D

证明二: (外接圆法) 如图所示,∠A=∠D ∴

a a ? ? CD ? 2 R sin A sin D

c

b c 同理 =2R, =2R sin B sin C

证明三: (向量法) 过 A 作单位向量 j 垂直于 AC 由

AC + CB = AB

两边同乘以单位向量 j 得 j ?( AC + CB )= j ? AB 则 j ? AC + j ? CB = j ? AB ∴| j |?| AC |cos90?+| j |?| CB |cos(90??C)=| j |?| AB |cos(90??A) ∴ a sin C ? c sin A ∴
a c = sin A sin C

1

同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得:

c b = sin C sin B



a b c = = sin A sin B sin C

2.正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角; (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角
王新敞
奎屯 新疆

3. ?ABC 中,已知 a , b 及锐角 A ,则 a 、 b 、 sin A 满足什么关系时,三角形无解,有一 解,有两解?(见图示): ⑴若 A 为锐角时:

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a a A a?b H B C b C a

C b A

B1 H B2 CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

⑵若 A 为直角或钝角时: ?

?a ? b 无解 ?a ? b 一解 (锐角)

范例分析 例 1. (1) 已知下列三角形的两边及其一边对角, 先判断三角形是否有解?有解的作出解答。 ①a ? 7, b ? 8, A ? 105 ; ②a ? 10, b ? 20, A ? 80 ;

③b ? 10, c ? 5 6, C ? 60 ; ④ a ? 2 3, b ? 6, A ? 30 。 (2)在 ?ABC 中, a ? x, b ? 2, B ? 45? , 若 ?ABC 有两解, 则 x 的取值范围为 ( A、 x ? 2 B、 0 ? x ? 2 C、 2 ? x ? 2 2 D、 2 ? x ? 2 )

sin A 2 a?b ? ,求 的值; sin B 3 b sin B (2)在△ABC 中,已知 a : b : c ? 2 : 4 : 5 ,求 的值。 sin C ? sin A
例 2. (1)在△ABC 中,已知

2

例 3. (1)在△ABC 中,已知 AB=l,∠C=50°,当∠B 多大时,BC 的长取得最大值.? (2)△ABC 的三个角满足 A<B<C,且 2B=A+C,最大边为最小边的 2 倍,求三内角之比。

例 4. (1)在△ABC 中, a ? 2 3, c ? 6, A ? 30 , 求△ABC 的面积 S 。 (2)在△ABC 中, a ? 4, B ? 30 , C ? 45 ,求△ABC 的外接圆半径 R 和面积 S 。

规律总结 1.正弦定理的 特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以 把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决 在涉及到三角形的其他问题 中,也常会用到正弦定理。正余弦定理的边角互换功能
王新敞
奎屯 新疆

① a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ② sin A ? ③

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

a b c a?b?c ? ? = = 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C 2.结合正弦定理,三 角形的面积公式有以下几种形式:

S?

1 1 abc a ? ha ? ab sin C ? ? 2 R 2 sin A sin B sin C , 2 2 4R

其中 ha , R 分别表示 ?ABC 的 BC 边上的高、外接圆半径。 基础训练 一、选择题 1.在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( A. 10 ? 3 2.在 ?ABC 中,若 B. 10 3 ? 1

) D. 10 3

?

?

C. 3 ? 1

sin A cos B ? ,则 B 的值为( ) a b ? ? ? ? A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 3 3、已知△ABC 的面积为 ,且 b ? 2, c ? 3 ,则∠A 等于 ( 2
A.30° B.30°或 150° C.60°



D.60°或 120°
3

4.△ABC 中,∠A、∠B 的对边分别为 a,b,且∠A=60°, a ? 那么满足条件的△ABC( ) A.有一个解 B.有两个解 C .无解

6, b ? 4 ,
D.不能确定

5.在△ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 60°,如果△ABC 两组解, 则 x 的取值范围是( A. x ? 2 ) B. x ? 2 C. 2 ? x ?

4 3 3

D. 2 ? x ?

4 3 3

二、填空题 6.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 a : b : c ? 7.在△ABC 中, a ? 5, B ? 135 , C ? 15 ,则此三角形的最大边长为 半径为 ,面积为 。 8.在△ABC 中,A=60°,B=45°, a ? b ? 12 ,则 a= ;b= 三、解答题 9.在△ABC 中,已知 AB ? 10 2 ,A=45°,在 B C 边的长分别为 20, 下,求相应角 C。 ,外接圆 。

20 3 ,5 的情况 3

10. (1)在 ?ABC中,c ? 10, A ? 450 , C ? 300 , 求a, b和B ; (2)在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C ; (3) ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C 。

能力提高 11. 如图 1,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点, AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明 sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值. B

A α β 图1 D C

1.1.1 正弦定理(第 1 课时)参考答案 例 1.解: (1)① 因为 a ? b ,所以 A ? B , B ? 105 ,不可能,所以本题无解。 ② 由

a b b sin A ? ? 2sin 80 ? 2sin 60 ? 1 ,所以本题无解。 ,得 sin B ? sin A sin B a

③sin B ?

b sin C 10sin 60 2 ,所以 B ? 45 或 B ? 135 (舍去) , ? ? c 2 5 6
4

故 A ? 180 ? B ? C ? 75 , a ?

b sin A 10sin 75 ? ? 5 3?5, sin B sin 45

综上, A ? 75 , B ? 45 , a ? 5 3 ? 5 。 ④sin B ?

b sin A 6sin 30 3 , B ? 60 或 120 , ? ? a 2 2 3
a sin C 2 3 sin 90 ? ? 4 3; sin A sin 30 a sin C 2 3 sin 30 ? ? 2 3, sin A sin 30

当 B ? 60 时, C ? 90 , c ?

