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三角函数的定义域与值域题库


专题三:三角函数的定义域与值域(习题库)
一、选择题 1、函数 f(x)的定义域为[﹣ A、[﹣ C、[2kπ+ , ] ,2kπ+ , ],则 f(sinx)的定义域为( B、[ , ] ,2kπ+ ](k∈Z) )

A、[﹣1,1]

B、[﹣ ,1]

C、[﹣ ,﹣1]

D、[﹣

1, ]

解答:函数 y=﹣ cos2x+sinx﹣ =﹣ (1﹣2sin2x)+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1= ﹣

∵﹣1≤sinx≤1,∴当 sinx=﹣ 时,函数 y 有最小值为﹣ . sinx=1 时,函数 y 有最大值为 1, 4、函数 A、 解答:因为 ](k∈Z)故选 D. 5、函数 A、5 D、. 又 x∈(0,2π) 解答:∵ = 6、若 ∈[﹣7,7] ≤x≤ ,则 B、 =2( ≤ ∴函数 的取值范围是( C、 sinx+ cosx)=2sin( ,∴ ≤﹣sin( . 的值域为( C、 = = 故选 D ,当 f(x)取得最小值时,x 的取值集合为( ) 因为 ) D、 ) , B、6 C、7 D、8 = 的最大值是 7 B、 ,所以 sinx∈[ 故函数 y 的值域为[﹣ ,1], 故选 B. 值域是( C、 ], 2sinx+1∈ 的最大值是( ) ) D、[﹣1,3] 故选 B

](k∈Z)D、[2kπ﹣ ,2kπ+ ]∪[2kπ+

分析:由题意知

,求出 x 的范围并用区间表示,是所求函数的定义域; , ], ∴ (k∈Z) ,2kπ+ ) ,

解答:∵函数 f(x)的定义域为为[﹣ 解答

∴所求函数的定义域是[2kπ﹣ ,2kπ+ ]∪[2kπ+ 2、函数 A、. B、.

的定义域是( C、

解答:由题意可得 sinx﹣ ≥0?sinx≥ ∴函数 24、函数 A、 C、 的定义域为( 的定义域是 ) B、 D、 .

故选 B.

A、[﹣2,2] 解答: ∵

≤x≤ ,∴﹣ ≤

)≤1, 故选 C. ) D、 ,所以 sin ∈ (0 , )

解答:由题意得 tanx≥0,又 tanx 的定义域为(kπ﹣ ,kπ+ ) , ∴ , 故选 D. ]的值域是( D、 )

则函数 f(x)的取值范围是: 8、若 A、 解答:函数 y= ,则函数 y= B、

2、函数 f(x)=cosx(cosx+sinx) ,x∈[0, A、[1, ] B、 C、

解答:∵f(x)=cosx(cosx+sinx)=cos2x+sinxcosx= = ∴ = 又∵ 则 1≤f(x)≤ ) ∴ 故选 A.

∈ 10、函数

3、函数 y=﹣ cos2x+sinx﹣ 的值域为(

A、 C、 解答:∵函数 ∴ ﹣ =﹣ +2kπ,k∈Z 函数, ∴函数 为{x|x═﹣ +4kπ,k∈Z}
2

B、 D、 ,∴当 sin( ﹣ ∴x=﹣ )=﹣1 时函数取到最小值,

C、 解答:∵ 解得 x∈[ ,

∪ ≥ ,∴

D、



+4kπ,k∈Z,

)∪( ,

] ∴sinx∈ , ]上的值域为( C、[﹣ , ]

故选 B ) D、 (﹣ , ]

取得最小值时所对应 x 的取值集合: 故选 A. ) D、[ ,3]

15、函数 y=sin2x+2cosx 在区间[﹣ A、[﹣ ,2] 解答:∵x∈[﹣ B、[﹣ ,2) , ]

∴cosx∈[﹣ ,1]

11、函数 y=sin x﹣sinx+1(x∈R)的值域是( A、[ ,3] B、[1,2]
2

C、[1,3]
2

又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣(cosx﹣1)2+2 则 y∈[﹣ ,2] 故选 A

解答:令 sinx=t,则 y=t ﹣t+1=(t﹣ ) + ,t∈[﹣1,1], 由二次函数性质,当 t= 时,y 取得最小值 . 当 t=﹣1 时,y 取得最大值 3,∴y∈[ ,3] 12、已知函数 A、[﹣1,1] 解答:解:由题 当 x∈[ , ]时,f(x)∈[﹣1, . B、 C、 故选 A. ,则 f(x)的值域是( D、 , , ]时,f(x)∈[﹣1, ] )

二、填空题(共 7 小题) 16、已知 解答:∵ ∴﹣2 ≤ ≤2 ,∴m≥ ,则 m 的取值范围是 =2 ( sinθ+ cosθ)=2 , ,+∞) . 在 上的值域是___________. . sin(θ+ ) ,

,或 m≤﹣ ]∪[

故 m 的取值范围是 (﹣∝,﹣ 17、函数 解答:因为

= ];当 x∈[﹣

可求得其值域为 13、函数 A、 解答: = ∴函数 14、若 A、 ≥ B、

故选 D. 的值域为( C、[﹣1,1] =﹣sinxcosx+ ) D、[﹣2,2] cos2x 解答:由题意 故答案为 的值域为[﹣1,1] 故选 C. 20 、 (理)对于任意 为 . 故 18、函数 故答案为: 的值域为 .



