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广东省中山市华侨中学2016届高三4月高考冲刺模拟数学(文)试题-100教育


中山市华侨中学 2016 届高三 4 月高考模拟 文科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目 要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? x ? 0} ,则 CuM(
2


y A

A

. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 0或x ? 1}

??? ? ??? ? 2.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复数 z1 ? z2 所对 应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

O B

x

3.若一个几何体的三视图,其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形,尺寸如图所示,则该 几何体的体积为( )

2 3 3 C. 3
A.

3 3 2 D. 2 3
B.

4.设 x ? 0 ,则“ a ? 1 ”是“ x ?
A.充分不必要条件 C.充分必要条件

a ? 2 恒成立”的( x



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知 ?an ? 是等差数列, S n 为其前 n 项和,若 S13 ? S2000 ,则 S 2013 ? ( A. -2014 C. 1007 B. 2014 D. 0



6.已知向量 a ? (?2,?1), b ? (?,1), ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 ( ) A. ( ? C. ? ?

1 ,2) ? (2,?? ) 2

B.

? 2, ?? ?
? ? 1? ? 2?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

D. ? ??, ?

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7.如图所示,若输入的 n 为 10 ,那么输出的结果是( A. 45 B. 110 C. 90 D. 55



?y ? 0 ?x ? y ? 1 ? 8.若不等式 ? ( m, n ? Z )所表示的平面区域是面积为 1 的直角三角形,则实数 n 的 ?x ? 2 y ? 4 ? ? x ? my ? n ? 0
一个值为( A.2 ) B.-1 C.-2 D.1

9.已知 A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中 AB ? 18, BC ? 24, AC ? 30 , 球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为( A. 1200 ? B. 1400 ? C. 1600 ? ) D. 1800 ?

10.定义空间两个向量的一种运算 a ? b ? a ? b sin ? a , b ? ,则关于空间向量上述运算的以下结论 中: ①a ?b ? b?a ; A.①④ C.②③ 11.已知椭圆 C: ② ? (a ? b ) ? (? a ) ? b ; B.①③ D.②④ ③ (a ? b ) ? c ? (a ? c ) ? (b ? c ) ; ) ④若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 。其中恒成立的有(

使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( A. ? , ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P , a2 b2
) B. ? , 1?

?1 2? ?3 3?

?1 ? ?2 ?

C. ? , 1?

?2 ? ?3 ?

D. ? , ? ? ? , 1?

?1 1? ?3 2?

?1 ? ?2 ?

12 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : f ( x) ? ?

g ( x) ?

2x ? 5 ,则方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ?5,1] 上的所有实根之和为( x?2
B.-8 C.-6 D.-5

? x2 ? 2, x ?[0,1) , 且 f ( x ? 2)? f ( x ), 2 2 ? x , x ? [ ? 1,0) ?


A.-7

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13、已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a , b, c ,若 a = 1, 2cosC + c = 2b,则 ΔABC 的周长的 最大值是__________。
x 14.设 a ? R ,函数 f ( x ) ? e ?

a ' ' 的导函数是 f ( x) ,且 f ( x) 是奇函数。若曲线 y ? f ( x) 的一条 ex
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切线的斜率是

3 ,则切点的横坐标为 2

.

15、已知 ? ? N ? ,函数 f ( x ) ? sin(?x ?

?

) 在 ( , ) 上单调递减,则 ? ? _______. 4 6 3

? ?

16、以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 ? ? x ? 组成的集合:对于函数

? ? x ? ,存在一个正数 M,使得函数 ? ? x ? 的值域包含于区间 ??M , M ? .
例如,当 ?1 ? x ? ? x ,?2 ? x ? ? sin x时,?1 ? x ? ? A ,?2 ? x ? ? B .现有如下命题:
3

①设函数 f ? x ? 的定义域为 D,则“ f ? x ? ? A ”的充要条件是“ ?b ? R, ?a ? D, f ? a ? ? b ” ; ②函数 f ? x ? ? B 的充要条件是 f ? x ? 有最大值和最小值; ③若函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域相同,且 f ? x ? ? A, g ? x ? ? B,则f ? x ? ? g ? x ? ? B ④若函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 2 ? ?