当 B ? 120 时, C ? 30 , c ?

所以三角形有两解: B ? 60 ,C ? 90 ,c ? 4 3 ;或 B ? 120 ,C ? 30 ,c ? 2 3 。

n i4 5 (2) 选 C; 因为 ?ABC 有两解, 所以 a sin B ? b ? a , 即 xs
例 2.解: (1)由正弦定理知,

2 ? ? x, 得2 ? x ? 2 2。

sin A a 3 a ?b 3? 2 5 ? ? ,由合比定理得 ? ? . sin B b 2 b 2 2 sin B b 4 4 ? ? ? ; (2)由正弦定理知, sin C ? sin A c ? a 5 ? 2 3 l BC l sin A l ? ? 例 3. 解: (1) 由正弦定理, , 于是 BC ? , 当且仅当 ?A ? 90 , sin C sin A sin 50 sin 50
即 ?B ? 40 时,BC 的长取得最大值。 (2)因为 A ? B ? C ? ? ,又 2B=A+C, 所以 B ?

?
3





c sin C 3 1 ? 2? ? ? ? 2 ,所以 2sin A ? sin ? ? A? ? cos A ? sin A , a sin A 2 ? 3 ? 2

于是 tan A ?

? 3 ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? ,故 A : B : C ? 1: 2 : 3 。 6 3
a c c sin A 6 ? sin 300 3 , ? ,?sin C ? ? ? sin A sin C a 2 2 3

例 4.解: (1)

? c sin A ? a ? c,?C ? 600 或1200
1 ac sin B ? 6 3 , 2 1 ?当C ? 1200 时,B ? 300 , S ? ac sin B ? 3 3 。 2 ?当C ? 600 时,B ? 900 , S ?

5

(2)因为 A ? 180 ? B ? C ? 105 ,所以△ABC 的外接圆半径 R ? 面积 S ? 基础训练 1~5 BBDCC ;6. 1: 3 : 2 ;7. b ? 5 2 ; R ? 5 ; S ? 8. a ? 12 3 ? 6 , b ? 12

a ?4 sin A

?

6? 2 ,

?

1 ab sin C ? 2 R 2 sin A sin B sin C ? 16 2

?

3 ?1 。

?

25

?

3 ?1 4

?;

?

?

?

6 ?2 。

?

9.解:由正弦定理得 sin C ?

AB sin A 10 ? BC BC 1 (1)当 BC=20 时,sinC= ;? BC ? AB ? A ? C ? C ? 30 ° 2
(2)当 BC=

20 3 3 时, sinC= ; 3 2

? C 有两解 ? C ? 60 ? 或 120° (3)当 BC=5 时,sinC=2>1; ? C 不存在
10.解: (1)? c ? 10, A ? 450 , C ? 300 ,∴ B ? 1800 ? ( A ? C) ? 1050 ,

? AB ? sin 45? ? BC ? AB



a c ? 得 sin A sin C
b c ? 得 sin B sin C

a?

c sin A 10 ? sin 450 ? ? 10 2 , sin C sin 300
c sin B 10 ? sin1050 ? ? 20sin 750 ? 5 sin C sin 300



b?

?

6? 2

?

b c c sin B 1 ? sin 600 1 (2)∵ ? ,? sin C ? ? ? sin B sin C b 2 3

? b ? c, B ? 600 ,?C ? B, C为锐角, ?C ? 300 , B ? 900 ,∴ a ? b 2 ? c 2 ? 2
(3)?

a c c sin A 6 ? sin 450 3 ? ,? sin C ? ? ? sin A sin C a 2 2

? c sin A ? a ? c,?C ? 600 或1200
?当C ? 600 时,B ? 750 , b ? c sin B 6 sin 750 ? ? 3 ? 1, sin C sin 600

c sin B 6 sin 150 ?当C ? 120 时,B ? 15 , b ? ? ? 3 ?1 sin C sin 600
0 0

?b ? 3 ? 1, B ? 750 , C ? 600 或 b ? 3 ? 1, B ? 150 , C ? 1200
6

11.解:(1).如图 1, ? ?

?
2

? (? ? 2? ) ? 2? ? ? ?)

?
2



A α β B 图1 D C

?s i ? n ?

s i? n ( ?2 2

?

? c o s?2 ,即 sin ? cos 2? ? 0 .

(2) .在 ?ABC 中 ,由正弦定理得

DC AC DC 3DC ? ,? ? .?sin ? ? 3 sin ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? sin ?
由(1)得 sin ? ? ? cos 2? ,?sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3(1 ? 2sin 2 ? ), 即 2 3 sin 2 ? ? sin ? ? 3 ? 0.解得 sin ? ?

3 3 . 或 sin ? ? ? 2 3

0?? ?

?
2

,? sin ? ?

3 ? ,? ? ? . 2 3

7


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