cos2x﹣ sin2x=cos(2x+ )

是减函数,﹣1≤sinx≤1,从而有函数

的值域为



,不等式 psin2x+cos4x≥2sin2x 恒成立,则实数 p 的范围

,则 sinx 的取值范围为( B、



解答:∵psin2x+cos4x≥2sin2x

∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x﹣1

∴p≥4﹣(sin2x+ ∴4﹣(sin2x+ 21、函数 解答:令 t=sinx+cosx= ∵ f(x)= 在 ∴x+



而 sin2x+

≥2 故答案为:[2,+∞) 的值域是 . ∴0<cosx≤1。 故所求定义域为{x|x∈(2kπ- ,2kπ+ ) ,k∈Z}。 23、 (2007?重庆)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限,且 cosa=3/5,求 f(a) ﹣2 解答: (Ⅰ)由 故 f(x)的定义域为 ≠0 得 x+ ≠kπ,即 x≠ . . , .

)的最大值为 2 则 p≥2

,t2=1+2sinxcosx ∴ = 从而有:

单调递增 (Ⅱ)由已知条件得

当 t+1=2 即 t=1 时,此时 x=0 或 x= ,函数有最小值 当 t+1=1+ 即 t= 时此时 x= ,函数有最大值 2 ﹣2] 的定义域为 有意义,必须 . 解得 , ﹣2

故答案为:[ 22、函数 解答:要使函数

从而 = 24、 (2006?上海)求函数 解答: =

= = . 的值域和最小正周期.

故答案为: (0, ) . 三、解答题(共 8 小题) 例 1.(1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域; 分析:求函数的定义域: (1)要使 0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx 以 它的值充当角。 解析: (1)0≤cosx<1 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,且 x≠2kπ(k∈Z) 。

=

= 的值域是[﹣2,2],

∴函数 最小正周期是 π; 25、设 (Ⅰ)求函数 f(x)的周期; (Ⅱ)当 解答: (Ⅰ) ∴周期 T=π. (Ⅱ)∵ ∴

,定义



时,求函数 f(x)的值域. = sinxcosx﹣cos2x= ﹣ = ,

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ- ,2kπ+ ]且 x≠2kπ,k∈Z}。 (2)由 sin(cosx)>0 2kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z) 。又∵-1≤cosx≤1,

,∴ ,∴f(x)的值域为 .



26、已知函数



当 故当 当 29、已知函数





(1)求函数 f(x)的周期、值域和单调递增区间; (2)当 解答: (1) ∴函数的最小正周期 T= =π, 时,求函数 f(x)的最值. = sin2x+ cos2x+ =sin(2x+ )+

是,函数 f(x)单调递增, 时,函数 f(x)单调递减;函数的值域是 .

﹣1≤sin(2x+ )≤1,故函数的值域为[﹣ , ] ≤x≤kπ+ ,函数单调增,

(1)设 ω>0 为常数,若 y=f(ωx)在区间 (2)设集合 解答: (1)

上是增函数,求 w 的取值范围 ,若 A? B,求实数 m 的取值范围.

当 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,即 kπ﹣ 故函数的单调增区间为[kπ﹣ (2)∵ ∴当 2x+ = 27、已知函数 (I)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥m 对 解答: (I)因为 由 所以 f(x)的单调增区间是 (Ⅱ)因为 所以 28、已知函数 (1)求 的值; ,所以

,kπ+ ](k∈Z) , ] 当 2x+ = . 时函数的最大值为 + =1

∴2x+ ∈[

时函数的最小值为﹣ ;

∵f(ωx)=2sinωx+1 在 ∴ , 即

上是增函数.

(2)由|f(x)﹣m|<2 得:﹣2<f(x)﹣m<2,即 f(x)﹣2<m<f(x)+2 都成立,求实数 m 的最大值. = 得 ; 所以 故 m≤1,即 m 的最大值为 1. ∵A? B,∴当 时,f(x)﹣2<x<f(x)+2 恒成立.

∴[f(x)﹣2]max<m<[f(x)+2]min 又 时, ∴m∈(1,4)

30、已知点 A(1, ,0) ,B(0, ,1) ,C(2sinθ,cosθ) . (Ⅰ)若 ,求 tanθ 的值; 的单调递增区间与值

(Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 C 在第一象限,求函数 域. 解答: (Ⅰ)∵A(1,0) ,B(0,1) ,C(2sinθ,cosθ)

(2)写出函数函数在 解答: (1)当 (2)当 故

上的单调区间和值域. =

∵ ∴

∵ 化简得 2sinθ=cosθ.

∵cosθ≠0(若 cosθ=0,则 sinθ=±1,上式不成立) , ∴ . (Ⅱ)∵ ∴y=2sinθ+2cosθ= , ∴求函数的单调递增区间为 ,

时,f(x)=2﹣sinx﹣cosx,故 时,|cosx|=﹣cosx,|sinx|=sinx,

值域是


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