x ? x ? ?2, a ? R ? 有最大值,则 f ? x ? ? B . x ?1
2

其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号)

三、解答题: (本大题共 8 小题,考生作答 6 小题,共 70 分。解答须写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 17、 (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3bc .
2 2 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

18. (本小题满分 12 分) 从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6 次,分别为 甲:7.7,7.8,8.1,8.6,9.3,9.5 乙:7.6,8.0,8.2,8.5,9.2,9.5 (1)根据以上的茎叶图,对甲、乙运动员的成绩作比较,写出两个统计结论; (2)从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取 1 次成绩,求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于 8.5 分的概率。

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19、 (本小题满分 12 分) 如图, 已知 ?F ? 平面 ?? CD , 四边形 ???F 为矩形, 四边形 ?? CD 为直角梯形,?D?? ? 90? , ?? //CD , ?D ? ?F ? CD ? 2 , ?? ? 4 . (1)求证: ?F// 平面 ? C? ; (2)求证: ?C ? 平面 ? C? ; (3)求三棱锥 ? ? ? CF 的体积.

20、 (本小题满分 12 分)

x2 y2 1 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1、 F2 ,其离心率 e ? ,点 P 为椭圆上 2 a b 的一个动点, ΔPF 1 F2 面积的最大值为 4 3
已知椭圆 (1)求椭圆的方程; (2)若 A、B、C、D 是 椭 圆 上 不 重 合 的 四 个 点 , AC与BD 相 交 于 点 F1 , AC ? BD ? 0 , 求

AC ? BD 的取值范围.

21、 (本小题满分 12 分)

1 2 x ? ? a ? b ? x ? ab ln x (其中 e 为自然对数的底数, a ? e , b ? R ) ,曲线 2 1 y ? f ? x ? 在点 ? e, f ? e?? 处的切线方程为 y ? ? e 2 . 2 b (1 )求 ; ?1 ? (2 )若对任意 x ? ? , ?? ? , f ? x ? 有且只有两个零点,求 a 的取值范围. ?e ?
设函数 f ? x ? ?
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请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB , 交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

(22 题图)

23. (本题满分 10 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 A 、 B 的极坐标分别为 (1,

?
3

) 、 (3 ,

? x ? r cos ? , 2? . (? 为参数) ) ,曲线 C 的参数方程为 ? 3 ? y ? r sin ?

(Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,求 r 的值.

24. (本题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ? [?1, 2] 恒成立 (Ⅰ)求 m 的取值范围; 1 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求函数 f ? m? ? m ? 的最小值. (m ? 2)2

广东省中山市华侨中学 2016 届高三 4 月高考模拟数学试卷 答案
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一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 D 6 A 7 D 8 C 9 A 10 A 11 D 12 A

二、填空题: (每小题 5 分,共计 20 分) 13. 3 14. ln 2 15. 2 或 3 三、解答题 17. 解: (1) A ?

16.①③④

5? 6

(2) 当 B ? C ?

?
12

时, S ? 3cos B cos C 的最大值为 3.

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)① 由样本数据得 x甲 ? 8.5, x乙 ? 8.5 ,可知甲、乙运动员平均水平相同; ②由样本数据得 s甲 ? 0.49, s乙 ? 0.44 ,乙运动员比甲运动员发挥更稳定; ③甲运动员的中位数为 8.1 ,乙运动员的中位数为 8.2 ??????? (4 分) (Ⅱ)设甲乙成绩至少有一个高于 8.5 分为事件 A ,则
2 2

P( A) ? 1 ?

3? 4 2 ? ??????? (6 分) 6?6 3

(Ⅲ)设甲运动员成绩为 x ,则 x ? ?7.5,9.5? 乙运动员成绩为 y , y ? ?7,10?

