nbhkdz.com冰点文库

高三数学第二次联考试题(文)


宁 强 天 津 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 周 练 数 学 试 题

数 学(理科)
1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C RB)= A.(1,4) 2.已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i B.(3,4)
3+i = 1? i

命题

>杨龙春

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

C.(1,3)

D.(1,2)

B.2-i

C.2+i

D.1+2i

3.设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

5.设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 6.若从 1,2,2,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种

7.设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误 的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列

, c 为 △ ABC 的 三 个 内 角 A, B , C的 对 边 , 向 量 m ? ( 3 8 . 已 知 a, b sin A) . 若 m ? n , 且 , ? 1), n ? (cos A,
a c o sB? b c o sA ? c sin C ,则角 B ? ? ? A. B. 3 6
9.设 a>0,b>0. A.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a>b
a b

. C.

? 2

D.

? 4

B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b D.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b
a b

C.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a>b
a b

10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD” , “AB 与 CD” , “AD 与 BC”均不垂直

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三 棱锥的体积等于___________cm3. 12.设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q=______________. 13 . 若 将 函
2



f ( x) ? x 5
5







f ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ? ? a5 ?1 ? x ?

其中 a 0 , a1 , a 2 ,?, a 5 为实数,则 a3 =______________.
BA C ? 14. 在 ? ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=3, BC=10, 则A =_______. 15.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离 等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=____. ?? ? ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 16.(本小题满分 12 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= , 3 sinB= 5 cosC. (Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

17.(本小题满分 12 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中 任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

18.已知向量 a ? (1 ? sin 2x,sin x ? cos x),b ? (1,sin x ? cos x) ,设函数 f ( x) ? a ? b. (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (θ ) ?

8 π , 求 cos 2( ? 2θ ) 的值. 5 4

19.(本小题满分 12 分)数列{an},a1=1, an?1 ? 2an ? n 2 ? 3n, (n ? N*) (1)求 a2,a3 的值; (2)是否存在常数 ? , ? ,使得数列 {an ? ?n 2 ? ?n} 是等比数列,若存在,求出 ? , ? 的值;若不存在,说明理由;

20. (本小题满分 13 分)如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面是边长为 2 3 的菱形, 且∠BAD=120° 且 PA⊥平面 ABCD, PA= 2 6 , M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值.

3 21. (本小题满分 14 分)已知 a>0, bR, 函数. f ? x ? ? 4ax ? 2bx ? a ? b ? (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a;

(ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

宁 强 天 津 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 周 练 数 学 (理科)参考答案与评分标准
一、选择题:
二、填空题: 11. 1; 三、解答题:
2 5 16、解:(Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3 3 12. ; 2

题号 答案

1 B
13. 10;

2 D

3 A

4 A

5 C
9 15. 4

6 D

7 C

8 A

9 A

10 B

14. 29;

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA 2 5 = cosC+ sinC. 3 3 整理得:tanC= 5 .…………….6 分 (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=
5 . 6 a c 又由正弦定理知: , ? sin A sin C 故 c ? 3 . (1)

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3 3 解(1) (2)得: b ? 3 or b= (舍去). 3 5 ∴ ? ABC 的面积为:S= .…………….12 分 2 17、解:(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6. 1 C3 C52 C4 5 20 P ( X ? 3) ? 5 ? P ( X ? 4) ? ? ; ; 3 3 42 C9 42 C9

对角 A 运用余弦定理:cosA=

P( X ? 5) ?

1 2 C5 C4 15 ? ; 3 42 C9

P ( X ? 6) ?

3 C4 2 ? . 3 C9 42

故,所求 X 的分布列为 X P …………….9 分 (Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为:E(X)= ? i ? P( X ? i) ?
i?4 6

3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

91 .……………12 分 21

18、解:(?)f ( x) ? a ? b ? (1 ? sin 2x, sin x ? cos x) ? (1, sin x ? cos x)

? 1? s i n 2x ? ( s i n x?c o s x) ( s ix n? c o s x)
2 ? 1? s i n 2x ? s i n x?c o2 sx ? 1? s i n 2x ? c o s 2x

∴当 2 x ?

3? (k ? Z ) 时, f ( x)max ? 1 ? 2 .…………….8 分 4 2 8 (Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知, f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 8 ? f (? ) ? 1 ? sin 2? ? cos 2? ? . 5 3 ?s i n 2? ? c o s 2? ? ,两边平方得 5 9 16 1 ? 2 sin 2? cos 2? ? . ? sin 4? ? 25 25 ? ? 16 ? cos 2( ? 2? ) ? cos( ? 4? ) ? sin 4? ? .…………….12 分 4 2 25 ? 2k? ?
,即 x ? k? ? 解法 2:由(Ⅰ)知

? 1 ? 2 s i n2 (x ? ) 4

?

