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2.3 幂函数


2.3 幂函数

一 、引入
我们先来看看几个具体的问题: (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜w千克, P=w 元 P是w的函数 那么她需要支付_______. S=a? (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积______.
S 是a的函数

V=a? (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积_______

_.
V是a的函数

(4)如果一个正方形场地的面积为 S, 1 a ? S2 那么这个正方形的边长________. 这里a是S的函数 (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度 ____________. V=t?? km/s V是t 的函数

以上问题中的函数有什么共同特征?
(1)

(2)

(3)
(4) (5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

(1)都是函数; (2)均是以自变量为底的幂; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为1; (5)幂前的系数也为1。

上述问题中涉及的函数,都是形如y=x?的函数。

二、新课讲解 定义:一般地,函数 y

?x

?

叫做幂函数,其中x为自

? 为常数。 变量,
例1 判断下列函数哪几个是幂函数? 答案(2)(6)

1 (1)y ? 3 ;   ( 2) y ? 2 ;   (3) y ? 2 x 2 ;   x 1 2 ( 4) y ? x ? 1;(5) y ? 1;(6) y ? x
x

关于幂函数的图象和性质我们主要学习下列几种函数. (1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1

定义域: 值 域:

R R

奇偶性:在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

定义域:

R

值 域: [0,??)

奇偶性:在R上是偶函数
在(??,0]上是减函数

单调性: 在[0,??)上是增函数

定义域:
值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

定义域: [0,??)
值 域: [0,??)

奇偶性: 非奇非偶函数
单调性: 在[0,??)上是增函数

定义域:{x x ? 0} 值 域:{ y

y ? 0}

在{x x ? 0}上是奇函数 奇偶性:

单调性: 在(0,??)上是减函数
在(??,0)上是减函数

y ? x3

y ? x2
y?x

y?x

1 2

y ? x ?1

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表 y=x 定义域 R R y=x2 R y=x3 y=x1/2 R [0,+∞) R [0,+∞) y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0}

值域

[0,+∞)

奇偶性 奇
单调性


x∈[0,+∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减

奇 增
(1,1) (0,0)

非奇 非偶


x∈(0,+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减




(1,1) (0,0)

(1,1) 公共点 (0,0)

(1,1) (0,0)

(1,1)

y ? x3

y ? x2
y?x

y?x

1 2

y ? x ?1

?? 当 当 0< ? ? >1 ? <0 <1 时,函数图像在第一象限内的规律如下 时,函数图像在第一象限内的规律如下 时,函数图像在第一象限内的规律如下 yy? ?x x

过点( 0,0)、(1,1)呈抛物线型,下凸递增. 过点(1, 1)呈双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近 . 过点( 0,0)、(1,1)呈抛物线型,上凸递增.

y ? x?

当0<?<1时,函数图像在第一象限内的规律如下

过点(0,0)、(1,1)呈抛物线型,上凸递增.

y ? x?

当?>1时,函数图像在第一象限内的规律如下

过点(0,0)、(1,1)呈抛物线型,下凸递增.

y ? x?

当?<0时,函数图像在第一象限内的规律如下

过点(1,1)呈双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近.

三、例题讲解 例1.证明幂函数f(x)= x1/2 在[0,+∞)上是增函数. 证明: 任取x1 ,x2 ∈ [0,+∞),且x1< x2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
? f ( x ) ? x在 ? 0, ? ? ? 为增函数 作差法 若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式.

即f ( x1 ) ? f ( x2 )

三、例题讲解 例2.用上面所学的图像的性质,比较下列各组值的大小
1 2

(1) 3.14 与 ?
?1

1 2

(?0.38) 与(?0.39) (2)
3

3

1 ?0.25 1 ?0.27 ( ) 与( ) (3) 1.25 与1.22 (4) 3 3 1 解: (1)考察幂函数y ? x 2 , 在区间? 0, ?? ? 上是增函数
?1

? 3.14 ? ?

? 3.14 ? ?

1 2

1 2

(2)考察幂函数y ? x 3 , 在?? ?,???是增函数 ? ?0.38 ? ?0.39 ? ?- 0.38? ? ?? 0.39?
3 3

三、例题讲解 例2.用上面所学的图像的性质,比较下列各组值的大小

(1) 3.14 与 ?

1 2

1 2

(?0.38) 与(?0.39) (2)
3

3

1 1 ? 0 . 25 ? 0.27 ?1 ?1(4) ( ) 与( ) (3) 1.25 与1.22 3 3
解: (3)考察幂函数y ? x ?1 , 在( ??, 0)和(0, ?? ) 上减函数 ?1.25 ? 1.22 ?1.25 ? 1.22
?1 ?1

( 4)考察指数函数y ? 1 ,在 ? ??, ?? ? 是减函数, 3 ? ?0.25 ? ?0.27
?0.25 ?0.27

?? ?? 1? ? ? 1? 3 3
x

例3.已知幂函数的图象过点 ( 2, 2 ) , 试求出此函数的解析式. ? 解:设f(x)=x?由题意得

2?2
1 2

所以 所以

? ? log 2

2

1 ? log 2 2 ? 2 1

f ( x) ? x 2

总结:
(1) 理解并掌握形如y=x?的形式就是幂函数的定义 (2) 充分理解并掌握幂函数的性质和特征

四、小结

①幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 ②常见幂函数及其幂函数的性质 定义:一般地,函数f(x)=x?叫做幂函数, 其中x是自变量, ?是常数。
幂函数f(x)=x?的性质:

1.?>0时,(1)图象都经过点(0,0)和 (1,1);
(2)图象在第一象限是增函数。

2.?<0时,(1)图象都经过点(1,1);
(2)图象在第一象限是减函数,且向右无限接近x

轴,向上无限接近y轴。

五、作业 课本P82 10

y=x y=x? y=x? y ? x
定义域

1 2

y ? x ?1

R R 奇

R
[ 0,+∞)

R

[ 0 , +∞ ) {x|x∈R,x≠0}
{y|y∈R,y≠0}

函 数 的 性 质

值域

R [0 , +∞ )

奇偶性


x∈[0,+∞)

奇 非奇非偶 奇
x∈(0,+∞)

单调性

增 增
x∈(-∞,0]






x∈(-∞,0)


定 点 (1,1) (1,1) (1,1) (0,0) (0,0) (0,0)



(1,1) (0,0)
链接

(1,1)
链接 返回

图 象 链接 链接 链接

以上的函数有什么的共同的特征? 答:形似:y=x?


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