?7.5 ? x ? 9.5 ? ? 7 ? y ? 10 ??????? (8 分) ? x ? y ? 0 .5 ? 设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于 0.5 的事件为 B , 2?2 1 ? 则 P( B) ? 1 ? ????? (12 分) 2?3 3 19. 解: (1)因为四边形 ABEF为矩形, 所以 AF // BE, BE ? 平面 BCE , AF ? 平面 BCE , 所以 AF // 平面 BCE . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 (2)过 C 作 CM ? AB ,垂足为 M , 因为 AD ? DC, 所以四边形 ADCM 为矩形.
所以 AM ? MB ? 2 ,又因为 AD ? 2, AB ? 4 所以 AC ? 2 2 , CM ? 2 , BC ? 2 2
2 2 2 所以 AC ? BC ? AB ,所以 AC ? BC ; 因为 AF ? 平面 ABCD , AF // BE, 所以 BE ? 平面 ABCD ,所以 BE ? AC , 又因为 BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BE ? BC ? B

所以 AC ? 平面 BCE .

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分

(3)因为 AF ? 平面 ABCD ,所以 AF ? CM ,
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又因为 CM ? AB , AF ? 平面 ABEF, AB ?平面 ABEF, AF ? AB ? A 所以 CM ? 平面 ABEF.

1 1 1 1 8 S ?BEF ? CM ? ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 3 2 6 3 1 1 1 8 ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? ?BEF ? CM ? 12 分 3 2 6 3 VE ? BCF ? VC ? BEF ?
20.解:1)由题意得,当点 P 是椭圆的上、下顶点时, ΔPF 1 F2 的面积取最大值 此时 SΔ PF1F2 ?

1 ? F1 F2 ? OP ? bc ,? bc ? 4 3 2

?e ?

1 , ? b ? 2 3, a ? 4 2
5分

x2 y 2 ? 椭圆的方程为 ? ?1 16 12
(2)由(1)得 椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,则 F1 的坐标为(-2,0) 16 12

? ? ? AC ? BD ? 0, ? AC ? BD
①当直线 AC 与 BD 中有一条直线斜率不存在时,易得 AC ? BD ? 6 ? 8 ? 14 ②当直线 AC 斜率 k存在且k ? 0 ,则其方程为 y ? k ( x ? 2),设A( x1 y1 ), C( x2 , y2 )

?

?

6分

? y ? k ( x ? 2) ? 则点 A、C 的坐标是方程组 ? x 2 y 2 的两组解 ? ? 1 ? ?16 12

? (3 ? 4k 2)x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0
? ? 16k 2 x ? x ? ? ? 1 2 3 ? 4k 2 ?? 2 ? x x ? 16k ? 48 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
此时直线 BD 的方程为 y ? ?

? 24(k 2 ? 1) ? AC ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2
1 ( x ? 2) k

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1 ? y ? ? ( x ? 2) ? ??? ? 24(k 2 ? 1) ? k | BD |? 同理由 ? 2 可得 2 3k 2 ? 4 x y ? ? ?1 ? ?16 12

? ? 24(k 2 ? 1) 24(k 2 ? 1) 168(k 2 ? 1) 2 ? AC ? BD ? ? ? 4k 2 ? 3 3k 2 ? 4 (3k 2 ? 4)(4k 2 ? 3)
令 t ? k 2 ? 1(k ? 0),则t ? 1,? AC ? BD ?

?

?