…………….4 分

?

?

4 ? 8 ?1 ? 2 sin(2? ? ) ? 4 5 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 4 5 2
? cos 2(

f (? ) ? 1 ? 2 sin(2? ?

?

)

?

4

? 2? ) ? 1 ? 2sin 2 (2? ?

?
4

)?

16 . 25

19、解:解: (1) a2 ? 4, a3 ? 10 …………….4 分 (2)设 an?1 ? 2an ? n 2 ? 3n可化为an?1 ? ?(n ? 1) 2 ? ? (n ? 1) ? 2(an ? ?n 2 ? ?n) ,

即 an?1 ? 2an ? ?n 2 ? (? ? 2? )n ? ? ? ?

?? ? ?1 ? 故 ?? ? 2? ? 3 ?? ? ? ? ? 0 ?

?? ? ?1 解得? ?? ? 1
使得数列 {an ? ?n 2 ? ?n} 是等比数列

∴ an?1 ? 2an ? n 2 ? 3n可化为an?1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2(an ? n 2 ? n) 又 a1 ? 12 ? 1 ? 0 故存在? ? ?1, ? ? 1 20、.解:(Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD;…………….6 分 (Ⅱ)如图建系: 3 3 A(0,0,0),P(0,0, 2 6 ),M( ? , ,0), 2 2 N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0). ??? ? ??? ? 设 Q(x,y,z),则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z), CP ? (? 3, ? 3, 2 6) . ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, ? 3?, 2 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, 3 ? 3?, 2 6? ) . ???? ??? ? ???? ??? ? 1 2 3 2 6 由 OQ ? CP ? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ? . 即: Q( ,2, ). 3 3 3 ? 对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) . ???? ? ???? 3 3 ∵ AM ? (? , , 0),AN =( 3, 0, 0) . 2 2 ? 3 ?a ? 3 ???? ? ? ? ? 3 3 ? ? a? b ? 0 3 1 1 ? ? AM ? n ? 0 ?? 则 ? ???? ? . ∴ n ? ( , ,0) . ? ? 2 ? ?b ? 2 3 3 3 ? AN ? n ? 0 ? 3a ? 0 ? ? ? ?c ? 0 ? ? ? 同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? ( 3,, 1 ? 6) . 记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? , ? ? n?v 10 则 cos ? ? ? ? ? . 5 n?v ∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 21、解:(Ⅰ)(ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a f max ? x ? ? max{ f (0),( f 1) } ? max{(b ? a),(3a ? b) }? ? =|2a-b|﹢a; b ? 2a ?3a ? b, 综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a;…………….4 分

??? ?

??? ?

10 .…………….13 分 5

(ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),( g 1) } 6a b . 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? 6a ? a ? b, ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立.…………….6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ?
? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z=a+b. ? b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1

作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ??,3? .…………….14 分


高三数学第二次联考试题(文)

高三数学第二次联考试题(文)。宁强天津中学 2013 届高三第三次周练数学试题 数学(理科)合题目要求的. 命题 杨龙春 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5...

高三数学第二次联考试题(文)

高三数学第二次联考试题(文)_数学_高中教育_教育专区。宁强天津中学 2013 届高三第三次周练数学试题 数学(理科)求的. 命题 杨龙春 一、选择题:本大题共 10 ...

高三数学第二次联考试题(文)

高三数学第二次联考试题(文)。宁强天津中学 2013 届高三第三次周练数学试题 数学(理科) 1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C ...

高三数学第二次联考试题(文)

高三数学第二次联考试题(文)。宁强天津中学 2013 届高三第三次周练数学试题 数学(理科) 1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C ...

高三数学第二次联考试题(文)

高三数学第二次联考试题(文)_专业资料。宁强天津中学 2013 届高三第三次周练数学试题 数学(理科)目要求的. 命题 杨龙春 一、选择题:本大题共 10 小题,每小...

高三数学第二次联考试题(文)

次周练数学() 试题 第 4 页 共 8 页 宁强天津中学 2013 届高三第三次周练数学 (理科)参考答案与评分标准一、选择题:二、填空题: 11.1; 三、解答题:...

(精品)2015届高三第二次联考数学(文)试题及答案

(精品)2015届高三第二次联考数学(文)试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 高三第二次联考数学文 一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分...

2016届高三年级第二次四校联考理科数学试题带参考答案及评分标准

2016届高三年级第二次四校联考理科数学试题带参考答案及评分标准_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 届高三年级第二次四校联考 数学(理)试题 2015.12 命题:...

2015届高三第二次联考数学文试题 Word版含答案

2015届高三第二次联考数学文试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三第二次联考数学试卷 (文科) 一、选择题 1.若复数 z 满足 z ? ...