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2016江苏数学竞赛初赛


2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
1.关于 x 的不等式 | x ? a |? b 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} ,则 ab 的值是_____. 2.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取两个不同的数,则取出的两数之和为偶数的概率__________. 3.已知 f ( x) 是周期为 4 的奇函数且当 x ? ?0,2 ? 时 f ( x

) ? x 2 ? 16 x ? 60 , 则 f (2 10 ) 的值 是_____. 4.已知直线 l 是函数 f ( x ) ? 2 ln x ? x 2 图象的切线,当 l 的斜率最小时 l 的方程是_____. 5.在平面直角坐标系 xOy 中, 如果直线 l 将圆 x 象限,那么 l 的斜率的取值范围是________. 6.已知等边 ?ABC 的边长为 2 ,若 AP ? 积是______. 7.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为1 ,点 P 在棱 BC 上,点 Q 为棱 CC1 的中点.若 过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形,则 BP 的取值范围为________.
2

? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 平分,但不经过第四

1 1 ( AB ? AC ) , AQ ? AP ? BC ,则 ?APQ 面 3 2

8.已知数列 {a n } 的奇数项依次构成公差为 d 1 的等差数列, 偶数项依次构成公差为 d 2 的等差 数列,且对任意 n ? N ,都有 a n ? a n ?1 .若 a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,且数列 {a n } 的前 10 项和
*

S10 ? 75 ,则 a8 ? _______. ( x ? 2) 2 ( y ? 2) 2 9.已知正实数 x, y 满足 ? ? 16 ,则 x ? y ? ________. y x
10.设 M 表示满足下列条件的正整数 n 的和: n 整除 2016 , 且 2016 整除 n , 那么 M 的所 有不同正因子的个数为________.
2 2

11.已知

1 1 35 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,求 tan ? . ? ? sin ? cos ? 12 ? 2?

12.如图,点 P 在 ?ABC 的边 AB 上且 AB ? 4 AP ,过点 P 的直线 MN 与 ?ABC 外接圆交 于点 M , N ,且点 A 是弧 MN 的中点. 求证: (1) ?ABN ∽ ?ANP ; (2)证明: BM ? BN ? 2 MN .

13.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 F 的直线 l 交曲 a2 b2

线 C 于 A, B 两点.若 OF ? AB ? FA ? FB ,求双曲线 C 的离心率 e . 14.已知凸九边形的任意 5 个内角的正弦与其余 4 个内角的余弦之和都等于某个常数值 ? . 若九个内角中有一个角等于 120 ,试求常数 ? 的值.
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