? ? t ?1 1 96 ? ,? AC ? BD ? [ ,14) 12 分 2 t 4 7 ab ( x ? a )( x ? b) 21.解:( 1) f ?( x) ? x ? (a ? b) ? ???2 分 ? x x ? f ?(e) ? 0 , a ? e ? b ? e ???3 分 1 ( x ? a )( x ? e) (2)由(1)得 f ( x) ? x 2 ? (a ? e) x ? ae ln x , f ?( x) ? x 2 1 1 ①当 a ? 时,由 f ?( x)>0 得 x ? e ;由 f ?( x) ? 0 得 ? x ? e . e e 1 此时 f ( x) 在 ( , e) 上单调递减,在 (e, ? ?) 上单调递增. e 1 1 ? f (e) ? e 2 ? (a ? e)e ? ae ln e ? ? e 2 ? 0 , 2 2 1 1 1 2 f (e 2 ) ? e 4 ? (a ? e)e 2 ? 2ae ? e(e ? 2)(e 2 ? 2a ) ? e(e ? 2)(e 2 ? ) ? 0 2 2 2 e (或当 x ? ?? 时, f ( x) ? 0 亦可) 1 ? 要使得 f ( x) 在 [ , ??) 上有且只有两个零点, e 1 ? 2e 2 1 1 a?e 1 (1 ? 2e 2 ) ? 2e(1 ? e 2 )a ? 0 ,即 a ? 则只需 f ( ) ? 2 ? ?6 分 ? ae ln ? 2e 2 2e(1+e 2 ) e 2e e e 1 1 ②当 ? a ? e 时, 由 f ?( x)>0 得 ? x ? a 或 x ? e ; 由 f ?( x) ? 0 得 a ? x ? e .此时 f ( x) 在 (a, e) 上 e e 1 单调递减,在 ( , a ) 和 (e, ? ?) 上单调递增. 此时 e 1 1 1 f (a) ? ? a 2 ? ae ? ae ln a ? ? a 2 ? ae ? ae ln e ? ? a 2 ? 0 , 2 2 2 ? 此时 f ( x) 在 [e, ? ?) 至多只有一个零点,不合题意???9 分 1 1 ③当 a ? e 时,由 f ?( x) ? 0 得 ? x ? e 或 x >a ,由 f ?( x) ? 0 得 e ? x ? a ,此时 f ( x) 在 ( , e) 和 e e ? t ? 1,?
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168 t ?1 12 ? 2 t

1 1 (a, ? ?) 上单调递增,在 (e, a) 上单调递减,且 f (e) ? ? e 2 ? 0 ,? f ( x) 在 [ , ??) 至多只有一个 2 e
零点,不合题意. 综上所述, a 的取值范围为 (??,

1 ? 2e 2 ] 2e(1+e 2 )

???12

分 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明 证明:(1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . …………………5 分 (2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. …………………10 分
∴ MN 2 ? PN 2 ? NA ? NB , ∴ 23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 【解析】 (Ⅰ)∵点 A 、 B 的极坐标分别为 (1, ∴点 A 、 B 的直角坐标分别为 (

?

3

) 、 (3 ,

2? ), 3

1 3 3 3 3 , ) 、 (? , ), 2 2 2 2 ∴直线 AB 的直角坐标方程为 2 3x ? 4 y ? 3 3 ? 0 . ? x ? r cos? , (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ? 化为普通方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 (?为参数) y ? r sin ? ?
∵直线 AB 和曲线 C 只有一个交点, ∴半径 r ?

? 3 21 . 14 (2 3)2 ? 42

3 3

24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 【解析】 (Ⅰ)∵关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ? [?1, 2] 恒成立

? m ? ( 2 ? x ? x ? 1)max
根据柯西不等式,有 ( 2 ? x ? x ? 1)2 ? (1? 2 ? x ? 1? x ? 1)2 ? [12 ? 12 ] ? [( 2 ? x )2 ? ( x ? 1)2 ] ? 6 1 所以 2 ? x ? x ? 1 ? 6 ,当且仅当 x ? 时等号成立,故 m ? 6 . 2 1 1 1 1 ? (m ? 2) ? (m ? 2) ? ?2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 m ? 2 ? 0 ,则 f ? m ? ? m ? (m ? 2) 2 2 2 (m ? 2) 2

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∴ f ? m? ? 3

3

1 1 1 3 (m ? 2) ? (m ? 2) ? ?2? 3 2?2 2 2 2 (m ? 2) 2

1 1 当且仅当 (m ? 2) ? ,即 m ? 3 2 ? 2 ? 6 时取等号, 2 (m ? 2)2 1 3 所以函数 f ? m? ? m ? 的最小值为 3 2 ? 2 . 2 2 (m ? 2)

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